2021-2022学年最新鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆单元测试试卷(精选)

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（）
A．2 B．4 C．2πD．4π
2、如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为
r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）．
B．3r C D
A．
3、已知O中，最长的弦长为16cm，则O的半径是（）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
4、如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（）
A．46°B．44°C．40°D．50°
5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则∠B的度数为（）
A．66°B．48°C．33°D．24°
6、如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，M是对角线AC上的一个动点，直线BM与直线AD交于点E，过A作AH垂直BE于点H，直线AH与直线BD交于点N，连接EN、OH，则下列结论：①BM＝
AN；②OH平分∠MHN；③当EN∥OM时，BN2＝DN•DB；④当M为AO中点时，AH
BM
＝
2
5
，正确结论的个
数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝4
5
，以点C为圆心，r为半径，作⊙C，当r＝3
时，⊙C与AB的位置关系是（）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
8、已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9、一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
10、已知⊙O 半径为4，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（3，4），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 上
C ．点P 在⊙O 外
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60，则该正多边形边数是__________．
2、如图，线段2AB =，点C 为平面上一动点，且90ACB ∠=︒，将线段AC 的中点P 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BQ ，则线段BQ 的最大值为______．
3、圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥的底面半径长为_____cm ．
4、如图，在⊙O 中，∠ABC =40°，则∠AOC =_____．
5、如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上，若80BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数为 __．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，AB 是O 的直径，弦6AC =，8BC =，ACB ∠的平分线交O 于点D ，连接AD ．
(1)求直径AB 的长；
(2)求阴影部分的面积．（结果保留π）
2、△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，点D 为△ABC 所在平面内一点．
(1)若∠BAC ＝120°，
①如图1，当点D 在BC 边上，BD ＝AD ，求证：DC ＝2BD ；
②如图2，当点D 在△ABC 外，∠ADB ＝120°，AD ＝2，BD ＝4，连接CD ，求CD 的长；
(2)如图3，当点D 在△ABC 外，且∠ADB ＝90°，以AD 为腰作等腰三角形△ADE ，∠DAE ＝∠BAC ，AD ＝AE ，直线DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点．
3、如图，AB 为O 的直径，AC 平分BAD ∠交O 于点C ，CD AD ⊥，垂足为点D ．求证：CD 是O 的切线．
4、在平面直角坐标系中，点O 为坐标系的原点，抛物线223y ax ax a =--交x 轴于点A 和点B ，交y
轴于点C ，12
OC OB =．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D 为抛物线的顶点，连接BD ，点E 为线段BD 上一点，连接AE ，设点E 的横坐标为t ，ABE △的面积为s ．求s 与t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AD ，点G 在第四象限，连接AG 、DG ，AG AD =，点F 为直线
AG 下方一点，,⊥⊥FG DG FA DA ．若,:8:9∠=∠=FAG DAE DE AF ，求点E 的坐标．
5、在ABC 与'''A B C 中，点D 与'D 分别在边BC ，''B C 上，'B B ∠=∠，
''''
BD B D BC B C =． (1)如图1，当'''BAD B A D ∠=∠时，求证'''ABC A B C ；
(2)当'''CAD C A D ∠=∠时，ABC 与'''A B C 相似吗？小明发现：ABC 与'''A B C 不一定相似．小明先画出了'''ABC A B C 的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图2－②中，作出ABC 与'''A B C 不相似的反例．
(3)小明进一步探索：当'30B B ∠=∠=︒，'''60CAD C A D ∠=∠=︒时，设
()''01''BD B D k k BC B C ==<<，如果存在'''ABC
A B C ，那么k 的取值范围为__________．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】 解：由题意可得：290
360r ππ⨯=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．2、A
【解析】
【分析】
首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
【详解】
解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则120
180
R
=2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．3、B
【解析】
【分析】
根据直径是圆中最长的弦即可得到答案．
【详解】
解：∵O中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了圆的弦的定义及理解圆中最长的弦，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．
4、A
【解析】
【分析】
先利用圆周角定理求出AOC ∠的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出OAC ∠即可．
【详解】 解：AC 所对的圆周角是ABC ∠，AC 所对的圆心角是AOC ∠，
288AOC ABC ∴∠=∠=︒，
OA OC =，
46OAC OCA ∴∠=∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
5、A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为90°得90C ∠=︒，由三角形的内角和为180°，即可求出B ．
【详解】
∵AB 为⊙O 的直径，
∴90C ∠=︒，
∴180180249066B A C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理与三角形的内角和定理，掌握直径所对的圆周角为90°是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
由正方形的性质可证明△ADN ≌△BAM ，从而可得BM =AN ，即可判断①正确；通过证明点A 、B 、O 、H 四点共圆，可得∠BAO ＝∠BHO ＝∠OHN =45°，可判断②正确；由点A ，B ，E ，N 四点共圆及已知易得△ABE ≌△NBE ，可得AE =EN ，AB =BN ，设AE =EN =DN =x ，分别求出BN 2，DN ∙DB 的值，可判定③错误；设
OA ＝BO ＝a ，利用勾股定理和锐角三角函数可求出AH ，BM 的长，可得
2=5AH BM ，故可得④正确，即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD ＝90°，∠BAC ＝∠ADB ＝45°，AB ＝AD ，AC ⊥BD ，
∵AN ⊥BE ，
∴∠DAN +∠AEB ＝∠AEB +∠ABE ＝90°，
∴∠DAN ＝∠ABE ，
∴△ADN ≌△BAM （ASA ），
∴BM ＝AN ，故①正确；
∵∠AHB ＝∠AOB ＝90°，
∴点A ，点B ，点O ，点H 四点共圆，
∴∠BAO ＝∠BHO ＝45°，
∴∠BHO ＝∠OHN ＝45°，故②正确；
∵EN ∥OM ，
∴∠DEN ＝∠OAD ＝45°＝∠ADO ，∠END ＝∠AOD ＝90°， ∴EN ＝DN ，∠BAD ＝∠BNE ＝90°，
∴点A ，点B ，点E ，点N 四点共圆，
∴∠EAN ＝∠EBN ，
∴∠ABE ＝∠DBE ，
在△ABE 和△NBE 中，
BAD BME ABE DBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△NBE （AAS ），
∴AE ＝EN ，AB ＝BN ，
设AE ＝EN ＝DN ＝x ，
∴DE
，
∴AD
+x ＝AB ＝BN ，
∵BN 2
+x ）2＝（
x 2，DN •DB ＝x
+x +x ）＝（
x 2， ∴BN 2≠DN •DB ，故③错误；
设OA ＝BO ＝a ，
∵点M 是AO 中点，
∴AM ＝OM ＝12a ，
∴BM
2
a，
∵点A，点B，点O，点H四点共圆，∴∠OAN＝∠OBM，
∴cos∠OBM＝cos∠OAN＝OB AH BM AM
=，
＝
2
AH
a，
∴AH
，
∴
AH
BM
＝
2
5
，故④正确，
故选：C．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，四点共圆，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
如图，作CD AB
⊥，由余弦值求AC的值，在Rt ABC
中，由勾股定理求BC
11
22
=⨯⨯=⨯⨯
ABC
S AC BC AB CD求得CD的值，比较CD与半径的大小，即可判断位置关系．
【详解】
解：如图，作CD AB
⊥
∵5
AB＝，
4 cos
5
A＝
∴4
AC=
在Rt ABC中，由勾股定理得3
BC
∵
11
22
=⨯⨯=⨯⨯ABC
S AC BC AB CD
∴
12
5 CD=
∵12
3 5
<
∴以点C为圆心，3为半径的C与直线AB的位置关系是相交
故选C．
【点睛】
本题考查了余弦，勾股定理，直线与圆的位置关系．解题的关键在于确定圆心到直线的距离．8、C
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，
所以这个正多边形是正十边形．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理，正n 边形的各个外角都相等，并且等于
360n
︒． 9、C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得60AOB ∠=︒，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】
解：如图，由题意得：OA OB AB ==，
AOB ∴是等边三角形，
60AOB ∴∠=︒， 则这个正多边形的边数为360606︒÷︒=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
10、C
【解析】
根据题意求得OP的长为5，根据OP r
>即可判断点P与⊙O的位置关系,当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴5
OP==
⊙O半径为4，54
>
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故选C
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，求得点到圆心的距离是解题的关键．
二、填空题
1、六
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角＝360
n
︒
计算即可．
【详解】
解：设正多边形的边数为n．
由题意得，360
n
︒
＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝360
n
︒
．
2
【解析】
【分析】
先证明△PAM≌△QAE(SAS)，再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论．【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD=1
2
AB=1，
取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为△ACD的中位线，
∴PM=1
2CD=1
2
，PM∥CD，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴∠QAC=90°，QA=AP，,
∵∠EAD=90°，
∴∠QAE=∠CAD，
∴△PAM≌△QAE(SAS)，
，
∴QE=PM=1
2
，
∵AB=2，AE=AD=1
2
∴BE=
∴BQ≤BE+QE+1
2
∴BQ
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
3、3
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：设底面半径为R，则底面周长=2πRcm，
×2πR×5=5πR=15πcm2，
侧面展开图的面积=1
2
∴R=3cm．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，掌握相应的公式是解答此题的关键．
4、80°
【解析】
【分析】
根据圆周角定理有∠ABC =1
2∠AOC =40°，即可求出∠AOC ．
【详解】
解：∵∠ABC =12∠AOC ，
∴∠AOC =2∠ABC ，
而∠ABC =40°，
∴∠AOC =2×40°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
5、140︒##140度
【解析】
【分析】
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【详解】
解：80BOC ∠=︒，
1402A BOC ∴∠=∠=︒，
180********BDC A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
故答案为：140︒．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)10； (2)25504
π- 【解析】
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB =90°，然后在直角△ABC 中利用勾股定理来求直径AB 的长度；
（2）连接OD ．由角平分线的定义及圆周角定理可得∠AOD =90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积=S 扇形△AOD -S △AOD ．
(1)
解：∵AB 为O 的直径，
∴90ACB ∠=︒，
在Rt ABC 中，6AC =，8BC =， ∴22226810AB
AC BC ；
(2)
（2）连接OD ．
∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，
∴45ACD ∠=︒，
∴290AOD ACD ∠=∠=︒， ∴1255522AOD
S =⨯⨯=， ∴阴影部分的面积902525255036024
AOD AOD S S ππ⋅⋅-=-=
-=扇形△． 【点睛】 本题综合考查了直径所对圆周角性质，圆周角定理、勾股定理，角平分线有关计算，三角形面积以及扇形面积公式，采用了“数形结合”的数学思想．
2、 (1)①证明见解析；②(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①由等腰三角形的性质可求∠ABC ＝∠ACB ＝30°＝∠BAD ，可得∠DAC ＝90°，由含30°的直角三角形的性质可求解；②如图2，以AB ，AC 为边作等边△ABH ，等边△ACH ，以AD ，BD 为边作等边△ADE ，等边△BDG ，连接GH ，过点E 作EN ⊥DG ，交GD 的延长线于N ，由“SAS ”可证
△ADB ≌△HGB ，△DAC ≌△EAH ，可得AD ＝GH ＝2，∠ADB ＝∠BGH ＝120°，DC ＝EH ，由直角三角形的
性质可得ND ＝1
2DE ＝1，NE Rt△NEH 中，由勾股定理可求EH ，即可；
（2）如图3通过证明△ADE ∽△ABC ，可得∠ADE ＝∠ABC ，可证A 、D 、B 、F 四点共圆，可求∠BFA ＝
90°，由等腰三角形的性质可证点F是BC中点．
(1)
解：①证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝30°
∵BD＝AD
∴∠ABD＝∠BAD＝30°
∴∠DAC＝90°
∴CD＝2AD
∴CD＝2BD
②如图2，以AB，AC为边作等边△ABH，等边△ACH，以AD，BD为边作等边△ADE，等边△BDG，连接GH，过点E作EN⊥DG，交GD的延长线于N，
∵△BDG和△ABH都是等边三角形
∴BD＝BG＝DG＝4，AB＝BH，∠DBG＝∠ABH＝60°＝∠BGD
∴∠ABD＝∠GBH
在△ADB和△HGB中
∵
BD BG
DBG ABH AB BH
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ADB≌△HGB（SAS）
∴AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°
∴∠DGB+∠BGH＝180°
∴点G，H，D三点共线
∴DH＝4+2＝6
∵△ADE和△ACH都是等边三角形
∴AC＝AH，∠AE＝AD＝DE＝2，∠DAE＝∠CAH＝∠EDA＝60°∴∠DAC＝∠EAH
同理△DAC≌△EAH（SAS）
∴DC＝EH
∵∠BDG＝∠EDN＝60°，EN⊥DG
∴∠DEN＝30°
DE＝1，NE
∴ND＝1
2
∴HN＝DH+DN＝7
∴EH==
∴CD＝EH＝
(2)
连接AF，如图3所示：
∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC
∴AD AE AB AC
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE＝∠AB
∴A、D、B、F四点共圆
∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°
∴AF⊥BC
∵AB＝AC
∴BF＝CF
∴点F是BC中点．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四点共圆等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
3、见解析
【解析】
【分析】
连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定得出
OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【详解】
解：证明：连接OC ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC =∠BAC ，
∵OC =OA ，
∴∠BAC =∠ACO ，
∴∠DAC =∠ACO ，
∴OC ∥AD ，
∵CD ⊥AD ，
∴OC ⊥DC ，
∵OC 过圆心O ，
∴CD 是⊙O 的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
4、 (1)21
322
y x x =-++ (2)s =-2t +6
(3)点E 坐标为（3115，1415
）
【解析】
【分析】
（1）根据解析式可得C 点坐标为（0，-3a ），根据12
OC OB =可表示出点B 坐标，代入解析式求出a 值即可得答案；
（2）根据（1）中解析式可求出A 、B 、D 坐标，可得AB 的长，利用待定系数法可得出直线BD 解析式，根据点E 横坐标可得点E 纵坐标，根据三角形面积公式即可得出s 与t 的函数解析式；
（3）如图，过点B 作BH ⊥AF ，交AF 延长线于H ，延长AG 、DG ，分别交BH 于P 、Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于M ，连接DF ，根据直线BD 解析式可证明△DAB 是等腰直角三角形，即可证明四边形AHBD 是正方形，利用正方形的性质及ASA 可证明△ADE ≌△AHP ，可得DE =PH ，根据,⊥⊥FG DG FA DA 可证明点A 、F 、G 、D 四点共圆，进而可得∠AFD =∠DQB =∠PGQ ，PG =PQ ，利用AAS 可证明△ADF ≌△BDQ ，可得BQ =AF ，设DE =8k ，AF =9k ，根据线段的互相关系及勾股定理可得出AH =15k ，可求出k 值，即可求出BE 的长，根据等腰直角三角形的性质可得EM 、BM 的长，即可得出OM 的长，即可得答案．
(1)
∵抛物线223y ax ax a =--交x 轴于点A 和点B ，交y 轴于点C ，
∴当x =0时，y=-3a ，
∴C 点坐标为（0，-3a ）， ∵12
OC OB =， ∴点B 坐标为（-6a ，0），
∴a （-6a ）2-2a （-6a ）-3a =0，
解得：a 1=0，a 2=16
，a 3=12-， ∵抛物线开口向下， ∴12
a =-， ∴抛物线的解析式为21
322
y x x =-++．
(2) ∵抛物线的解析式为21
322
y x x =-++， ∴当y =0时，21
3022
x x -++=， 解得：x 1=-1，x 2=3，
∴A （-1，0），B （3，0），
∴AB =4，
∵点D 是抛物线顶点，
∴D （1，2），
设直线BD 解析式为y =kx +b ，
∴230
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BD 的解析式为y =-x +3，
∵点E 的横坐标为t ，
∴点E 的纵坐标E y =-t +3，
∵ABE △的面积为s ，
∴s =12E AB y ⋅=14(3)2t ⨯⨯-+=-2t +6．
(3)
如图，过点B 作BH ⊥AF ，交AF 延长线于H ，延长AG 、DG ，分别交BH 于P 、Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于M ，连接DF ，
∵直线BD 的解析式为y =-x +3，
∴∠DBA =45°，
∵点D 为抛物线顶点，
∴AD =BD ，
∴∠DAB =45°，
∴△DAB 是等腰直角三角形，
∵FA DA ⊥，BH ⊥AF ，
∴四边形AHBD 是正方形，
∵AB =4，AD =AG ，
∴AD =BD =AH =BH =AG
AB
=ADG =∠AGD ， 设DE =8k ，
∵:8:9DE AF =，
∴AF =9k ，
在△ADE 和△AHP 中，DAE FAG AD AH ADE AHP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△AHP ，
∴PH =DE =8k ，
∵,⊥⊥FG DG FA DA ，
∴点A 、F 、G 、D 四点共圆，
∴∠AFD =∠AGD =∠PGQ ，
∵AD //BH ，
∴∠ADQ =∠DQB ，
∴∠AFD =∠DQB =∠PGQ ，
∴PG =PQ ，
在△ADF 和△BDQ 中，90AFD DQB QAF DBQ AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△BDQ ，
∴BQ =AF =9k ，
∴BH =BQ +PH -PQ =17k -PQ ，
∴AP =AG +PG =BH +PG =17k -PQ +PG =17k ，
∴AH
k
=
解得：k =2√215
， ∴BE =BD -DE =15k -8k =7k =14√215
， ∴EM =BM =√22
kk =1415， ∴OM =OB -BM =3-1415=3115
， ∴点E 坐标为（
3115，1415）．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、四点共圆的证明及正方形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
5、 (1)见解析
(2)见解析
(3)04k <≤-【解析】
【分析】
（1）（1）由'''ABD A B D ∠=∠，'''BAD B A D ∠=∠，可证得'''BAD B A D △△，从而
''''BD AB B D A B =，进而得到''''AB BC A B B C =，结合'''ABC A B C ∠=∠，可证得'''ABC A B C ；
（2）作'A C D ''△的外接圆交A B ''于点A ''，连接A D '''，''''A B C △为所求作的反例；
（3）作DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，则∠BAC =105º，∠BAD =45º，设DE =1，则AD Rt △ADF
中，由正弦可得DF Rt △DCF 中，AD BD BC =4-. (1)
证明：∵'''ABD A B D ∠=∠，'''BAD B A D ∠=∠，
∴'''BAD B A D △△， ∴''''
BD AB B D A B =. ∵''''
BD B D BC B C =， ∴''''
BD BC B D B C =， ∴''''
AB BC A B B C =， ∵
''''AB BC A B B C =，'''ABC A B C ∠=∠，
∴'''ABC
A B C .
(2) 解：如图，作'A C D ''△的外接圆交A B ''于点A ''，连接A D '''，
则C A D C A D '''''''∠=∠，
∵CAD C A D '''∠=∠，
∴CAD C A D ''''∠=∠，
但ABC 与A B C ''''不相似，
故''''A B C △为所求作的反例；.
(3)
解：如图：
当∠C =45º时，BD BC
最大， 作DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，
∴∠BAC =180º-∠B -∠C =105º，
∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =105º-60º=45º，
不妨设DE =1，
∴AD
在Rt △ADF 中，∠DAC =60º，
∴DF =AD =， 在Rt △DCF 中，∠C =45º，
∴AD
∴
BD
BC 4=-
故：04k <≤-【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，锐角三角形函数等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.。