利用向量证明三点共线与三线共点

利用向量证明三点共线与三线共点
宋朝霞; 付昆朋
【期刊名称】《《高中数理化》》
【年(卷),期】2019(000)010
【总页数】1页(P12)
【作者】宋朝霞; 付昆朋
【作者单位】山东省淄博市临淄中学
【正文语种】中文
证明三点共线、三线共点是几何中经常遇到的问题，直接证明往往较为困难，用向量进行证明则会更加简便，本文就此进行举例说明.
1 证明三点共线
证明A，B，C三点共线，只要证明与共线即可，即证明
例1 已知两个非零向量e1和e2不共线，如果求证：A，B，D三点共线.
证明因为所以向量与共线.
又因为和有共同的起点A，所以A，B，D三点共线.
点评欲证A，B，D三点共线，只需证与共线即可.
例2 若a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数m为何值时，三个向量的终点在同一直线上？
解析由题意可知，要使三个向量的终点在同一直线上，则存在唯一实数λ，使化
简得因为a,b不共线，所以解之得
综上所述，当时，三个向量的终点在同一直线上.
点评已知向量a与b不共线，λ1，λ2为实数，若λ1a+λ2b=0，则λ1=λ2=0.
2 证明三线共点
证明三线共点一般需证两线交点在第三条直线上，可将某一个向量用同一基底下的两种不同的形式表达，即用“若e1，e2为基底，a=x1e1+y1e2=x2e1+y2e2，则求解.
例3 证明三角形的三条中线交于一点.
证明如图1所示，令并以a,b为基底，则
图1
设AD与BE相交于G1，并假定则有
因为所以解得所以
再设AD与CF相交于G2，同理可得
因此，点G1与G2重合，也就是AD，BE，CF相交于同一点.
综上所述，三角形的三条中线交于一点.
点评应用平面向量基本定理证明平面几何问题，一般先选取一组基底，再充分运用向量的几何性质、坐标运算等向量的有关知识，把相关向量用基底表示即可.。