课件5：§3.4 不等式的实际应用

所以 t 甲－t 乙＝m2＋s n－sm2m＋nn＝s[42mnm－＋nm＋mnn2] ＝－ 2msnmm－＋nn2. 其中，s，m，n 都是正数，且 m≠n，于是 t 甲－t 乙<0， 即 t 甲<t 乙． ∴甲比乙先到达指定地点．
变式训练 1：现有甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方 案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五 五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优 惠．如果这两家旅行社的全票价相同，那么哪家旅行社价格 更优惠？
问题导思： b 克水中含有 a 克糖(b>a>0)，若在这些糖水中再添加 m
克糖，那么糖水更加甜了． 1．添加 m 克糖前，糖水的浓度为多少？
答：ab.
2．添加 m 克糖后，糖水的浓度变为多少？ 答：ab＋ ＋mm. 3．由糖水添加后比添加前变甜的事实，你能提炼出一个不等 关系吗？
答：ab＋ ＋mm>ab.
类型1：比较法在实际问题中的应用
例 1：甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一 半的时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一 半路程以速度 m 行走，另一半路以速度 n 行走．如果 m≠n， 问甲、乙两人谁先到达指定地点？
解：设总路程为 s，甲、乙所用时间分别为 t 甲、t 乙． 由题意得t2甲m＋t2甲n＝s，2sm＋2sn＝t 乙． 所以 t 甲＝m2＋s n，t 乙＝sm2m＋nn.
∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.
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解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%， 农产品的收购量为 a(1＋2x%)万担， 收购总金额为 200a(1＋2x%)万元． 依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝510a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．
(2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)． 依题意得510a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得 x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0<x<10，∴0<x≤2. ∴x 的取值范围是 0<x≤2.
【解析】设每次进货量为 x 件，一年的运费和租金总和为 y 元，
则 y＝10 x000×100＋x≥2
1
000 x
000·x＝2
000，
当且仅当1
000 x
000＝x，即
x＝1
000
时等号成立，故选
D.
【答案】D
3．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和 宽应选用的金属材料价格每 1 m 分别为 3 元和 5 元，且长和 宽必须是整数，现预算花费不超过 100 元，则做成矩形框架 围成的最大面积是________．
类型3：均值不等式的实际应用 例 3：某厂有一面长 14 m 的旧墙，现在准备用这面墙的一段 为一面，建造平面图形为矩形且面积为 126 m2 的厂房(不考虑 墙高)，修 1 m 旧墙的费用是建 1 m 新墙费用的 25%；用拆去 旧墙所得材料建 1 m 新墙的费用是建 1 m 新墙费用的 50%(拆 旧墙的材料损失忽略不计)．问：如何利用旧墙才能使建墙费 用最省？(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不考虑)
解：设保留的旧墙长为 x m，则拆去旧墙(14－x) m，用这部分旧 墙的材料建新墙；另外还应建新墙[2×12x6＋x－(14－x)] m．设每 米新墙造价为 1 个单位，则建墙的总造价为 y＝12050x＋15000(14－x)＋(25x2＋2x－14) ＝74x＋25x2－7≥2· 47x·25x2－7＝35. ∴当且仅当74x＝25x2，即 x＝12 时，ymin＝35. 所以保留旧墙 12 m，能使造墙费用最省．
4．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大 米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每 次购进 100 kg 大米，而乙每次用去 100 元钱．问：谁的购买 方式更合算？
解：两次大米的价格分别为 a 元/千克，b 元/千克(a、b>0，a≠b)， 则甲两次购买大米的平均价格是10020a0＋b＝a＋2 b(元/千克)； 乙两次购买大米的平均价格是1a002＋001b00＝1a＋2 1b＝a2＋abb(元/千克)． ∵a＋2 b－a2＋abb＝a＋2ba＋2－b4 ab＝2aa－＋bb2>0， ∴a＋2 b>a2＋abb.
§3.4 不等式的实际应用
学习目标： 1．通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应 用，掌握解决这类问题的一般步骤． 2．让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程. 3．通过实际，让学生体验数学与日常生活的联系，感 受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的 实践能力．
重点难点： 重点：不等式的实际应用． 难点：实际问题的数学建模.
设汽车的年平均费用为 y 万元，则有 y＝1x(10＋0.9x＋0.2＋20.2xx)＝1x(10＋x＋0.1x2) ＝1＋1x0＋1x0≥1＋2 1x0·1x0＝3. 当且仅当1x0＝1x0， 即 x＝10 时，y 取最小值 3.
所以当这种汽车使用 10 年时，年平均费用最少.
课堂检测：
1．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是
变式训练 2：经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/
小时)与汽车的平均速度 v(km/h)之间有函数关系：y＝
920v v2＋3v＋1
600(v＞0)．
为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平
均速度应控制在什么范围内？
解：由题意得v2＋39v2＋0v1 600≥10，即 v2－89v＋1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0， 解得 25≤v≤64. 所以为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时， 汽车的平均速度应控制在 25～64 km/h 的范围内.
【解析】设长为 x m，宽为 y m，则根据条件知 6x＋10y≤100， 即 3x＋5y≤50，且 x≥y. 再根据 x，y 都是整数的条件下求 xy 的最大值， 而 xy＝115×3x×5y≤115×(3x＋2 5y)2， 并且检验知当 x＝8，y＝5 时，面积 xy 最大，为 40 m2. 【答案】40 m2
知识梳理： 1．实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题
的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当 设未知数 ，将量与量间的关系变成不等式 或不等式组．
2．实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注 意定义域的变化．
3．解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关 系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为 25
万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量
是( )
A．100 台
B．120 台
C．150 台
D．18 台
【解析】由题意得 25x＋0.1x2－20x－3 000≥0，且 0＜x＜240. ∴可解得 x≥150，即最低产量为 150 台 例 2：某农贸公司按每担 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万 担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税 率降低 x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取值范围．
解：设该家庭除户主外，还有 x 人参加旅游，甲、乙两旅行 社收费总额分别为 y 甲、y 乙，一张全票价为 a 元， 则 y 甲＝a＋0.55ax，y 乙＝0.75(x＋1)a， y 甲－y 乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)． 当 x＞1.25(x∈N)时，y 甲＜y 乙； 当 x＜1.25(x∈N)时，y 甲＞y 乙． 所以对于两口之家，乙旅行社较优惠；对于三口之家或多于 三口的家庭，甲旅行社较优惠.
【答案】C
2．某商场的某种商品的年进货量为 1 万件，分若干次进货，
每次的进货量相同，且每次的运费均为 100 元，运来的货物
除出售外，还需租仓库存放，仓库一年的租金和一次进货的
件数相同，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为
() A．200 件
B．5 000 件
C．2 500 件
D．1 000 件
变式训练 3：某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保 险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时， 它的年平均费用最少？
解：设使用 x 年平均费用最少． 由题意知，汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元 为公差的等差数列， ∴汽车使用 x 年总的维修费用为0.2＋20.2xx 万元．