高二数学下学期第一次考试试题 理(含解析)(2021年整理)

江西省玉山县2016-2017学年高二数学下学期第一次考试试题理（含解析）编辑整理：
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2016—2017学年度第二学期高二第一次考试
数学试卷（理科）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1. 已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（ )
A。

2 B. 4 C. 6 D。

8
【答案】B
【解析】试题分析：由椭圆方程可知，由椭圆定义可知点到椭圆的另一个焦点的距离等于8—4=4
考点：椭圆定义
2. 已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|P Q｜=|PF2｜，
那么动点Q的轨迹是（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 一条直线 D。

两条射线
【答案】A
【解析】试题分析:已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有｜PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=｜PF2|，代入上式,可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．
解：∵｜PF1|+｜PF2｜=2a，
|PQ|=｜PF2｜，
∴|PF1｜+｜PF2｜=｜PF1｜+｜PQ｜=2a．
即｜F1Q|=2a．
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，
∴动点Q的轨迹是圆．
故选A
考点：椭圆的简单性质；轨迹方程．
3. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A。

B。

1 C。

D.
【答案】D
【解析】试题分析:作出封闭图形（如图所示),由定积分的几何意义，得
.
考点：定积分的几何意义。

4. 已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C。

D. ..。

【答案】B
【解析】求解原函数的导函数：，
满足题意时，导函数恒成立,
则: ,
解得: .
本题选择B选项。

点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
（2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减）,求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0(或f′（x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
5. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）
A。

1 B. C。

D。

【答案】D
【解析】 =（3，1,6）， =（2k−1,k,4k−2),
∵与互相垂直，∴3(2k−1)+k+6（4k−2）=0，
解得k= ,
本题选择D选项.
6。

已知分别是四面体的棱的中点,点在线段上，且，
，则=（)
A. B. C。

D.
【答案】C
【解析】如图所示：
本题选择C选项.
7. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是( ）
A。

B。

C. D.
【答案】C
【解析】函数y=f（x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为−1，
当y=sinx时，y′=cosx,满足条件;
当y=lnx时，y′=1x〉0恒成立，不满足条件；
当y=e x时,y′=e x>0恒成立，不满足条件;.。

当y=x3时,y′=3x2〉0恒成立，不满足条件；
本题选择C选项。

8. 如图,在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使和
成角（如图所示),则、间的距离为（)
A. 1
B. 2
C.
D。

2或
【答案】D
【解析】∵∠ACD=90°,∴。

同理 BA−→−⋅AC−→−=0.
∵AB和CD成60°角,∴〈>=60°或120°。

∵，
∴
∴｜ |=2或 ,
本题选择D选项。

9。

已知椭圆：,直线：，椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最大值（)
A。

B. C。

D.
【答案】C
【解析】设椭圆上点的坐标为 ,由点到直线距离公式可得：
，
则当时,点到直线的距离有最大值。

本题选择C选项.
点睛：求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式。

10. 已知为的导函数，则的图象是( ）
A。

B. C. D。

【答案】A
【解析】由题意可得f′(x) = x−sinx.
∴函数f′（x)为奇函数,故B. D错误；.。

.
又 ,故C错误；
本题选择A选项。

11。

如图，椭圆的右焦点为，直线不经过焦点，与椭圆相交于点，与轴的交点为,则与的面积之比是( ）
A. B. C. D。

【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程可得，则焦点，
令A（x1，y1）,B（x2，y2），，
椭圆的右准线：，
据此有：，则：。

本题选择A选项.
12. 已知函数,若,且对任意的恒成立，则的最大值为（ ) A。

B。

C. D。

【答案】B
【解析】试题分析：由题设可得，令，则.令。

则函数的零点就是函数的极值点.设
并记极值点为，则，由于，故，而且不难验证当时，，单调递减；当时，,
单调递增,所以，因此，由于且，所以,故应选B.
考点:导数与最值，恒成立问题。

【方法点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题和导数的应用,属于中档题。

题中要求不等式对任意的恒成立,所以的系数符号为正，可以通过分离参数转化为求函数的的最小值来求解，本题的难点是导函数的零点不能直接求出，可设出其零点，再构造新函数来解答。

二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，，，则向量与的夹角等于_____．
【答案】
【解析】由题意可得： ,
则 ,
则向量与的夹角等于.
点睛： (1）求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
（2)常用来求向量的模．
14。

函数的单调递减区间是_______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，且： ,..。

求解不等式可得函数的单调递减区间是。

15。

长方体中，底面是边长为4的正方形,高为2，则顶点到截面的距离为__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
据此可得 ,设顶点到截面的距离为h，
对三棱锥的体积进行转换顶点求解：
，即：，
解得： .
点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
16。

已知实数满足，实数满足,则的最小值为_______________.
【答案】1
【解析】由ln（b+1）+a−3b=0,得a=3b−ln（b+1）,则点(b,a)是曲线y=3x−ln（x+1)上的任意一点，
由2d−c =0,得c=2d ,则点(d，c）是直线y=2x上的任意一点，
因为(a−c）2+(b−d)2表示点(b，a)到点(d，c)的距离的平方,即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以(a−c）2+(b−d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即曲线上与直线y=2x平行的切线到该直线的距离的平方.
，令y′=2,得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x,
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d2= =1。

三、解答题（本题共6小题,17题10分，其余各小题12分，共70分）
17。

根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：
(1)与椭圆有公共焦点，且过；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1)首先求得公共焦点，然后求解椭圆方程可得方程为；
（2）利用待定系数法设出椭圆方程，结合椭圆经过点、可得椭圆的方程为.
试题解析：
解:（1）椭圆的焦点坐标为（，0），
∵椭圆过M（3，﹣2），∴2a=+=2,。

.
∴a=,b=，∴椭圆的标准方程为;
（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0）．
∵椭圆经过两点和,
∴，∴m=，n=,
∴椭圆的标准方程为．
18. 在单位正方体中，O是的中点，如图建立空间直角坐标系。

（1）求证∥平面 ;
(2）求异面直线与OD夹角的余弦值；
【答案】(1)见解析(2）
【解析】试题分析:
(1）由，结合线面平行的判断定理即可证得结论;
(2)利用空间直角坐标系可得异面直线夹角的余弦值为。

试题解析：
（1)解法一:连接A1D则∥A1D.
而A1D平面，平面
所以∥平面.
解法二：设平面的一个法向量为，
由得，令，则
所以. 又.从而
所以∥平面。

解：（2)法一:由(1）知异面直线与的夹角为或其补角。

而且O为中点，故，
所以两异面直线与的夹角的余弦值为。

法二：设、分别为直线与的方向向量，
则由，得cos〈, >= .
所以两异面直线与的夹角的余弦值为。

19。

已知函数，
（1）求函数的的极值;。

.。

(2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)极大值 ,极小值（2）最大值 ,最小值
【解析】试题分析:(1）对函数求导,通过分解因式解出导函数为0的方程根,并根据二次函数的图象判断出导函数的正负，即原函数的单调增减区间,列出表格，进而求出极值;（2)根据定义域结合函数图象,比较端点值的大小确定出函数的最大值，极小值即为最小值.
试题解析:(1）
令，得或
令,得或,令，得
当变化时，的变化情况如下表：
2
00
极大值极小值
时,取极大值，
时，取极小值,
（2），，.。

由（1)可知的极大值为,极小值为，
函数在上的最大值为，最小值为.
点睛：导数与极值点的关系:（1)定义域D上的可导函数f（x）在x0处取得极值的充要条件是f′（x0)＝0，并且f′（x）在x0两侧异号，若左负右正为极小值点,若左正右负为极大值点；(2）函数f（x）在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝｜x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值,但它在x＝0处的导数不存在；（3）f′（x0）＝0既不是函数f（x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．
20。

如图，在四棱锥中,⊥底面,⊥，
⊥,∠=60°,,是的中点．
(1）求和平面所成的角的大小；
（2)证明：⊥平面；
（3)求二面角﹣﹣得到正弦值．
【答案】(1）45°（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB,又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB 是PB与平面PAD所成的角,由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．
(3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣
PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
（1）解:在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥PB，又AB⊥AD,PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，
在Rt△PAB中,AB=PA，∴∠APB=45°,
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
由条件AC⊥CD,PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC,PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA,
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，
综上，AE⊥平面PCD．
（3）解:过点E作EM⊥PD,AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
由已知得∠CAD=30°,.。

.
设AC=a，得PA=a，AD=，PD=,AE=，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD,∴AM•PD=PA•AD，
∴AM==，
在Rt△AEM中,sin∠AME=．
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角．
21。

已知函数
（1)若函数在上为减函数，求的取值范围;
（2）当时，,当时，与有两个交点，求实数的取值范围；
【答案】（1)（2）
【解析】试题分析:
(1）函数为减函数,则导函数恒成立，据此可得；
（2）利用题意构造新函数，结合题意和新函数的性质可得。

试题解析：
(1）
（2)=在上有两个根
…………
令
时,，在上单调递增
时，，在上单调递减
处有极大值也是最大值，…
，…
点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性;已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值（极值）,解决生活中的优化问题． (4）考查数形结合思想的应用．
22。

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程;
（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
（3）在（Ⅱ)的条件下，证明直线与轴相交于定点．。

..
【答案】（1）（2）（3）(1，0)
【解析】试题分析：
（1)由题意求得，则椭圆的方程为;
（2）利用题意得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是
（3)写出直线方程,由根与系数的关系可得直线与轴相交于定点（1，0）。

试题解析：
解:（Ⅰ）由题意知，
所以，即a2=4b2,∴a=2b
又因为，∴a=2,故椭圆C的方程为．
（Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．
由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=(﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0,∴
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是:．（Ⅲ）设点N（x1，y1）,E（x2,y2)，则M(x1，﹣y1）．
直线ME的方程为．令y=0，得．将y1=k(x1﹣4），y2=k(x2﹣4)代入整理，得．②
由①得，代入②整理，得x=1．
所以直线ME与x轴相交于定点(1,0）．。