逻辑思维训练(9)模态命题及其推理.

冬天过后必然是春天。 人类历史不断向前发展是必然的。


用公式可表示为：必然p 若以“□”表示必然模态算子，则上述公式可写作： □p
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必然否定命题：断定事物情况必然不存在的 命题。


客观规律不以人们的意志为转移是必然的。 谎言不能持久是必然的。

用公式可表示为：必然非p 或表示为：□¬ p
18ຫໍສະໝຸດ 张某从一副完整的牌中抽出一张牌，其花色不 是梅花。这时，可以说“张某抽出的牌是梅花” 这一命题是假的，即p 是假的，但◇p 即“张 某抽出的牌可能是梅花”却是真的。 如果从一副完整的牌中取出其中的十三张梅花， 再让张某从剩下的三十九张牌中去抽牌。这时， “张某抽出的牌是梅花”是假的，而且“张某 抽出的牌可能是梅花”也是假的。 从上面两例的对照中，当p 假时，◇p 可能为 真亦可能为假。因此，p 的真假不能完全决定 ◇p 的真值情况。
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可能世界语义理论

用“可能世界语义学”定义狭义模态命题 （逻辑的可能世界）可能世界＝可想像的世界＝不 矛盾的世界
可 能 世 界
可能世界1 (现实世界) 可能世界2 可能世界3
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可能世界有无穷多个
□p：p 在每一可能世 界均为真
p p p
◇p ：p 在至少一个可能 世界为真
p
可能世界1 (现实世界) 可能世界2 可能世界3
当模态算子作用于一个命题时，整个模态命 题的逻辑值并不完全地取决于模态算子所作 用的命题的逻辑值。 □p 与◇p 的真假，并不只是由p 的真假决 定的。
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假如有一副完整的扑克牌（不包括两张王牌，下同）， 张某从中抽出一张牌的花色正好是梅花。这时，可以 说命题“张某抽出的牌是梅花”是真的。将此命题用 变项p表示，此时p为真，但□p 即“张某抽出的牌必 然是梅花”未必为真，因为张某有可能抽出一张黑桃、 红桃或方块。 再假如从完整的扑克脾中取出其中的十三张梅花，再 让张某从这十三张牌中去抽牌，这时“张某抽出的牌 是梅花”是真的，即p 是真的，而且□p 即“张某抽 出的牌必然是梅花”也是真的。 从上面两例的对照中，当p 真时，□p 可能为真也可 能为假。因此p 的真假不能完全决定□p 的真假情况。

为真，当且仅当p 在所有可能世界中为真； 为假，当且仅当p 在至少一个可能世界中为假； 为真．当且仅当p 在至少一个可能世界中为真； 为假，当且仅当p 在所有可能世界中为假。 与◇p 是可以相互定义的：
□p＝df ¬ ◇¬ p ◇p＝df ¬ □¬ p
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各种模态命题的真假表
B C A
P在所有可能 世界里为真 P在所有可能 P在所有可能 世界里可真可 世界里为假 假
——明· 江盈科 《雪涛小说》
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丈夫非常生气，打了妻子一顿不说，还告到官府，指着妻 子说：“破坏我的家当的人，就是这个恶妇，请把她杀了。” 官吏就问他：“你的家当在哪里？她又怎样败坏了你的家当？” 那人便又把他的计划说了一遍，从拾得一个鸡蛋说起，一直说 到买妾为止。 官吏说：“这么大的家当，让这个恶妇一拳头就毁掉了， 真是该杀！”便命令左右把她投入大鼎烹了。妻子大叫：“我 丈夫说的都是没有做的事，为什么要烹我？”官吏说：“你丈 夫说买妾，也是还没做的事，你为什么嫉妒？”妻子说：“虽 然如此，我也只是想早一点除掉祸根罢了。”官吏笑而把她放 了。

正义的事业必然要胜利。其形式为：“p 是必然的”。 不允许闯红灯。 其形式为：“不允许p”。
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把“必然”与“可能”、“应当”与“允许” 等称作模态词（也称模态算子）。 包含模态算子的命题是模态命题，模态逻辑就 是研究模态命题形式及其推理的逻辑分支。
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模态命题

一、什么是模态命题？ 模态命题是反映事物可能性或必然性的命题。
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事物模态，是指其模态词所修饰或限制的仅 仅是命题主项所表示的事物与命题谓项所表 示的属性之间的联系方式。 模态词并不处于句首或句尾，而处于命题的 主项与谓项之间。



哀兵必胜。 骄兵必败。 明天可能天晴。
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真值模态命题及其推理

我们把包含真值模念算子“必然”与“可能” 的命题称为真值模态命题，若只对模态作狭义 的理解，也可称为模态命题。

主观模态是表示人的认识的某种确定性与不确 定性的模态。


其他天体上可能存在生命现象。 苏轼必然是苏辙的兄长。
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（三）命题模态与事物模态


命题模态，是指模态词所修饰或限制的都 是—个完整的命题。 其模态词通常置于表达命题的语句的句首或 句尾。

正义的事业将最终取得胜利是必然的。 可能明天是一个晴天。
可能世界1 (现实世界)
可能世界2
可能世界3
□¬ p：p 在每一可能世界均 为假，或 ¬ p均为真 ¬ p
可能世界1 (现实世界)
◇¬ p ： p 在至少一个可能 世界为假，或¬ p为真 ¬ p
可能世界1 (现实世界) 可能世界2 可能世界3
¬ p
可能世界2
¬ p
可能世界3
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□p □p ◇p ◇p □p


（3）□p→¬ ◇¬ p （4）□¬ p→¬ ◇p （5）◇p→¬ □¬ p （6）◇¬ p→¬ □p （7）□p→¬ □¬ p （8）□¬ p→¬ □p
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第三种类型，由一个命题的假推出另一个命题 的真，这是根据矛盾关系或下反对关系的逻辑 特征而进行的推理。


（9） ¬ □p→◇¬ p （10）¬ □¬ p→◇p （11）¬ ◇p→□¬ p （12）¬ ◇¬ p→□p （13）¬ ◇p→◇¬ p （14）¬ ◇¬ p→◇p
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第四种类型，由一个命题的假推出另一个命 题的假，这是根据差等关系的逻辑特性而进 行的有效推理。

（15）¬ ◇p→¬ □p （16）¬ ◇¬ p→¬ □¬ p
55必然模态三段论可能世界1可能世界2可能世界3现实世界mapmapmapsamsamsamsapsapsap绿色植物必然能进行光合作用海洋里的藻类必然是绿色植物所以海洋里的藻类必然能进行光合作用必然map必然sam必然sap56必然和可能模态三段论可能世界1可能世界2可能世界3现实世界mapmapmapsamsap灵长类动物必然有发达的大脑那个小动物可能是灵长类动物所以那小动物可能有发达的大脑必然map可能sam可能sap57必然和实然模态三段论可能世界1可能世界2可能世界3现实世界mapmapmapsamsap所有在历史上产生的东西必然最终要死亡资本主义制度是历史上产生的东西所以资本主义制度必然最终要死亡必然mapsam必然sap58凡故意杀人犯都有杀人动机某甲必然是故意杀人所以某甲有杀人动机
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非模态命题间的关系


相对于必然命题与可能命题等模态命题而言， 非模态命题通常被称为“实然命题”。 公式表示为p □p、□¬ p、◇p、◇¬ p、p 和¬ p 这六种命题 形式之间的关系
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反对关系
下反对关系
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（一）反对关系，存在于□p 和□¬ p、□p 和 ¬ p、□¬ p 与p 之间。 （二）矛盾关系，存在于□p 和◇¬ p、□¬ p 和◇p，p 和¬ p 之间。 （三）差等关系，存在于□p 和◇p、□¬ p和 ◇¬ p、□p 和p、p 和◇p、□¬ p 和¬ p 、¬ p和 ◇¬ p 之间。 （四）下反对关系，存在于◇p 和◇¬ p、p 和 ◇¬ p、¬ p 和◇p 之间。
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（二）依据模态六角图而进行的推理


依据模态六角图所揭示的命题之间的对当关系， 可以有三十六种有效的推理形式。 其中十六种形式与根据模态逻辑方阵进行的推 理是—致的，不再重复。下面是余下的二十种 有效式。
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可能命题


可能命题是断定事物情况可能性的命题，又可分为 肯定的与否定的两种： 可能肯定命题：断定事物情况可能存在的命题。

长期大量吸烟可能致癌。 3x 大于5x 是可能的。


用公式可表示为：可能p 若以“◇”表示可能模态算子，则上述公式可写作： ◇p
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可能否定命题：断定事物情况可能不存在的 命题。


正义的事业必然要胜利。 明天可能不下雨。

前者反映了正义事业胜利具有必然性。后者反 映了明天不下雨具有可能性。
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模态的种类

（一）广义模态与狭义模态


狭义的模态是指事物存在方式或发展趋势及命题 的真假程度这一类性质，包括命题的必然性、实 然性和或然性（可能性）。 由于这类模态涉及一个命题是真还是不真，更确 切地说涉及一个命题的真假程度（必然真或者可 能真），称之为真值模态。

命题“张三和王五签订合同是有效的”在所有可能世 界里可真可假，所以“张三和王五签订的合同必然是 有效的”和“张三和王五签订的合同必然不是有效的” 为假，而“张三和王五签订的合同可能是有效的”和 “张三和王五签订的合同可能不是有效的”是真的。
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有个贫民，家里穷得朝不保夕。一天，他偶然拾得一个鸡蛋， 高兴地告诉他的妻子说：“我有家当了。”妻子问他家当在哪 里，他拿出鸡蛋说：“你看，这不是？然而要须十年，家里才 能富起来。”然后就把他的计划说给妻子：“我拿这个鸡蛋， 借邻居家的母鸡孵出小鸡，然后从他家的小鸡中挑一只母鸡， 在家里养着生鸡蛋，一个月可得十五只鸡，两年之内，鸡又生 鸡，可得鸡三百，足够换十金。我以十金换五只母牛，牛又生 牛，三年可得二十五头牛。这二十五头牛又再生牛，三年可得 一百五十头牛，足够能换三百金了。我以这三百金放高利贷， 三年间，五千金就赚到了。我拿出这些金子的三分之二买地买 房，拿出三分之一买童仆买妾，我就和你乐悠悠地安度晚年。 你看这不是很快乐的事吗？”妻子听说他要买妾，悖然大怒， 把鸡蛋打了个粉碎，说：“不要留下祸种。”


火星上可能没有生命存在。 真的判断可能不是恰当的判断。

用公式可表示为：可能非p 或表示为：◇¬ p
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所以，模态命题共有四种： 1、必然肯定命题 必然p 2、必然否定命题 必然非p
□p
□¬ p
3、可能肯定命题
4、可能否定命题
可能p
可能非p
◇p
◇¬ p
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模态命题的真假


□P
□P ◇P ◇P
+
+ -
+ +
+ +
（注 A：P在可能世界里的真假 B：模态命题的真 23 假 C：模态命题的种类）

命题“事物是发展变化的”在所有可能世界里为真， 所以“事物必然是发展变化的”和“事物可能是发展 变化的”为真，而“事物必然不是发展变化的”和 “事物可能不是发展变化的”为假。
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真值模态推理

所谓模态推理是以模态命题为前提或结论，并根据模 态命题的性质及其相互间的逻辑关系而进行推演的推 理。


哀兵必胜，所以哀兵不可能不胜。 我们的目的一定能达到，所以我们的目的可能达到。 有些人可能活到一百岁，所以并非任何人必然活不到一百 岁。 并非任一数的平方必然大于该数本身，所以有些数的平方 可能不大于该数本身。
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（一）依据模态逻辑方阵而进行的模态推理


依据模态逻辑方阵，可以有下列四种类型十 六个有效的推理形式。 第—种类型，由一个命题的真推出另一个命 题的真，这是根据差等关系的逻辑特征而进 行的推理。

（1）□p→◇p （2）□¬ p→◇¬ p
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第二种类型，由一个命题的真推出另一个命 题的假，这是根据矛盾关系或反对关系的逻 辑特征而进行的推理。
逻辑思维训练
Logic and Critical Thinking
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模态逻辑


前面介绍的命题都是非模态命题，仅仅是陈述思维 对象具有或不具有某种属性。 进一步研究有关对象的情况时，便会发现：有些对 象的属性的存在具有必然性，有些对象的属性的存 在只具有可能性；有些事情是应当做的，有些事情 是不允许做。
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广义的模态是指命题本身所具有的种种非外 延的性质。

例如，道义或规范模态（应当、允许）、时间模 态（将要永远、将来、过去一直、过去）、认知 模态（知道、相信）、价值模态（好、坏）等等。
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（二）客观模态与主观模态

客观模态是表示客观事物本身存在的样式、情 状和趋势的模态。

生物体必然要进行新陈代谢。 人类社会必然走向进步，但可能比现曲折。


智者千虑，必有一失。 其他天体有高级生命存在是可能的。
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模态命题的种类与模态算子

根据模态命题断定的是事物情况的必然性还 是可能性，可以将其首先区分为必然命题与 可能命题。
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必然命题


必然命题是断定事物必然性的命题。又可分为肯定 的与否定的两种： 必然肯定命题：断定事物情况必然存在的命题。
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真值模态命题间的关系

□p、□¬ p、◇p 和◇¬ p 四种形式的模态命 题，彼此间在真假值上存在相互制约关系， 这种制约关系类似于传统逻辑中直言命题A、 E、I 和O 的对当关系。
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（一）反对关系，存在于□p 和□¬ p 之间，特点是 不能同真可以同假。 （二）矛盾关系，存在于□p 和◇¬ p、□¬ p 和◇p 之间，其特点是不能同真不能同假。 （三）差等关系，存在于□p 和◇p、□¬ p 和◇¬ p 之间，其特点是上真下定真，上假下不定；下假上 定假，下真上不定。 （四）下反对关系，存在于◇p 和◇¬ p 之间，其特 点是不能同假可以同真。