【金版学案】2021届高考数学总温习 第七章 第八节双曲线(二)课时精练试题 文（含解析）(1)

第八节 双曲线(二)
题号 1
2
3
4 5 6 7 答案
1．(2021·北京卷)双曲线x 2－y 2
m
＝1的离心率大于
2的充分必要条件是( )
A ．m >1
2 B ．m ≥1
C ．m >1
D ．m >2 解析：由
x 2－
y 2
m
＝1知，a ＝1，b ＝m ，因此c 2＝a 2＋b 2＝1＋m ，e 2＝
c 2
a 2
＝1＋m ，由e >2，得1＋
m >2，因此m >1.应选C.
答案：C
2．(2021·甘肃甘谷一中检测)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，
B 两点，|AB |为
C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )
A.
2 B.
3 C ．2 D ．3
解析：设双曲线方程为x 2a 2－
y 2
b 2
＝1，一个核心为F (c,0)，A (c ，y 0)．将A 点坐标代入双曲线方程得y 0＝±
b 2a
.∵|AB |
＝4a ，∴2·
b 2a
＝4a ，即2a 2＝b 2，∴3a 2＝c 2，e ＝ 3.应选B.
答案：B
3．(2021·全国新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，那么C 的渐近线方程为
( )
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2x D ．y ＝±x
解析：由e ＝c
a ＝5
2
知，设a ＝2k ，c ＝
5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .
因此b a ＝1
2.即渐近线方程为y ＝±1
2
x .应选C.
答案：C
4．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)与曲线x 25－n ＋y 2
9－n ＝1(5＜n ＜9)的( )
A ．焦距相等
B ．核心相同
C ．离心率相等
D ．以上都不对
解析：方程x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)的曲线为核心在x 轴的椭圆，方程x 25－n ＋y 2
9－n ＝1(5＜n ＜9)的曲线为核心在y 轴的双曲线，且(10－m )－(6－m )＝(9－n )＋(n －5)．应选A.
答案：A
5．(2021·四川省成都4月模拟)已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 知足|PA |－|PB |＝3，那么|PA |的最小值为( )
A.12
B.32
C.7
2
D ．5 解析：由|PA |－|PB |＝3知P 点的轨迹是以A ，B 为核心的双曲线一支(以B 为核心的一支)，因为2a ＝3,2c ＝4，因此a ＝32，c ＝2，因此|PA |min ＝a ＋c ＝7
2
.应选C.
答案：C
6．(2021·青岛模拟)设F 1、F 2别离是双曲线x 2－
y 2
9
＝1的左、右核心，假设点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→
＝0，
那么|PF 1→＋PF 2→
|＝( )
A.
10 B ．2
10 C.
5 D ．2
5
解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→
，由向量加法的平行四边形法那么可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →
|＝2c ＝2
10.
答案：B
7．(2021·梅州一模)假设m 是2和8的等比中项，那么圆锥曲线x 2＋y 2
m
＝1的离心率为( )
A.32
B.5
C.32或52
D.32或5
解析：依题意可知m ＝
2×8＝±4.
当m ＝4时，曲线为椭圆，a ＝2，b ＝1，那么c ＝3，e ＝c
a ＝3
2，
当m ＝－4时，曲线为双曲线，a ＝1，b ＝2，c ＝5，那么e ＝
5.应选D.
答案：D
8．(2021·天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的一个核心，且双曲线的离心
率为2，那么该双曲线的方程为________．
解析：由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2.
双曲线的左核心为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，而c a ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 2
3＝
1.
答案：x 2－y 2
3
＝1
9. (2021·赣州期末)假设圆(x －2)2＋y 2＝2与双曲线x 2a
2－
y 2b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相切，那么双曲线的离
心率是____________．
解析：已知圆心为(2,0)，半径为
2，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意有|2b |
a 2＋
b 2
＝
2，即a 2
＝b 2，∴a 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，∴e ＝
2.
答案：
2
10．双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，假
设点(1,2)在“上”区域内，那么双曲线离心率e 的取值范围是____________．
解析：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，点()
1，2在该直线的上方，由线性计划知识，知：2>b
a
，
22>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2⇒4>c 2－a 2
a 2⇒4>⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2－1⇒1<e 2<5⇒1<e <5，故e ∈(1，5)．
答案：(
)
1，
5
11．已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 2
9＝1的核心，PQ 是过核心F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是__________．
解析：由双曲线方程得，2a ＝8.
由双曲线的概念得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②
①＋②，得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16，因此|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16. 答案：16
12．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的核心坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右核心，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
解析：(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 2
16＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.核心坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心
率为e ＝53，渐近线方程为y ＝±4
3
x .
(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，
cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|
＝
|PF 1|－|PF 2|
2＋2|PF
1||PF 2|－|F 1F 2|
2
2|PF 1||PF 2|
＝36＋64－10064 ＝0.
∴∠F 1PF 2＝90°.
13．(2021·济宁模拟)设A 、B 别离为双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右极点，双曲线的实轴长为43，
核心到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
33
x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →
＝
tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
解析：(1)由题意知a ＝2
3，因此一条渐近线为y ＝
b
23
x ，
即bx －23y ＝0，因此
|bc |
b 2＋12
＝
3，
因此b 2＝3，因此双曲线的方程为
x 212－y 2
3
＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝16
3，y 1＋y 2＝12，
因此⎩⎪⎨⎪⎧
x 0y 0＝433，x 2
12－y
20
3＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝43，y 0＝3，
因此t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．
14．(2021·上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左核心，M 是C 右支上一点．假设|MF |＝2
2，求点M 的坐标；
(2)过C 的左极点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P ，Q 两点．假设l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (1)解析：双曲线C ：
x 2
1
2
－y 2＝1，左核心
F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，那么|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3x ＋222，由点
M 是右支上一点知，x ≥2
2
，因此|MF |＝
3x ＋2
2
＝2
2，得x ＝62，因此M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
62，±
2. (2)解析：左极点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .
过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋
22，即y ＝2x ＋1.
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－2x ，
y ＝2x ＋1，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－24
，
y ＝12.
因此所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝2
4
.
(3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故
|b |
k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1.(*) 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2
＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.
设P (x 1
，y 1
)，Q (x 2
，y 2
)，那么⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2kb
2－k 2
，x 1x 2
＝－1－b
2
2－k 2
.
又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，因此
OP →·OQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2
＝
1＋k 2
－1－b 2 2－k 2
＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 2
2－k 2
. 由(*)知，OP →·OQ →
＝0，因此OP ⊥OQ .。