2020年衡水中学高三一调数学试卷
河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学文科试题含答案解析
1
2019—2020学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）
1.已知复数3a i z a i
+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知全集{}
2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的
阴影部分所表示的集合为（ ）
A. 4{|}2x x -≤<
B. {|2x x ≤或4}x ≥
C. {|21}x x -≤≤-
D. {|12}x x -≤≤ 3.已知 a b c R ∈、、
，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》
：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）。
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ()A.{}1,3- B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5【答案】C 【解析】 ∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =I∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ）A. 1i +B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()gx 定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <，故()()12g x g x <，故()gx 为[)0,+∞上的增函数，所以()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑. 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C.{}|11x x -<≤D.{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P-2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】 试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x Q ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径r ==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 8.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C .4D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n u r r 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立，可判断出结论.【详解】解：,m n u r r 为非零向量，存在负数λ，使得λ=u r r m n ，则向量,m n u r r 共线且方向相反，可得0m n ⋅<u r r.反之不成立，非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立.∴,m n u r r为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是0m n ⋅<u r r”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >Q ，0n >，m n ∴>.1e ==Q 2e ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A.1-B.32e --C.35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a e x ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-． 【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+===-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】（1）25；（2）0.016.【解析】试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可. 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出. 试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是»DF的中点.(1)设P是»CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30o；（2）60o【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP 得到BE⊥BP,从而求出∠CBP 的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 试题解析： (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB∩AP＝A ，所以BE⊥平面ABP. 又BP ⊂平面ABP ，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC uuu r的中点H ，连接EH ，GH ，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC 为菱形， 所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝223213+=.取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz. 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－130)， 故AE u u u r＝(2,0，－3)，AG u u u r ＝(13，0)，CG u u u r＝(2,0,3)．设m u r＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v可得11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m u r＝(3，2)．设n r＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(32)．所以cos 〈,m n u r r 〉＝||||m n m n ⋅u r rur r ＝12. 故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r 为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅u u u r u u u r的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程； （2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅u u u r u u u r ，由OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标.【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r Q ，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+， 联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k=-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值，()4,4TQ t m k =---u u u r ，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++u u u r u u u r 为定值， 则10t +=，得1t=-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x -可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论；（2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e ）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0）， 则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0， 所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -， 由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=；由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=. 于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB =23cos 8α=，tan α=.所以l .23.已知函数()123f xx x =+--.（I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，， 【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x <1x ∴≤-当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x ∴-<<或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
河北省衡水中学2020届高三第一次教学质量检测理科数学
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若{}1A B =I ，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 2.z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A.1i +B.1i --C.1i -+D.1i - 3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是（ ） （参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.93104.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若()2log5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A.{}10x x -<≤B.{}11x x -≤≤ C.{}11x x -<≤ D.{}12x x -<≤ 6.设直线1l ，2l 分别是函数()ln ,01,ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是（ ）A.()0,1B.()0,2C.()0,+∞D.()1,+∞7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.πB.34πC.2πD.4π 8.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A.1B.2C.4D.8。
2020衡水中学高三一调数学(理)试题(含标准答案)
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ）A ．[]12，B ．()12，C ．(12]，D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 4．函数()x e x f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ． B ．C ． D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题；②命题“∀x ＞0，有e x ≥1”的否定为“∃x 0≤0，有e x 0＜1”； ③“平面向量a ⃑ 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“a ⃑ •b <0”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sinA +sinB >cosA +cosB ；⑤{a n }为等差数列，若a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N ∗)，则m +n =p +q 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12nnp p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011 B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O 1,O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1,O 2的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2xcos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷(带解析)
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. 31B. 12C. 13D. 523.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
甲：我不会证明。
乙：丙会证明。
丙：丁会证明。
丁：我不会证明。
根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A. B. C. D.6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A. -14B. -9C. 9D. 148.已知函数的图象经过点，．当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 49.若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.长方体中，，，，点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是（）A. B. C. 8 D.12.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.定积分 ________．14.设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么________．三、解答题17.函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20.已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为．求的最大值．21.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数．①求最大整数值；②证明：．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：由图知，解得∵∴，即由于，因此∴∴即函数的解析式为（2）解：∵∴∵，∴，即，∴或1（舍），由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当等号成立）∴∴的面积最大值为18.【答案】证明：（Ⅰ）正三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．设平面的一个法向量，则取，则，所以．设平面的一个法向量，则取，则，，所以．二面角的余弦值是，所以，解得．19.【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量（吨）价格 (元/吨)概率所以全市居民用水价格的期望吨．（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即：当时，，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20.【答案】（1）解：因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）可知，设，则当时，，所以，直线的方程为，即，由得，则，，，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，，，，，所以当时，21.【答案】（1）解：当时，∴，又，∴，则所求切线方程为，即（2）解：由题意知，，若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．①先证明．设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即．同理可证∴，∴．当时，恒成立．当时，，即不恒成立．综上所述，的最大整数值为2．②由①知，，令，∴∴．由此可知，当时，．当时，，当时，，，当时，．累加得．又，∴．22.【答案】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），由得∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把，代入得．设两点对应的参数分别为与，则，，易知与异号又∵∴．消去与得，即23.【答案】（1）解：由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得（2）解：不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．。
2020年衡水中学高三一调数学试卷
所在的
（1）求证：平面 ADC 平面 BCDE． （2）试问线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
C： x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的左、右
顶点分别为 A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右准线方程为 x＝4．过点 A1 的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D．直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G， 直线 OG 与直线 A1D 交于点 H．
C． m ， n m 且 ，则 n D． m / / ， n / / 且 / / ，则 m/ /n
5．已知 f x 2018x2017 2017x2016 2x 1，下列程序框图设计的是求 f x0
的值，在“?”中应填的执行语句是（ ）
A． n 2018 i B． n 2017 i C． n 2018 i D． n 2017 i
② x 3 是 x 3 的必要不充分条件；
③ 命 题 p ： x0 0, 2 ， x02 2x0 3 0 的 否 定 p ： x 0, 2 ，
x2 2x 3 0；
④“指数函数
y
a
x
是增函数，而
y
1 2
x
是指数函数，所以y源自1 2x是增函数”
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.
（3） y cossin x xR 的值域是cos1,1 .
（4）若, 都是第一象限角，且 sin sin ，则 tan tan .
其中正确命题的题号为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴+2=0．的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋?龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019?衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋?衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011?新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋?湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013?济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019?兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014?淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014?济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1?f（x2）＜1×2，即≤x1?f（x2）＜2，故x1?f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019?衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋?衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015?南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋?袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→０时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春?保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014?唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋?新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，∵S△ABC=absinC=a??a×==3，∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春?桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．（x）=﹣【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由?a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由?x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014?新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014?东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019?高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014?唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED?EO．由切割线定理得EA2=EB?EC，∴ED?EO=EB?EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019?衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣+2=0．4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．+2=0，【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014?唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
2020届河北省衡水中学高三第一次调研考试数学(理)试题
绝密★启用前2020届河北省衡水中学高三第一次调研考试数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|}．则M∩N=（）A．{0,1} B．{-1,0} C．{1,2} D．{-1,2}3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )A ．月接待游客逐月增加B ．年接待游客量逐年减少C ．各年的月接待游客量高峰期大致在月D ．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定5．在等差数列{a n }中，若2a 8＝6+a 11，则a 4+a 6＝（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．186.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．如图的程序框图，当输出15y 后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≤ C ．3x ≤D ．4x ≤8. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.310109. 已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A ．2xx y =B ．22xy =-C ．e xy x =- D ．|2|2x y x =﹣10．将函数f （x ）＝2sin （2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）为偶函数，则函数y ＝f （x ）在的值域为（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，1]C ．D ．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 A ．B ．1+C ．D ．12．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ）A ．-3B ．-4C ．-5D ．第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知，，与的夹角为，则__________．14．若，则__________．15．数列满足：的前项和为，则 _______.16．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为_______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17.(本小题满分12分)已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且．求椭圆C的标准方程；若直线l：交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 直线l 的极坐标方程为244sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 4y x （α为参数），（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C ，写出1C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与1C 和l 的交点分别为,M N ，射线32πθ=与1C 和l 的交点分别为,A B ， 求四边形ABNM 的面积.23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式||x －m ＋2x ≤0的解集为{x|x ≤－ }2，其中m>0. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥2.数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．13.14.0 15.16． 1三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学文科试题(解析版)
2019—2020学年度第二学期一调考试高三年级数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1.已知复数3a iz a i+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【详解】分析：先化简复数z ，根据z 的共轭复数的虚部为12-求出复数z ，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置． 详解：由题意得()(3)131(3)3(3)(3)1010a i a i i a a iz a a i i i +++-+=+=+=+--+， ∴ 131(3)1010a a i z -+=-， 又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +-=-，解得2a =． ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限． 故选A ．点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数z 的共轭复数的虚部为12-求得实数2a =，由此得到复数z ，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限． 2.已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A. 4{|}2x x -≤<B. {|2x x ≤或4}x ≥C. {|21}x x -≤≤-D. {|12}x x -≤≤【答案】D 【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.3.已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】分别研究由“240b ac -<”推出“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”和由“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”推出“240b ac -<”，得到答案.【详解】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件； 故选D 项.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A 【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为34300cm ，斗的密度是30.70/g cm .那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是()13V S S S S h ''=++.A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】 【分析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400900)957003⨯=3cm , 所以这个斗的质量为5700430010000+=3cm , 所以这个斗的质量为100000.707000⨯=g . 故选:C.【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.6.在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22(155555θθ=⨯==⨯-=． 设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a ax a AP y AP θθ=-+=-==， 故点P 的坐标为118(,)55a a-． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求． 8.已知1a >，设函数()2x f x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. 7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. (4,)+∞D. 9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m ,n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.【详解】函数()2x f x a x =+-的零点为函数xy a =与2y x =-图像的交点A 的横坐标，函数()log 2a g x x x =+-的零点为函数log a y x =与2y x =-图像的交点B 的横坐标10,0a m n >∴>>Q由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图像关于y x =对称， 直线2y x =-与y x =垂直故两直线的交点(1,1)即是A ，B 的中点，2,0,0m n m n ∴+=>>111111()()(2)(22222m n n m m n m n m n +∴+=+=++≥+= 当且仅当：1m n ==时等号成立 而m n ≠，故112m n+> 故选：A【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9.已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( )A. 3[1,]2- B. 3[,1]2-C. 1[1]2-，D. 1[,1]2-【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，证明()g x 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()g x 相关形式，利用()g x 的性质，解出不等式，得到答案. 【详解】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.10.在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中，P A 、PB 、PC 两两垂直，112PA PB ==，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 7πC. 8πD. 9π【答案】A 【解析】 【分析】由已知得PA ⊥平面PBC ，因此当PQ BC ⊥时，直线AQ 与平面PBC 所成角最大，此时可求得PQ ，从而求得PC ，又以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥P ABC -外接球直径，从而可求得其表面积．【详解】∵P A 与PB 、PC 垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PQ 是AQ 在平面PBC 内的射影，AQP ∠就是直线PA 与平面PBC 所成的角， 由PA ⊥平面PBC 得PA PQ ⊥，tan PAAQP PQ∠=，要使tan AQP ∠最大，则PQ 最小，显然当PQ BC ⊥时，PQ 最小，此时tan AQP ∠=又1PA =，∴PQ =，而2PB =，∴BQ =，由PB PC ⊥，得2PB BC BQ==1PC =，如图，以,,PA PB PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，外接球直径等2222221216PA PB PC ++++= ∴球表面积为22644(62S R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PA PB PC 两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．12.已知关于x 的方程2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，则当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是（ ） A. (,2)(2,)-∞-+∞UB. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断()f x 的单调性和极值，得出方程()f x t =的根分布情况，从而得出方程()()2f x kf x 1=0-+恰有四个不同的实数根等价于关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解，在{}24,0e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出k 的范围.【详解】()()2'22x x x f x xe x e x x e =+=+，令()'0f x =，解得0x =或2x =-，∴当2x <-或0x >时，()'0f x >；当20x -<<时，()'0f x <，()f x ∴在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴当2x =-时，函数()f x 取得极大值()242f e-=， 当0x =时，函数()f x 取得极小值()00f =， 作出()f x 的大致函数图象如图所示， 令()f x t =，则当0t =或24t e>时，关于x 的方程()f x t =只有一个解； 当24t e=时，关于x 的方程()f x t =有两个解； 当240t e<<时，关于x 的方程()f x t =有三个解，()()()21g x f x kf x =-+Q 恰有四个零点，∴关于t 的方程()210h t t kt =-+=在240,e⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解， 在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 上有一个解， 显然0t =不是方程210t kt -+=的解，∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个解， 242416410k h e ee ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，解得2244e k e >+，即实数k 的取值范围是224e e 4⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，故选B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13.()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T=,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=, 所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11+=故答案为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题.14.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A. ab 有最小值14B.C.11a b+有最小值4 D. 22a b +有最小值2【答案】C 【解析】【分析】可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对A 应是积有最大值；对B 变形为2a b =++再结合基本不等式求解；对C ，先通分，再结合基本不等式求值；对D ，可变形为222()2a b a b ab +=+-，再结合基本不等式求值【详解】0a >Q ，0b >，且1a b +=；1a b ∴=+≥14ab ∴≤； ab ∴有最大值14，∴选项A 错误；2112a b =++=++=，≤，，∴B 项错误1114a b a b ab ab ++==≥，11a b∴+有最小值4，∴C 正确；22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，22a b ∴+ 的最小值是12，不是2，∴D 错误．故选C【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题15.在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为__________．4【解析】 设ACD ∠=,BCD αβ∠=,则由ACD∠+90CBD ∠=︒可知, 90,B A αβ=︒-+=()18090,90,B A αβ︒-+=︒∴=︒- D为AB的中点，11,?sin ?sin ,sin sin 22ACD BCD S S AC CD BC CD AC BC αβαβ∆∆∴=∴=∴=,即cos cos AC B BC A =,由正弦定理得sin cos sin cos ,sin 2sin 2,B B A A A B A B =∴=∴=或90A B +=︒,当A=B 时,AC=BC,,sin CD CD AB A AC ∴⊥∴===,当90A B +=︒时, 90,2C AD BD DC =︒∴===,在△ACD中, 222397cos ,sin 12?4164AC AD CD A A AC AD +-==∴=-=,综上可得, sin A 的值为53或74. 16.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形，11OPQ △，122Q P Q △，1n n n Q P Q -L L ，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S .数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】23n 【解析】 【分析】先得出直线1OP 的方程为3y x =，与曲线的方程联立得出1P 的坐标，可得出11a OP =，并设(),0n n Q S ，根据题中条件找出数列{}n a 的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列{}n a 的通项公式，即利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式．【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则点n Q 的坐标为(),0n S ，易知直线1OP 的方程为3y x =， 与曲线的方程联立()230y x y x y ⎧=⎪⎨=≥⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221132333a ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当n *∈N 时，点(),0n n Q S 、()11,0n n Q S ++，所以，点1122n n n n n S S S S P ++⎛++ ⎝， 直线n n P Q 3111122322n n n n n n n n nS S S S S ++++++==-1132nn n S S a +++=等式两边平方并整理得211322n n n a S S ++=+，可得21322n n n a S S -=+，以上两式相减得()2211332n n n n a a a a ++-=+，即()()()11132n n n n n n a a a a a a ++++-=+，易知0n a >，所以()132n n a a +-=，即123n n a a +-=， 所以，数列{}n a 是等差数列，且首项为23，公差也为23，因此，()2221333n na n =+-=. 故答案为23n．【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题17.设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112na n ab n N ==∈，，数列{b n}的前n 项和为T n，可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dn dd-=--＜， 对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求三棱锥1B ABE -的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）推导出BD AC ⊥，从而平面11AA C C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面11AAC C ，BD AE ⊥，再求出1A D AE ⊥，由此能证明AE ⊥平面1A BD ．（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将1B ABE V -转化为111111ABC A B C B ACE B AEC A V V V -----，即可求解.【详解】解：（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥，∵三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∵AE ⊂平面11AAC C ， ∴BD AE ⊥.又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， ∴1A D AE ⊥，又1A D BD D ⋂=， ∴AE ⊥平面1A BD .（2）解法一（割补法）：1111111B ABE ABC A B C B ACE B AEC A V V V V ----=--11113ABC ACC A SAA S BD ∆=⨯-⨯⨯正方形1123232223233=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.解法二（利用平行顶点轮换）： ∵11//BB CC ， ∴11BB E BB C S S ∆∆=，∴1111B ABE A BB E A BB C B ABC V V V V ----===113ABC S BB ∆=⨯⨯1123232323=⨯⨯⨯⨯=. 解法三（利用对称顶点轮换）： 连结1AB ，交1A B 于点O ， ∵O 为1A B 的中点，∴点B 到平面1AB E 的距离等于点1A 到平面1AB E 的距离. ∴1111111B ABE B AB E A AB E B AA E B AA E V V V V V -----====111123223332AA E S BD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 解法四（构造法）：连结1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，再连结EO .由题意知在1AB E ∆中，15AE B E ==，122AB =，所以1EO AB ⊥，且3EO =，又2BO =，5BE =，所以222BE BO EO =+，所以EO BO ⊥，又1AB BO O =I ， ∴EO ⊥面1ABB ， ∴11113B ABE E ABB ABB V V S EO --∆==⨯⨯112322332=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C o ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C o o 之间（包括26C o 与36C o ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈， 5.832341e ≈，6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【答案】（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）0.255 3.348x y e -=，[]27.341.【解析】 【分析】(1)根据公式计算出ˆb 和ˆa ,可得ˆ0.255 3.348z x =-;(2)根据ln z y =可得ln 0.255 3.348y x =-,再根据函数0.255 3.348x y e -=为增函数可得答案.【详解】（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-．（2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-，于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=, 当26x =时，0.25526 3.348 3.28227y e e ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.348 5.832341y e e ⨯-==≈； 因为函数0.255 3.348x y e -=为增函数，所以，气温在26~36C C o o 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数． 【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20.设椭圆22:182x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k xk x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由斜率公式可得()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k -=+代入,进而即可得证； （2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭,同理212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,联立()224182y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()222214326480k x k x k +-+-=,且>0∆,可得;214k <, 设()()1122,,,P x y Q x y ,由韦达定理可得21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+, 设直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ,所以()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()2222222222648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1- （2）设()()34,0,,0M x N x ,因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为()3,0G ,所以1212121111132321GM GN k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121211k k k k k k +=++12121111k k k k -==++= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题 21.已知函数()()()211e ,2xf x x ag x x ax =+-=+，其中a 为常数. （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2x-y+1=0；（2）1a ≥.【解析】【详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；（2）令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可. 试题解析：（1）()()2,1x a f x x e ==+则，()()2xf x x e ∴=+'，()02f ∴'=，又因为切点（0,1） 所以切线为2x-y+1=0(2) 令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立， ()()2112x h x x a e x ax =+---，所以()()()1x h x x a e =+-' ①若0a ≥，则[)0,x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[)0,+∞上递增，所以()()min 01h x h a ==- 则10a -≥，得1a ≥②若0a <，则当[]0,x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[]0,a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()()010h a h a -=-＜＜，所以不合题意. 综合得1a ≥.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<； （3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为min max()()f x g x > . （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求||||||AP AM AN ⋅的值. 【答案】（1）曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（2）AP AM AN =⋅【解析】 【详解】试题分析：（I ）曲线C的参数方程为()2x cos y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得2450t -+=，利用根与系数的关系即可得出．试题解析：（Ⅰ）222::143x cos x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪''⎪'=⎩'，代入C 的普通方程可得221x y ''+=，即22:1C x y +='，所以曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（Ⅱ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入221x y +=，可得246350t t -+=， ∴t 1+t 233=，t 1•t 254=， 所以1212332t t AP AM AN t t +==⋅． 23.设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．【答案】（1）1(,1)3（2）最小值为3 【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解.【详解】解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->0210x x x ≤⎧⎨-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1{1}3x x << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>-作21y x =-与y k x b =+的图像，可知2,1,y k b =≥≥==)3,k b∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b k b【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期一调考试试题 理(含解析)
河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得. 【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2020B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果.【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学理科试题(解析word版)
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知全集U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为A. []12，B. ()12，C. (12]，D. [12)，【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B 选项是正确的．考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2. 复数3a iz a i+=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】先化简复数z ，再求得其共轭复数，令其虚部为12-，解得2a =，代入求解即可. 【详解】由题意得()()()()()331313331010a i i a i a ia z a a i i i ++++-=+=+=+--+， ∴()31311010a ia z +-=-，又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +=，解得2a =. ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题. 3. 若2,,aa a ab ac a π-===，则,,a b c 的大小关系为A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【解析】【详解】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()2210,1a ππ-==∈，即1a <函数()xf x a =单调递减，则1a a a >，即a a a >，由于a a a >，结合函数的单调性可得：aa a a a <，即bc >，由于01a <<，故1a a <，结合函数的单调性可得：1aa a a >，即c a >，综上可得：,,a b c 的大小关系为b c a >> . 本题选择B 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4. 函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.5. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A. 15B. 815C.35D.320【答案】D 【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物， 基本事件总数：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种 糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC ⋅的值是（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 相连，O 和AB 的中点E 相连，从而得到,ODAC OE AB ，根据数量积的计算公式及条件可得出259·,?22AO AC AO AB ==，而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，即可得出AO BC ⋅的值．【详解】如图，取AC 中点D,AB 中点E,并连接OD,OE, 则,ODAC OE AB ；∴ 2212519·,?2222AO AC AC AO AB AB ==== ∴ ()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= 故选C.【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式cos a b a b θ⋅=以及三角形法则．7. 给出下列五个命题：①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0a b <”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+；⑤{}n a 为等差数列，若()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据或命题与且命题的性质判断①；根据全称命题否定的定义判断②；根据“ •0a b <，夹角有可能为π判断③；由2A B π+>，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤.【详解】对于①，若p q ∨为真命题，则p 与 q 中至少有一个为真命题， p q ∧ 不一定为真命题，故错误.对于②，命题“:0p x ∀＞，有1x e ≥”,则p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜ ,故错误. 对于③， 若 •0a b < 平面向量a ，b 的夹角为可能为π，故错误. 对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，若,n a t t =为常数，则1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+ 不成立，故错误，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逻辑联接词的应用、全称命题的否定、向量的数量积、正弦函数的单调性以及等差数列的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 8. 已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()()'2f x f x f x <<，则()()1:2f f 的取值范围为 A. (),2e e B. 11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()3,e eD. 211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【详解】令()()()()2,xxf x f xg xh x ee==，则()()()2'2'0xf x f x h x e-=<，()()()''0xf x f xg x e-=>，()()()()12,12g g h h ∴，()()()()()()22421212111,,2f f f f f e e e e e f e∴∴<<，选D ． 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.9. 已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A. 2B. 1:2C. D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN ∴==， :FM MN=1:10. 定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A.111 B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】【分析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】由已知得12121nn a a n a =++++， ∴()1221n n a a a n n S +++=+=，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 11. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xeax x ---=成立，则实数a 的取值范围是 A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- 【答案】B 【解析】【分析】原方程化为21ln yx y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.【详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,xf x f x x -=≥递增， 故()1,f x a a e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====， 要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.12. 如图，在正方体1111ABCDA B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan2，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点12,O O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点12,O O 的距离都大于1的概率为___． 【答案】13【解析】【详解】到点12,O O 距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为431=1-23=1V P V ππ=-球柱14. 在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____． 【答案】a n ＝2n 2+n 【解析】【分析】()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+，可得13a =．由已知条件推出121n na a n n+-=+，然后求解数列的通项公式．【详解】解：()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+， 当222x k πϕπ+=+，k Z ∈，()f x 取得最大值3，13a ∴=．21(2)2n n n a a a n n +=---，21(1)22n n na n a n n +∴=+++，121n na a n n+-=+， n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以131a =为首项，2为公差的等差数列，()321na n n∴=+- 2[32(1)]2n a n n n n ∴=+-=+， 故答案为：22n n +．【点睛】本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边．若sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC 面积S 的最大值为____【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理可得a b =，再由等差数列中项性质可得2224a b c ==-，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】sin 2sin cos C A B =，∴2cos c a B =，因此2222,2a c b c a a b ac+-=⨯=∵2b ，2，2c 成等差数列，∴224b c +=，因此S ===，当285c =，即c =时，S 取得最大值12=，即ABC 面积S . 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．16. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1,C 3C 有一个共同的焦点，若10MF MN +=，则曲线1C 的离心率为________．【答案】51+ 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为2F ，根据曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，利用中位线定理，可得，2//OM NF ，22NF a =，21NF NF ⊥， 12NF b =.设(),N x y ，根据抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2a ，然后在1ANF ∆中，利用勾股定理求解. 【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ， 因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点， 所以24y cx =，因为O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点， 所以OM 为12NF F ∆的中位线， 所以2//OM NF ， 因OM a =，所以22NF a =又21NF NF ⊥，22,FF c = 所以12NF b =.设(),N x y ，则由抛物线定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2NA a =，在1ANF ∆中，由勾股定理即得22244y a b +=， 即()()2224244c a c a c a-+=-，即210e e --=， 解得51e +=. 故答案为：51+ 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．（1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积． 【答案】（1）6AD =215【解析】【详解】试题分析：（I ）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （II ）根据角平分线性质得到2ABE ACE S AB S AC ∆∆==，又ABE ACE S BE S EC ∆∆=，所以2BE EC =，所以1433CE BC ==，42233DE =-=，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果. 试题解析：（1）因为4c =，2b =，所以1cos 24b Cc ==．由余弦定理得22224161 cos244a b c aCab a+-+-===，所以4a=，即4BC=，在ACD∆中，2CD=，2AC=，所以2222cos6AD AC CD AC CD ACD=+-⋅⋅∠=，所以6AD=．（2）因为AE是BAC∠的平分线，所以1sin221sin2ABEACEAB AE BAES ABS ACAC AE CAE∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠，又ABEACES BES EC∆∆=，所以2BEEC=，所以1433CE BC==，42233DE=-=，又因为1cos4C=，所以215sin1cosC C=-=，所以115sin2ADES DE AC C∆=⨯⨯⨯=．18. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60,90DAB ADP∠=︒∠=︒，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B--的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒【解析】【分析】（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m ，和平面DFC 的法向量n ，利用向量的夹角公式，求得3a=，进而得到PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =23z =所以取231,3,m ⎛= ⎝⎭，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =，由题意：22cos ,41213m n a ==++，所以3a =. 由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19. 如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值；（2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px=-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，0∆>且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN的距离d =12MN y =-，12132AMNS MN d y y ∆=⋅⋅=-=26t m =-，AMN S ∆==≤=当且仅当8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值. （2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1) ①9人②见解析；(2) 25m=【解析】【分析】（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60 100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数45 20100⋅；②确定随机变量X的取值，计算X各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.【详解】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===. 故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯.25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【答案】（Ⅰ）当12a ≤时， ()(0)1g x g b ≥=-；当 122e a <≤时， ()22ln(2)g x a a a b ≥--； 当2ea >时， ()2g x e a b ≥--.（Ⅱ） a 的范围为()2,1e -. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当12a ≤及2ea ≥时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20xg x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>. 若12a >，则ln(2)0a >；若2e a >，则ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-. 当122e a <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 当2e a >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x .所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2e a ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<. 此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a .若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <.又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.（二）选考题，满分共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= 34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23. 已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a ≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞；（2）1．【解析】 【分析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()12,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ 所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立，所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。
2020年衡水中学高三一调数学试卷(文科)(可编辑修改word版)
0 0试卷类型：B2019-2020 学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分.命题人：集备组审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题1. 给出下列命题：（1） 存在实数使sin + cos= 5. 3（2） 直线 x =2019是函数 y = cos x 图象的一条对称轴.2（3） y = cos(sin x )( x ∈ R ) 的值域是[cos1,1] .（4） 若,都是第一象限角，且sin> sin ，则tan> tan .其中正确命题的题号为（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2. 已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a = b 或a= -b ；② x ≤ 3 是 x ≤ 3 的必要不充分条件；③ 命 题 p ： ∃x 0 ∈(0, 2) ， x 2- 2x - 3 < 0 的 否 定 ⌝p ： ∀x ∈(0, 2) ，x 2 - 2x - 3 ≥ 0 ；2 0 ⎛ 1 ⎫x ④“指数函数 y = a x 是增函数，而 y = ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎛1 ⎫x是指数函数，所以 y = ⎪ ⎝ ⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33. i 是虚数单位，复数5 - 2i= （ ）2 + 5iA. -iB. iC ．- 21 - 20i D ．- 4+ 10 i 29 2921 214. 已知直线m 、n 与平面、，下列命题正确的是（ ）A ． m ⊥，n / /且⊥ ，则m ⊥ n B ． m ⊥，n ⊥ 且⊥ ，则m ⊥ nC ．⋂= m ， n ⊥ m 且⊥ ，则n ⊥D ． m / /，n / /且/ /，则m / /n5．已知 f ( x ) = 2018x 2017 + 2017x 2016 + + 2x +1，下列程序框图设计的是求 f ( x ) 的值，在“ ”中应填的执行语句是（）A ． n = 2018 - iB ． n = 2017 - iC ． n = 2018 + iD ． n = 2017 + i6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视= OC OA OB), {-1} (-B ． 图，则该多面体的表面积为（）A ．7 + 3B ．7 + 2 11C ． 2 + 3 11D ． 2 + 27. 已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与 、向 OA OB OC OA OB量的夹角都为 30°，且 | OC | 2，若 = +，则+ 值为（ ）A. 2B. 4 C ．2 D ．48．函数f(x) =cosπx 的图象大致是（ ）x 2A ．B ．C ．D ．9．已知函数 f (x ) = 2 sin(x +)(0 < < 6, <的图象经过点 2π ( , 2) 和6 ( 2-2) .若函数 g (x ) = 3围是（ ）f (x ) - m 在区间[- 2 上有唯一零点，则实数m 的取值范A ．(-1,1] 1 , 1 ]2 255553 33, 0]2C ．(- 1,1] 2D ．{-2} (-1,1]10. 设函数 f (x ) = x + e |x | e |x |的最大值为 M ，最小值为 N ，则下列结论中：①M - N = 2 ，② M + N = 4 ，③ MN = 1- 1，④ M = e +1 ，其中一定成立的有e e 2 （ ）N e -1A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个11. 已知椭圆C ：x + y 24 3= 1 的右焦点为 F ，过点 F 的两条互相垂直的直线l 1 ，l 2 ， l 1 与椭圆C 相交于点 A ， B ， l 2 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A. 存在直线l 1 ， l 2 使得 AB + CD 值为 7B. 存在直线l 1 ， l 使得 AB + CD 值为 482 7C. 弦长 AB 存在最大值，且最大值为 4D. 弦长 AB 不存在最小值12．已知函数y = f (x )的定义域为(0, + ∞)，当x > 1时，f (x ) > 0，对任意的 x ,y ∈ (0, + ∞)，f (x ) + f (y ) = f (x ⋅ y )成立，若数列{a n }满足a 1 = f (1)，且f (a n + 1 ) = f (2a n + 1)(n ∈ N ∗ )，则a 2017的值为（ ）A ．22014−1B ．22015−1C ．22016−1D ．22017−1二、填空题13.+的化简结果是 .14. 若曲线C 与直线l 满足：① l 与C 在某点 P 处相切；②曲线C 在 P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有．（填写相应的编号）2① y =x 3 与 y = 0 ② y = (x + 2)2 与 x = -2 ③ y = e x 与 y = x + 1④ y = sin x 与y = x ⑤ y = tan x 与y = x15. 已知函数 f (x ) = sin x - x + 3 ，则不等式 f (x +1) + f (2x - 7) > 6 的解集为．x 2 16．已知直线l 与椭圆 + ay 2 b 2= 1(a > 0,b > 0)相切于第一象限的点P (x 0,y 0)，且直线l与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△ AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2 =60°(F 、F 是椭圆的两个焦点)，若此时在 △ PF F 中，∠F PF 的平分线的长度为 121 212a ，则实数m 的值是．三、解答题17. 在 △ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，R 表示△ ABC 的外接圆半径.（Ⅰ）如图，在以 O 圆心、半径为 2 的⊙ O 中，BC 和 BA 是⊙ O 的弦，其中BC ＝ 2,∠ABC ＝45°，求弦 AB 的长;(Ⅱ)在△ ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2 + b 2 < 4R 2;(Ⅲ)给定三个正实数 a 、b 、R ，其中b ≤ a ，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以 a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ ABC 存在的情况下，用 a 、b 、R 表示 c.18. 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成缎，其统计表如下：3mA 类∑ i =1(x i - x )= 10≈ 180 ；B 类∑ i =1(x i - x )= 10 ≈ 60 ；C 类∑ i =1(x i- x ) = 10 ≈ 63 ；（1） 经计算己知 A ，B 的相关系数分别为 r 1 = -0.45 ， r 2 = 0.25 ．，请计算出 C 学生的( x i , y i )(1 = 1,2,3,4,5) 的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字， r 越大认为成绩越稳定）5 5 5∑ in( x -x ) 2i =1∑ n( y - y ii =1)2∑ in( x - x ) 2i =1∑n( y - y ii =1)2nny （2） 利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为 ˆy = 6.2x + a ˆ ，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．∑(x - x )( y - y )iir =i =1⋅y ˆ = b ˆx + a ˆ附相关系数， 线性回归直线方程，∑(x - x )( y - y )iibˆ =i =1⋅ ， a ˆ = y - b ˆ x ．19．（本题满分 12 分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙ O 的半径为 5，CD ⊥⊙ O 所在的平 面，B E//CD ，CD = 4，BC = 2，且B E = 1，tan∠A E B = 2 5．（1） 求证：平面 ADC ⊥ 平面 BCDE ．（2） 试问线段 DE 上是否存在点 M ，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为27？若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由．20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x a 22+ = 1(a ＞b ＞0)的左、右b2顶点分别为 A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为 x ＝4．过点 A 1 的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P ，交椭圆 C 的右准线于点 D ．直线 A 2D 与椭圆 C 的另一交点为 G ，直线 OG 与直线 A 1D 交于点 H ．23 PA PB（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 若 HG ⊥A 1D ，试求直线 A 1D 的方程；（3） 如果A 1H = A 1P ，试求的取值范围．21.设函数 f (x ) = x e x + a (1- e x )+1， a ∈ R .（I ）求函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）若方程 f (x ) = 0 在(0, +∞) 上有解，证明： a >2 .考生注意：请从第 22、23 题中选择一题作答。
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题
(1)
因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)方法一：如图，取 的中点H，连接EH，GH，CH.
因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，
所以AE＝GE＝AC＝GC＝ .
以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1， ，3)，C(－1， ，0)，
故 ＝(2,0，－3)， ＝(1， ，0)， ＝(2,0,3)．
设 ＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
18．某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.
19．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点.
8．C
【解析】
设公差为 ， ， ，联立 解得 ，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若 ，则 .
9．A
【解析】
【分析】
通过非零向量 的夹角为钝角，满足 ，而 不成立，可判断出结论.
【详解】
解： 为非零向量，存在负数λ，使得 ，则向量 共线且方向相反，可得 .
5．C
【解析】
试题分析：如下图所示，画出 的函数图象，从而可知交点 ，∴不等式 的解集为 ，故选C．
河北省衡水中学2020届高三第一次模拟考试(数学理)
2020学年度下学期一模考试高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A. 6- B. 2- C. 4 D. 62、已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()N M C U ⋃=（ ） A. {}1,4B. {}1,3,4C. {}4D. {}23、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( ) A. 3B.32C. 3D.32左视图主视图俯视图4、已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A. 21-B. 23-C. 21D. 235、“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的（ ）A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件6、在边长为1的正三角形ABC 中，,BD xBA CE yCA ==，0,0x y >>，且1x y +=，则CD BE ⋅的最大值为（ ） A.58- B.38-C.32-D.34- 7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-8、如上图，给定两个平面向量OA OB 和，它们的夹角为120︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+（其中,x y R ∈），则满足2x y +≥的概率为（ ）A ．21-B ．34 C ．4π D ．3π9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）A.4B.3.15C.4.5D.310、已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，离心率为e ，若点（-1，0）与点（1，0）到直 线1=-b y a x 的距离之和为S ，且S c 54≥，则离心率e 的取值范围是（ ） A.]5,25[B.]7,2[C. ]7,25[ D. ]5,2[ 11、已知函数()()()2log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,1C. ()1,2D. ()1,+∞12、在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{4|}k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =.给出如下四个结论：①2012[1]∈；②2[2]-∈；③[0][1][2][3]Z =⋃⋃⋃；④“整数,a b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、若f(x)在R 上可导，3)2(2)('2++=x f x x f ,则3()dx f x =⎰.14、设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =，P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为i h ，若k a a a a ====43214321，则()k S ih i i 241=∑=，类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的一点，点Q 到第个面的距离记为i d ，若431241,()1234i i S S S S k id =====∑则等于 。
2020年衡水中学高三一调数学试卷(文科)
试卷类型：B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ①3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；①命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；①“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B ．i 5225ii-=+i -iC ．D ．4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．7+3√5B ．7+2√5C ．112+3√5D ．112+2√57．已知平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A．B．C ．2 D ．48．函数f(x)=cosπx x 2的图象大致是（ ）21202929i --4102121i -+A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22-- C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--10．设函数||||()x x x e f x e+=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，①4M N +=，①211MN e =-，①11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值12．已知函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，当x >1时，f(x)>0，对任意的x,y ∈(0,+∞)，f(x)+f(y)=f(x ⋅y)成立，若数列{a n }满足a 1=f(1)，且f(a n+1)=f(2a n +1)(n ∈N ∗)，则a 2017的值为（ ） A ．22014−1 B ．22015−1 C ．22016−1 D ．22017−1二、填空题13_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；①曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ①2(2)y x =+与2x =- ①x y e =与1y x =+ ①sin y x =与y x = ①tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)相切于第一象限的点P(x 0,y 0)，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2=60°(F 1、F 2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2的平分线的长度为√3ma ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A①B①C 的对边分别为a①b①c①R 表示△ABC 的外接圆半径. ①①）如图，在以O 圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝2,∠ABC ＝45°，求弦AB 的长;(①)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2+b 2<4R 2;(①)给定三个正实数a 、b 、R ，其中b ≤a ，问：a①b①R 满足怎样的关系时，以a①b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a①b①R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110i i x x =-=∑180≈；B 类()5110i i x x =-=∑60≈；C 类()5110i i x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r .=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a =+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()niix x y y ˆb--=∑ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙O 的半径为√5，CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，CD =4，BC =2，且BE =1，tan∠AEB =2√5．（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG①A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（①）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋•龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019•衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋•衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋•新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋•湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013•济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019•兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014•淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014•济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1•f（x2）＜1×2，即≤x1•f（x2）＜2，故x1•f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019•衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋•衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015•南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋•袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→0时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春•保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014•唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋•新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，=absinC=a••a×==3，∵S△ABC∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春•桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x）=﹣（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由∀a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由∃x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014•新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014•东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019•高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014•唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED•EO．由切割线定理得EA2=EB•EC，∴ED•EO=EB•EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019•衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ+2=0，∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷类型： B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分 .命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！、选择题 1．给出下列命题：5（ 1）存在实数 使 sin cos .32019（ 2）直线 x 是函数 y cosx 图象的一条对称轴23) y cos sinx x R 的值域是 cos1,1其中正确命题的题号为（ ）2．已知四个命题：①如果向量 a v与 b v 共线，则 a v b v 或a v b v；② x 3是 x 3 的必要不充分条件；24）若 , 都是第一象限角，且 sin sin ，则 tan tanA ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（ 4）D ．（1）（4）③ 命 题 p ： x 0 0,2x022x0 3 0 的否定p ：x 0,2 ，x x22x 3 0 ；④“指数函数 y a x是增函数，而y 1 是指数函数，所以 y 1是增函数”22此三段论大前提错误，但推理形式是正确的 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B C ．D ．A ． m ， n// 且 ，则 m nB ．m，n 且 ，则 m nC ．m， n m 且 ，则 n D．m// ，n// 且 / / ， 则m//n5 ．已知f x 2017 20162018x20172017x2016L 2x 1 ， 下列程序框图设计的是求 f x 0的值，在“ ”中应填的执行语句是（）A ．n 2018 iB ． n 2017 i Cuuur uuur量的夹角都为 30°，且 |OC| 2 3，若 OC4．已知直线 m 、 n 与平面，下列命题正确的是（ ）n 2018 i D ． n 2017 i6．如图，网格纸上小正方形的边长为 图，则该多面体的表面积为粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视A ．7．已知平面内的两个单位向量uuruOA ， uuru uuur uuru OB ，它们的夹角是 60°， OC 与OA 、OB 向uuur uuur OA OB ，则值为（ ）A ． 2 3B ． 4 3C ．2D ．48．函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．正确的是(D ．弦长 AB 不存在最小值9．已知函数 f(x) 2sin( x )(06,2) 的图象经过点 (6,2)和2 (23 , 2) .若函数 g(x) f(x) m 在区间［ ,0］上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是( )A ． ( 1,1]B ．{ 1}U ( 12,12]1C ． ( 12,1D ．{ 2}U( 1,1]10．设函数 f(x) x e |x|x e|x e | 的最大值为 M ， 最小值为 N，则下列结论中： A ．0 个 2，② M N 4 ，③ MN 1 e1Me 12 ，④M Ne1e 1，其中一定成立的有B ． 1个C ．2个D ．3 个11．已知椭圆 C ：1 的右焦点为 F ，过点 F 的两条互相垂直的直线 l 1 ，l 2 ， l 1与椭圆C 相交于点 A ， B ， l 2与椭圆 C 相交于点 C ，D ，则下列叙述不 A ．存在直线 l 1 ， l 2 使得 AB CD 值为B ．存在直线 l 1 ， l 2 使得 AB CD 值为487C ．弦长 AB 存在最大值，且最大值为 412．已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为( )A．B．C．二、填空题13．2 2cos8 2 1 sin8 的化简结果是_______ 14．若曲线C与直线l 满足：① l 与C在某点 P处相切；②曲线C在 P附近位于直线l的异侧，则称曲线C与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有_______ ．(填写相应的编号)① y x3与y 0 ② y ( x 2)2与x 2 ③ y e x与y x 1④ y sin x 与y x ⑤ y tan x 与y x15．已知函数f (x) sin x x 3 ，则不等式f (x 1) f (2x 7) 6 的解集为16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当 ( 为坐标原点 ) 的面积最小时，( 、是椭圆的两个焦点 ) ，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是_______ ．三、解答题17．在中，角 A，B， C的对边分别为 a，b， c，R表示的外接圆半径.(Ⅰ)如图，在以 O圆心、半径为 2 的O中，BC和 BA是O的弦，其中，求弦 AB的长 ;( Ⅱ) 在中，若是钝角，求证： ;（ Ⅲ） 给定三个正实数 a 、b 、R ，其中 ，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以 a 、b 为边长， R 为外接圆半径的 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形 算作同一个）？在 存在的情况下，用 a 、b 、 R 表示 c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成缎，其统计表如下： A 类第x 次12344分数 y （满足 150）145 83 95 72 110B 类第x 次 1 2 3 4 4分数 y （满足 150）85 93 90 76 101C 类 第x 次12344i1xixx i x55 2 x i x 10 ，x i xi1 i 11）经计算己知 A ， B 的相关系数分别为 r 1 0.45， r 2 0.25 ．，请计算出 C 学生的x i ,y i 1 1,2,3,4,5 的相关系数， 并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最 稳定；（结果保留两位有效数字， r 越大认为成绩越稳定）利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．（ 1）求证：平面 ADC 平面 BCDE ．（ 2）试问线段 DE 上是否存在点 M ，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由．22 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ： x2 y 21（ a >b > 0）的左、右 a 2 b 2顶点分别为 A 1（﹣2，0），A 2（2 ，0） ，右准线方程为 x ＝4．过点 A 1的直线交椭圆 C 于x 轴上方的点 P ，交椭圆 C 的右准线于点 D ．直线 A 2D 与椭圆 C 的另一交点为 G ，直 线 OG 与直线 A 1D 交于点 H ．52y i y63；i12）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为 y? 6.2x a? ， nx i x y i y i1n2x i xyi2， 线 性 回 归 直 线 方 程 y? b?xa?，19． 本题满分 12 分） 如图， 的外接圆 的半径为 ， 所在的平面， ， ，且，附相关系数na? y b ?xi11)求椭圆 C 的标准方程； ( 2)若 HG ⊥A D ，试求直线 A 1D 的方程； uuuur （ 3）如果 A 1H uuuurA 1P ，试求 的取值范围．21．设函数f(x)xxxe a 1 e 1 ， a R .I )求函数 f (x) 的单调区间；Ⅱ)若方程 f (x) 0在(0, )上有解，证明： a>2.考生注意：请从第 22、23 题中选择一题作答。
两题都做者以第一题计分 22 ．选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 0为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 若曲线 C 的极坐标方程为 pcos 24sin , P 点的极坐标为 3, ，在平面直角坐 2 标系中，直线 l 经过点 P ，斜率为 3 .(1) 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程 ;23．选修 4-5 ：不等式选讲⑴求证：对于任意实数 x 、y 、 z 都有 x 22y 23z 23 xy yz zx .⑵是否存在实数 k 3 ，使得对于任意实数 x 、y 、z 有 x 22y 23z 2k xy yzzx 恒成立？试证明你的结论。
草稿纸(2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，求 1 PA 1PB 的值.。