河南省林州市_学年高一数学5月调研考试试题(火箭班)【含答案】

河南省林州市2016-2017学年高一数学5月调研考试试题（火箭班）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·(a －b )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7
2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π
2
]上为减函数的是( )
A ．y ＝sin(2x ＋π2)
B ．y ＝cos(2x ＋π
2)
C ．y ＝sin(x ＋π2)
D ．y ＝cos(x ＋π
2
)
3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8
4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为( ) A ．3 B ．3.15 C ．3.5 D ．4.5
5．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
6．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15
7．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π
6)的值域为( )
A ．[－2,2]
B ．[－3，3]
C ．[－1,1]
D ．[－32，3
2
]
8．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π
4
＋α)等于
( ) A ．7 B ．－7
C.17 D ．－17
9．用秦九韶算法求多项式：f(x)＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6
在x ＝－4的值时，v 4的值为( )
A ．－57
B ．220
C ．－845
D ．3392
10．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0 D ．S 5＝S 6
11．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9的值等于( ) A ．10 B ．20 C ．60 D ．100
12．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5 二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
11＋a n 是等差数列，则a 11等于________．
14．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 15．在ABC ∆中，已知tan sin 2
A B
C +=给出下列四个结论：
①
tan =1tan A
B ②0sin sin A B <+ ③22sin cos =1A B + ④222
cos cos sin A B C +=其中正确的命题个数是________。

16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；
②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；
③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题（共70分。

17题10分，其余试题每题12分）
17．已知tan(π4＋α)＝2，tan β＝1
2
.
(1)求tan α的值；
(2)求sin α＋β2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值．
18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；
(3)若AB →＝a ，AC →
＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积．
19、在一个花瓶中装有6枝鲜花，其中3枝山茶花，2枝杜鹃花和1枝君子兰，从中任取2枝鲜花.
(1)求恰有一枝山茶花的概率； (2)求没有君子兰的概率
20、已知数列{a n }，a n ∈N *，S n ＝18
(a n ＋2)2
.求证：{a n }是等差数列．
21．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .
22．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
2016级高一火箭班5月调研考试
数学试题答案
1、答案 C 解析 a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝4－2×3×(－32
)＝7.故选C.
2、答案 A 解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π
4
，
π
2
]上是减函数，故选A. 3、答案 C 解析 由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数16.8＝9＋1510＋y 18＋24
5
，可解得y ＝8.故选C.
4、答案 A 解析 ∵x ＝3＋4＋5＋6
4
＝4.5，代入y ^＝0.7x ＋0.35，得y ^＝3.5，∴t ＝
3.5×4－(2.5＋4＋
4.5)＝3.故选A.
注：本题极易将x ＝4，y ＝t 代入回归方程求解而选B ，但那只是近似值而不是精确值． 5、答案 B
解析 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22
＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16.所以，当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B. 6、答案 A
解析 易知数字为n 时共有n 个，到数字n 时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋1
2
.易知n ＝13时，最后一项为91，n ＝14共有14个，故第100项为14. 7、答案 B
解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －3
2
cos x ＝3sin(x －
π
6
)，∴f (x )的值域为[－3，3]． 8、答案 C
解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，∴cos α＝－4
5
.
又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－3
4
.
∴tan(π
4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－
341＋
34
＝17
.
9、B
10、答案 D
解析 ∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝2a 6＝0.∴a 6＝0，a 5>0，a 7<0.∴S 5＝S 6.故选D.
11、答案 D
解析 由题意，得a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102
＝100.故选D. 12、答案 C
解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1
－12，a n ＝5·2n －2
－12
.
a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－1
2
＝79.5.
13、答案 0
解析 记b n ＝11＋a n ，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋1
12
，
即11＋a n ＝n ＋112.∴a n ＝11－n n ＋1
，故a 11＝0.
14、答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，
2n
，n ≥2
解析 ∵S n ＋1＝2n ＋1
，∴S n ＝2
n ＋1
－1.∴n ＝1时，a 1＝3.
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
3，n ＝1，2n ，n ≥2.
15、2个 16、答案 ②
解析 对于①，向量在等式两边不能相消，故①不正确；对于②，有1－2＝k
6
，得k ＝－3，
故②正确；对于③，根据平行四边形法则，可得a 与a ＋b 的夹角为30°，故③不正确．故填②.
17、答案 (1)13 (2)1
7
解析 (1)方法一：∵tan(π4＋α)＝2，∴tan π
4＋tan α
1－tan π4
tan α
＝2.∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝1
3
.
方法二：∵tan(π4＋α)＝2，∴tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
＋α
π4＝tan π4＋αtan
π41＋tan π4＋αtan
π4
＝2－11＋2×1＝1
3.
(2)sin α＋β2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋
β
＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin β－αcos β－α
＝tan(β－α) ＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝1
7
. 18、答案 (1)120° (2)13，37 (3)3 3 解析 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
得4|a |2－4a ·b －3|b |2
＝61.
∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6.
∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－1
2
.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积．
|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝42＋2×(－6)＋32
＝13， ∴|a ＋b |＝13.
同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝37.
(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，
|AB →|＝|a |＝4，|AC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AC →
|·|AB →|·sin ∠BAC
＝1
2×3×4×sin120°＝3 3.
19、
20、∵an ＋1＝Sn ＋1－Sn ＝18(an ＋1＋2)2－1
8
(an ＋2)2，
∴8an ＋1＝(an ＋1＋2)2－(an ＋2)2. ∴(an ＋1－2)2－(an ＋2)2＝0. ∴(an ＋1＋an)(an ＋1－an －4)＝0. ∵an ∈N*，∴an ＋1＋an ≠0.
∴an ＋1－an －4＝0，即an ＋1－an ＝4. ∴数列{an}是等差数列．
21、答案 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n
－1)
当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n
－1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n
－1)；
当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n
－1.
22、答案 (1)a n ＝3(－2)n －1
(2)存在，{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}
解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧
－a 1q 2
－a 1q 3
＝a 1q 2
，a 1q 1＋q ＋q 218，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，q ＝－2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)
n －1
.
(2)由(1)有S n ＝3[12n
]12
＝1－(－2)n
.
若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n
≥2 013，
即(－2)n
≤－2 012.
当n 为偶数时，(－2) n
>0，上式不成立；
当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n
≥2 012，则n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。