数学人教A版选择性必修第三册6.2.4组合数课件

对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数
C 23 3.
组合
排列
甲乙
甲乙，乙甲
甲丙
甲丙，丙甲
乙丙
乙丙，丙乙
排列
组合
运用同样的方法 , 我们来求从4
abc
个不同元素中取出3个元素的
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
abd
adb
bad
bda
dab
dba
acd
acd
adc
cad
cda
(1)C
455;
3 21
200 199 198
197
3
(2)C200 C200
1313400,
3 21
3
15
6 5 4 4 3 21 2
(3)C C

;
3 21 8 7 6 5 7
3
6
(4)C
n
n 1
4
8
C
n 2
n
C
1
n 1
(1)C62 ;
(2)C79 ;
(3)C73 C62 ;
6!
6 5
(1)C

15;
(6 2)! 2!
2
2
6
(4)3C83 2C52 .
9!
9 8
(2)C

36;
(9 7)! 7!
2
7
9
7!
6!
7 6 5 6 5
(3)C C



35 15 20;
,
个步骤得到:
第1步, 从n个元素中取出m个元素作为一组, 共有Cmn 种不同的取法;
第2步, 将取出的m个元素作全排列, 共有A 种不同的排法 .
m
m
根据分步乘法计数原理, 有A mn Cmn A mm .
环节三：抽象概括，形成概念
因此,
m
A
n( n 1)( n 2) ( n m 1)
方法2抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减
去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
C 161700
9604.
3!
3
98
当n和m 取较小数值时 ,
可以通过手算得出A mn 和Cnm .
当n和m 取较大数值时 ,
可以使用信息技术工具 ,
的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3
件．
（1）有多少种不同的抽法?
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(1) 所有的不同抽法种数 , 就是从100件产品中抽出3件的组合数 , 所以
意抽出3件．
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种
情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
2
C12 C98
+C22 C198 9506 98 9604.
10
10
(3) C10 10
1;
A10 10!
0
(4) C10
1.
思考：视察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?
（1）与（2）分别用了不同情势的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?
C C
m
n
n m
n
n!
证明：C
,
m !( n m )!
n!
n!
n m
n( n 1) n( n 1)(n 1)
C ( n 1)

.
2
2
2
n
3.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种
币值?
由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可
以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不
同的面值
C C C C 15(种)
共有A 12 11 10 9 8 7 665280种选法;
6
12
(2) 根据题意, 将全部的书放在书架上, 且不使同类的书分开,
则数学书有A44 24种放法 , 物理书有A55 120种放法 ,
化学书有A 6种放法 , 3种书共有A 6种排法 ,
3
3
3
3
共有24 120 6 6 103680种放法.
人教A版202X选择性必修第三册
1
学习目标
(1)理解组合和组合数的概念，能够区分组合数和组合；
(2)通过探索排列和组合的关系，利用计数原理推导组合
数公式；
(3)通过组合数的计算，体会“数学运算”，通过探索排
列和组合的关系，体会“逻辑推理”
环节一：创设情境，引入课题
类比排列数，我们引进组合数概念：
(2)A14 A 42 A 43 A 44 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64.
2. 先计算 , 然后用计算工具检验 :
3
(1)C15
;
(2)C197
200 ;
(3)C C ;
3
6
4
8
2
n
15 14 13
2
3
素中取出3个元素的组合数表示为C43 .
环节二：视察分析，感知概念
探究：前面已经提到, 组合和排列有关系, 我们能否利用这种关系,
由排列数A 来求组合数C 呢 ?
m
n
m
n
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序
不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的
Cn

,
( n m )!( n ( n m ))! m !( n m )!
m
n
C C
m
n
n m
n
环节五：课堂练习，巩固运用
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3
件．
（1）有多少种不同的抽法?
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
因为C
, Cn 1
,
m !( n m )!
( m 1)!( n m )!
m
n
n!
m 1
( n 1)!
m 1 m 1
所以C



Cn 1 .
m !( n m )! n 1 ( m 1)!( n m )! n 1
m
n
3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，
确定的四面体个数是C104 210
7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小
题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1
个小题，有多少种不同的选法?
由于只要选出要做的题目即可 , 所以是组合问题, 另外, 可以分三步:
第一步选做第1题, 选法有C43 种,
以使计算更快捷和准确.
许多信息技术工具都有
计算排列数A mn 和组合数Cnm
的内部构造函数 ,
输入n和m的值后,
便可以直接得到结果 .
环节六:归纳总结，反思提升
1.组合数公式： C
2.组合数性质：
A
− 1 − 2 … ( − + 1
!

= =
=
A
!
! ( − )!
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合
问题；
（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看
作是一个分步完成的组合问题；
（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品
C = C−

C+1
= C + C−1
3.解决组合问题： “先分类，后分步”
直接法、间接法
提高分析问题、解决问题的能力，
发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养
环节七：目标检测，作业布置
完成教材：
第26〜27页习题6.2
第2,10,12,13,15,16题.
练习第25页
1. 先计算，然后用计算器验证结果：
(7 3)! 3! (6 2)! 2!
6
2
3
7
2
6
8!
5!
8 7 6
54
(4)3C 2C 3
2
3
2
148
(8 3)! 3!
(5 2)! 2!
6
2
3
8
2
5
m 1 m 1
2. 求证C
Cn 1
n1
m
n
n!
( n 1)!
m 1
6.（1）空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共
可以作多少个平面?
（2）空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，
一共可以作多少个四面体?
（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面数是
C 56
3
8
(2)由于四面体由四个顶点唯一确定, 而与四个点的顺序无关, 所以共可
1
2
2
4
(3) 如果物理和化学至少有1门被选, 则共有C12C42 C22C14 12 4 16
种不同的选法.
习题6.2（第26页）
1. 先计算, 然后用计算工具检验 :
(1) 5A 4A ;
3
5
2
4
(2)A A A A .
1
4
2
4
3
4
4
4
(1)5A 53 4A 42 5 5 4 3 4 4 3 348;
是 mn
.
5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现
要将这些书放在一个单层的书架上．
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不
同的放法？
(1) 根据题意, 共有4 5 3 12本书, 所以从中选出6本放在书架上,
m
n
Cn m
Am
m!
这里n, m N , 并且m ≤ n, 这个公式叫做组合数公式.
*
n!
因为A
, 所以, 上面的组合数公式还可以写成
( n m )!
m
n
另外, 我们规定C 1.
0
n
n!
C
.
m !( n m )!
m
n
环节四：辨析理解，深化概念
3
例6 计算：(1) C10
1
4
2
4
3
4
4
4
4.填空：
（1）有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是
A 60
5
3 243；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是
（3）5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是
C 10 ；
3
5
3
5
；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数
;
7
(2) C10
;
10
(3) C10
;
0
(4) C10
.
解：根据组合数公式, 可得
A
10 9 8
(1) C

120;
A
3!
3
10
3
10
3
3
10!
10 9 8 7! 10 9 8
(2) C


120;
7!(10 7)!
7! 3!
3!
7
10
10
A
10!
现要从中选3门成绩．
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法．
(1) 从6门成绩中选 3门成绩共有C 20种不同的选法;
3
6
(2) 如果物理和化学恰有1门被选, 则共有C C 12种不同的选法;
抽法种数为C
3
100
3
A100
100 99 98
3
161700;
A3
3!
(2) 从 2件次品中抽出1件的抽法有C12 种, 从98件合格品中抽出2件的抽法
有C 种, 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
2
98
98 97
C C 2
9506.
2!
1
2
2
98
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任
dac
dca
bcd
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
组合数C ,
3
4
设这 4个元素为a , b, c , d , 那么
从中取出3个元素的排列数
A 24. 以“元素相同”
3
4
为标准将这 24个排列分组 ,
一共有 4组 , 如图6.2 8所示,
因此组合数C 4.
3
4
图6.2-8
观察图6.2 8, 也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数A 43 ”
第1步, 从4个元素中取出3个元素作为一组, 共有C 种不同的取法;
3
4
第2步, 将取出的3个元素作全排列, 共有A 33 种不同的排法 .
3
A
3
3
3
3
4
于是, 根据分步乘法计数原理, 有A4 C4 A3 , 即C4 3 .
A3
同样地“从
,
n个元素中取出m个元素的排列数Amn ”可以看作由以下两
从n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有不同组合的个数, 叫做
从n个不同元素中取出m个元素的组合数, 用符号Cmn 表示.
符号C 中的C是英文combination(组合 )的第一个字母 , 组合数还可以
m
n
n
用符号 表示.
m
例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C , 从4个不同元