考点15平面向量的数量积、线段的定比分点与平移
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
平面向量
平面向量1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．主要考查：1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用．3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时向量的概念与几何运算⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：① | λ |＝ ．② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ．⑵ λ(μ)＝ ． (λ＋μ)＝ ．λ(＋b )＝ ．⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ．例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，=，求．解：＝AE －＝41(＋)－＝－43a ＋41b 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ）A ．－＋21B ．－－BA 21C ．－21D ．＋21解:A例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，BC使μλ+=．解:c ＝λ＋μb ⇒21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ⇒2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9⇒λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：4=+++证明 ＋PC ＝2PO ，＋＝2PO ⇒＋＋PC ＋＝4PO例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC和AB 的中点，若a =，b =，试用a 、b 表示和．解：连NC ，则==-=+=+=4141；21-=-=变式训练3：如图所示，OADB 是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝31，＝31，试用、表示，，．解:＝61a ＋65b ，＝32a ＋32b ，＝21－61b 例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，31(＋)三向量的终点在一条直线上？解：设])(31[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得：)31()132(=-+-t λλ∵不共线与，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-2123030132t t λλλ故21=t 时，)(31,,t +三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e ===== ，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD = ，即(3)32t a tb ka kb -+=-+，整理得(33)(2)t k a k t b -+=-.①若,a b共线，则t 可为任意实数；②若,a b 不共线，则有33020t k t k -+=⎧⎨-=⎩，解之得，65t =.综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65t =.D1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：＋＝ －＝ λ＝已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则＝ ．4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．例1.已知点A （2，3），B （－1，5），且＝31AB ，求点C 的坐标．解＝31＝(－1，32)，＝+＝(1, 311)，即C(1, 311)变式训练1.若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则31AB= .解: (3,2)--提示：(9,6)AB OB OA =-=--例2. 已知向量＝(cos 2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求cos(α－β)的值．解:|－|＝55222552=--⇒)cos(βα2cos 22552βα--⇒＝55222552=--⇒)cos(βα⇒cos 2βα-＝53⇒cos(α－β)＝257-变式训练2.已知－2b ＝(－3，1)，2＋b ＝(－1，2)，求＋b ．解 a ＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴a ＋b ＝(0，1)例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，1e ＝＋2，2e ＝2－，且1e ∥2e ，求x ．解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ⇒3(1＋2x)＝4(2－x)⇒x ＝21变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．证明: k ＝θθsin cos 2- ∴k －3＝θπθsin )3cos(22--≥0 ∴k≥3例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)(2) ∵= ∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点∴P 分的比为21设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9)则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==∴)5103,510(1032-==1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时 平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b ，过O 点作＝，＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果与b 的夹角是90°，我们说与b 垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量叫做与b 的数量积（或内积），记作·b ，即·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则·b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)．·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．4．向量数量积的性质：设、b 都是非零向量，是单位向量，θ是与b 的夹角．⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥b ⇔⑶ 当与b 同向时，·b ＝ ；当与b 反向时，·b ＝ ． ⑷ cos θ＝ ．⑸ |·b |≤ 5．向量数量积的运算律：⑴ ·b ＝ ； ⑵ (λ)·b ＝ ＝·(λb ) ⑶ (＋)·c ＝4，|b |＝5，且与b 的夹角为60°，求：(2＋3b )·(3－2b )． 解:(2＋3b )(3－2b )＝－4变式训练1.已知||＝3，|b |＝4，|＋b |＝5，求|2－3b |的值． 解:56例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a ⊥b ，求θ； (2) 求|a ＋b |的最大值．解：(1)若⊥，则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ 而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-=(2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+当4πθ=时，+的最大值为12+变式训练2：已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．证明：222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+⋅-=-=+-+= a b ∴+ 与a b -互相垂直（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++,a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=--,k a b →+= a kb →-= ,cos()0βα-=，2πβα-=例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设BC 的中点为D ，则(-)(2-+)＝0⇒2·＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形.变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 .解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-⋅=⊥例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25128化简：cos 257)4(=+πθ又cos 225162)4cos(1)82(=++=+πθπθ∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ<0 ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ＝－54 变式训练4.平面向量11),(2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+- ,,y ka tb =-+ 且x y ⊥ ，试求函数关系式()k f t =. 解：由11),(2a b =-=得0,||2,||1a b a b ⋅===22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-⋅-+=-+⋅--⋅+-=33311(3),()(3)44k t t f t t t =-=- 1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意·b 与ab 的区别．·b ＝0≠＞＝，或b ＝． 3．应根据定义找两个向量的夹角。
高考数学全国统一考试大纲
高考数学全国统一考试大纲高考数学全国统一考试大纲Ⅰ。
考试性质全国统一考试是选拔性考试，由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加，高等学校依照考生的成绩，按照招生计划进行综合评估，以德、智、体、全面衡量，择优录取。
因此，考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ。
考试能力要求1.平面向量考试内容包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离和平移。
考生需要：1) 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2) 掌握向量的加法和减法。
3) 掌握实数与向量的积，了解两个向量共线的充要条件。
4) 了解平面向量的差不多定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积能够处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6) 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，同时能够熟练运用平移公式。
2.集合、简易逻辑考试内容包括集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。
考生需要：1) 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关的术语和符号，并能正确表示一些简单的集合。
2) 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
理解四种命题及其相互关系。
掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
3.函数考试内容包括映射、函数、函数的单调性、奇偶性、反函数、互为反函数的函数图像间的关系、指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数、对数、对数的运算性质、对数函数和函数的应用。
考生需要：1) 了解映射的概念，理解函数的概念。
2) 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判定一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
3) 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，能够求一些简单函数的反函数。
平面向量的所有公式归纳总结
平面向量的所有公式归纳总结平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.ab+bc=ac.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'.3、向量的数量内积的运算律ab=ba(交换律);(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律);4、向量的数量内积的性质aa=|a|的平方.a⊥b〈=〉ab=0.|ab|≤|a||b|.5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2.（2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c.（3）|ab|≠|a||b|（4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任一.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量内积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量内积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.备注：向量没乘法,“向量ab/向量cd”就是没意义的.1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b逆向时,左边挑等号;②当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.①当且仅当a、b同向时,左边取等号;②当且仅当a、b逆向时,右边挑等号.定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)设p1、p2就是直线上的两点,p就是l上不同于p1、p2的任一一点.则存有一个实数λ,并使向量p1p=λ向量pp2,λ叫作点p棕斑向线段p1p2阿芒塔的比.若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),则有op=(op1+λop2)(1+λ);(的定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(的定比分点座标公式)我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式1、三点共线定理若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,则a、b、c三点共线2、三角形战略重点推论式在△abc中,若ga+gb+gc=o,则g为△abc的重心3、向量共线的关键条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的关键条件就是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量横向的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0.a⊥b的充要条件就是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型
平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。
单招数学考试内容
1．平面向量考试内容：向量、向量的加减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示，线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点的
距离、平移
2 集合，简易逻辑考试内容：集合、子集、交集、补集、交集、并集
3 .函数，映射、函数的单调性、奇偶性，反函数及图像关系，对数的运算、对数函数
4.不等式的基本性质、证明、解法，含绝对值的不等式
5.三角函数，单位圆中的三角函数、正余弦函数、正切函数及其图像，正弦定理、余弦定理。
6.数列：等差、等比数列及其通向公式，前 N 项和公式
7.直线和圆的方程，直线的倾斜角和斜率，点斜式和两点式、一般式平行线与垂直的关系，点到线的距离。
8.圆锥曲线方程：椭圆的几何性质和参数方程，双曲线、抛物线的标准方程和基本性质。
9.直线、平面、简单几何体，直线和平面的判定，距离，三垂线定理。
10.排列组合：排列、数列数公式，组合、组合数公式，二项式定理展开式。
11.概率，随机事件的概率、可能性事件的概率。
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
专题平面向量常见题型与解题指导
平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
2.4.1平面向量数量积及运算律
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、 c是 任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。 思（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 考 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？
（2）“a •b ”能不能写成“a b ”或a者b “ 记”法的“ a形·式b ”？中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－式：
1、若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也 互相垂直，求k的值。
K=6
练习三：
1、已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为 时， 求a 在 e方向上的投影及 a • e、e • a ；4 3
=5×4×（-1/2）= －10
P书106.1.2
思考4：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ， ︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化
(完整版)平面向量复习基本知识点及结论总结
r r
9、向量垂直的充要条件 ：a b
10、线段的定比分点：
(1)定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数
ujuu
则叫做点P分有向线段PP2所成的比，P点叫做有向线段
(2)的符号与分点P的位置之间的关系
，
r r
a//b
r r
a b 0
r r a b
(3)b在a上的投影 为|b|cos或^，它是一个实数，但不一定大于0。
|a|
■ ■
(4) a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
ffrrrr十
当 为锐角时，a ?b>0,且ab不同向，a b0是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时，a?bv0,且a、b不反向，a b0是 为钝角的必要非充分条件；
(1)两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作OA a,OB b,AOB 0称为向量a,
b的夹角。当=0时，a,b同向，当=时，a,b反向，当
(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b，它们的夹角为
--.-. r r
b的数量积(或内积或点积)，记作：a?b，即a?b=a b cos
是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
③非零向量a,b夹角 的计算公式：cos
只适用于不共线的向量，
如此之外，
向量加法还可利用“三角形法则”：设AB
a,BC
b,那么向量
叫做a与b的和，即
r r a b
uuu AB
BC Ac；②向量的减法：用“三角形法则”
:设
uuu r uuurr
r r
uuu
uuruuu
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，把握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，明白得向量的几何表示，把握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的明白得，向量是能够自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求把握向量的加减法运算，会用平行四边形法那么、三角形法那么进行向量的加减运算；把握实数与向量的积运算，明白得两个向量共线的含义，会判定两个向量的平行关系；把握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并明白得其几何意义，把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判定两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式要紧以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】把握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙明白得。
【命题规律】重点考查概念和公式，要紧以选择题或填空题型显现，难度一样。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，假设出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主若是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的一个基本概念，同时也是高中数学中比较难理解和掌握的知识点之一。
下面我们将结合实例，对平面向量的定义、加减和数量积等知识点进行简明归纳。
一、平面向量的定义平面向量又称二维向量，是具有大小和方向的有向线段，通常用字母加箭头表示（如：$\vec{a}$）。
在直角坐标系中，平面向量可以表示成一个有序实数对$(a,b)$。
例如：已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，连接这两个点所得的有向线段$\vec{AB}$就是一个平面向量，它的坐标表示为$\vec{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$。
二、平面向量的加减平面向量的加减法是指将两个向量相加（或相减）所得的向量，即$\vec{a}+\vec{b}$（或$\vec{a}-\vec{b}$），其坐标分别相加（或相减）。
例如：已知向量$\vec{a}=(1,2)$和向量$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$；$\vec{a}-\vec{b}=(1-3,2-4)=(-2,-2)$。
另外，平面向量加减法还满足以下性质：（1）交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；$\vec{a}-\vec{b}=-\vec{b}+\vec{a}$（2）结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（3）零向量：对于任意向量$\vec{a}$，有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，$\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}$。
其中，$\vec{0}=(0,0)$。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为$\vec{a} \cdot \vec{b}$，它的值为两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值，并可以用各个分量表示出来。
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos\theta=a_xb_x+a_yb_y$其中，$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$，$\theta$表示$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角。
2015高考数学(人教A版)一轮课件：5-1平面向量的概念及其线性运算
3． (2014· 太原五中 2 月月考)若 O 为△ABC 所在平面内一点， → → → 且 3OA＋4OB＋7OC＝0， 则△OAB 和△ABC 的面积之比为( 1 A. 4 1 C.2 1 B.3 2 D.5 )
→ → → → → → 解析： 将 3OA＋4OB＋7OC＝0 变形为 7(OA＋OC)＝4(OA－ → )． OB 如图，以 OA 和 OC 为邻边所作的平行四边形的对角线 OD 和 AB 平行．显然 OD 交 AC 于 AC 的中点，故 O 到 AB 的距离 1 1 是 C 到 AB 距离的2，所以△OAB 和△ABC 的面积之比为2.故选 C.
(5)相等向量：长度相等 且方向相同 的向量． (6)相反向量：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的 相反向量．
特别提醒：向量是自由向量，在用有向线段表示向量时，要 认识到有向线段的起点的选取是任意的， 不能认为向量也是由起 点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有 “平衡意识”——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．有 向线段仅是向量的直观体现，不能等同于向量．
2→ 1 2 1 → → → 解析：AF＝AC＋CF＝a＋3CD＝a＋3(b－a)＝3a＋3b.故选 D.
答案：D
题型一
平面向量的有关概念
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → ＝DC → ，则四边形 ABCD 为平行四边形； ②若AB ③若 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
2．向量的加法运算及其几何意义 → ＝a，BC →＝ (1)已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作AB
数学八年级第五章——第五章 平面向量教材分析
第五章平面向量教材分析这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：5.1向量约1课时5.2向量的加法与减法约2课时5.3实数与向量的积约2课时5.4平面向量的坐标运算约2课时5.5线段的定比分点约l课时5.6平面向量的数量积及运算律约2课时5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时5.8平移约1课时5.9正弦定理、余弦定理约4课时5.10解斜三角形应用举例约2课时5.11实习作业约2课时5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时小结与复习约2课时(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等(二)本章教学要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2.掌握向量的加法与减法3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可(三)注意培养学生的思维能力注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想(五)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加强向量在物理中的应用为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象(3)注意联系实际在这一章中，把联系实际分成三个层次：第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。
专题83平面向量的数量积(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视
专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念2.零向量：3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.二、向量的表示方法1.几何表示：2.符号表示：3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,24e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC上的中线,且AD a=，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例 6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果： （3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120. 2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y . （1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.60举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12P P 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；（3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .知识应用1.（2018•卷Ⅰ）在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A. B. C. D.2.（2018•浙江）已知a ， b ， e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 ，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A. −1B. +1C. 2D. 2−3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.（2018•卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A.4B.3C.2D.05.过点()0,2-且斜率为的直线与抛物线：交于，两点，若的焦点为，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.7.抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.AAABDCB8.已知向量，，则________．9.（2018•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点，若,则点的横坐标为________ 310.（2018•卷Ⅲ）已知向量，，，若，则________。
平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版
突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘 已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·江西高一期末）设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e - D ．121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底. 故选：C ．（2）.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A ．21318BA BC -+B ．21318BA BC +C ．41318BA BC +D ．21318BA BC -【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得：FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+． 故选：B ．【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A ．12e e -，21e e - B ．12e e -，12e e + C ．212e e -，212e e -+ D ．122e e +，124e 2e +【答案】B 【解析】 【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ； 因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ， 故选：B【变式训练1-2】、（2022·江西上饶·一模（理））如图，在ABM 中，3BM CM =，27AN AM =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．17-B ．17C ．27-D ．27【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论． 【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+， 所以13,77λμ=-=，132777λμ+=-+=，故选：D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=，则a b =___________.【答案】3 【解析】 【分析】设(),=b x y ，利用()24,5-=a b ，求得b ，再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ，由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，即()3,1b =--，所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为：3.（2）.（2022·全国·高一专题练习）已知A (1，2)，B (3，－1)，C (3，4)，则AB AC ⋅等于（ ） A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决 【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .（3）.（2022·山东济南·二模）若平面向量a 与b 同向，(2,1)a =，||25b =，则b =（ ） A ．(4,2)B ．(2,4)C ．(6,3)D ．(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设()0b a λλ→→=>，进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向，所以设()0b a λλ→→=>，则22||215252b λλλ→=+==，于是，()4,2b →=. 故选：A.【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,6,1,a b λ==-，若//a b ，则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】 【分析】由向量平行得3λ=-，再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解：因为()()2,6,1,a b λ==-，//a b ， 所以62λ-=，解得3λ=-， 所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为：()5,15【变式训练2-2】、（2022·青海西宁·高一期末）设()3,1OM =，()5,1ON =--，则MN =（ ）. A ．()8,2-- B ．()8,2C ．()8,2-D ．()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =，()5,1ON =--，所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选：A.(三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）．（2022·陕西·高三期末（文））已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.因为(1,7a =-，所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ， 所以||||cos 36a b θ=，即23cos 36θ⨯=， 解得3cos θ=，故6πθ= ，故选：A.（2）．（2021·重庆一中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（ ） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】 【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ． 【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误； 对于B ，∵()1,1a b =-+，∴()22112a b +=-+=B 正确；对于C ，∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，∴a b ⊥不成立，故C 错误； 对于D ，∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯，故D 正确．故选：BD ．【变式训练3-1】．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（多选题）向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则2a b -的值可以是（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式表达出2a b -，利用三角函数恒等变换，求出2a b -的范围，进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-，所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈，显然ABC 均满足题意.故选：ABC【变式训练3-2】.（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ； 根据向量数量积的坐标表示即可判断B ； 根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ； 根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解：(2,23a b +=，则4124a b +=+，故A 错误；()2a b a +⋅=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=，故D 正确. 故选：BD.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)、（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知()1,2a m =+-，()2,3b m =+，若a b ⊥，则m =______. 【答案】1或4- 【解析】 【分析】根据向量垂直得到等量关系，求出结果. 【详解】由题意得：()()1260m m ++-=，解得：1m =或4-，经检验，均符合要求. 故答案为：1或4-(2)、（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，若a b ∥，则m =___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由a b ∥，列方程求解即可 【详解】因为平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，且a b ∥， 所以23m m =-，得3m =-， 故答案为：3-（3）、（2022·辽宁·高一期末）已知向量()1,a m =-，()2,4b =，若a 与b 共线，则m =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-，即2m =-. 故选：C【变式训练4-1】、（2022·广东湛江·高二期末）已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()a kb a +⊥，则k =___________.【答案】138【解析】 【分析】求出向量a kb +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式，即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+，因为()a kb a +⊥，所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅，即1380k -=，解得138k =. 故答案为：138. 【变式训练4-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量()12a =,，()22b =-,，()1c λ=,.若()//2c a b +，则λ=________. 【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=， ()//2c a b +，又()1,c λ=， 4λ20∴-=，1λ2∴=.故答案为：12.【变式训练4-3】．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()a b λ+∥()2a b -，则实数λ=（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+，2a b -，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ，()23,3a b -=-， 又因为()a b λ+∥()2a b -，所以有()()3231+=--λλ，解得12λ=-.故选：B例5．（2022·重庆八中高一期末）已知3a =，4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b a +⋅；(2)若a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】 【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可； （2）根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解： ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解：∵向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()0a kb a kb +-=，整理得2220a k b -=，又3a =，4b =，∴29160k -=，解得34k =±.∴当34k =±时，向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥，求x 的值；(2)记()f x a b =⋅，解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x 的方程，即可得答案. （2）先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式，确定π31cos()62x -+，再解不等式，结合6x π+的范围，求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =，(3,3b =-，a b ⊥， 所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈，所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥，所以1π3cos()262x +，所以663x πππ≤+≤，即06x π≤≤，故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ） A ．1e 与12e e + B ．12e 2e -与21e 2e - C ．12e 2e -与214e 2e - D ．12e e +与12e e -【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底； 对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底； 故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A 2B 2C 22D ．0【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知：1×2－m 2＝0，即2m 2-故选：C.3．（2022·江西·高三期末（文））已知平面向量()1,3a =，()2,1b =-，若()a ab λ⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．10 B ．8C ．5D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由()a ab λ⊥+，得()0a a b λ⋅+=，将坐标代入化简计算可得答案 【详解】因为()1,3a =，()2,1b =-， 所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+，所以()12330λλ++-=，解得10λ=. 故选：A.4．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()2,c t =，下列说法正确的是（ ） A ．若()a b +//c ，则6t = B ．若()a b +⊥c ，则23t =C ．若1t =，则4cos ,5a c <>=D ．若向量a 与向量c 夹角为锐角，则1t >- 【答案】BC 【解析】 【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==，根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确；根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确；根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确；根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >，且向量a 与向量c 不平行，判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =，()2,1b =-，()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ，()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-，故A 不正确；若()a b +⊥c ，()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=，故B 正确； 若1t =，则()2,1c =，=22=4a c t +，=5a ，5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯，故C 正确； 若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行，则1=22t ⨯⨯，=4t ，故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确； 故选：BC5．（2021·广东·仲元中学高一期末）（多选题）已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（ ） A ．a 与a b -25B ．()//a b a +C ．向量a 在向量b 10D ．若525,5c ⎛= ⎝⎭，则a c ⊥【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断； 对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断； 对于D ：由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，可判断. 【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯，故A 正确； 对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确； 对于C ：向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确， 故选：ACD.6．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图，在平面四边形ACDE 中，点B 在边AC 上，ABE △是等腰直角三角形，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】 【分析】以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】如图示，以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ，所以()21AD =，，()11CE =-，， 所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为：-17．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知向量()2,1a =-，10a b ⋅=，52a b +=，则b =___________.【答案】5 【解析】 【分析】由已知，利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=，结合向量模的坐标计算求||a ，进而求b . 【详解】∵52a b +=，则250a b +=，即22250a b a b ++⋅=， ∴252050b ++=，可得5b =. 故答案为：58．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠，β与αβ-的夹角为23π，且()0t t t αββ-=>，则t 的最小值是____________．【答案】233- 【解析】 【分析】作半径为2的圆O ，圆O 上取三点,,A B C ，(3,1)C --，(3,1)B -，A 在,B C 两点的优弧上，3BAC π∠=，这样CB α=，CA β=，满足β与αβ-的夹角为23π，然后把模式平方求得t ，可得最小值． 【详解】如图，设圆O 半径为2，,,A B C 在圆O ，设(3,1)C --，(3,1)B -，3BAC π∠=，CB α=，CA β=，设(2cos ,2sin )A θθ，7(,)66ππθ∈-，(23,0)α=，(2cos 3,2sin 1)βθθ=++，由t t αββ-=得222()t t αββ-=，因为0t >，所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++，cos 1θ=时等号成立．故答案为：233-．【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积，解题关键是用图形表示出向量α，β，确定点,,A B C 的关系，引入坐标后用坐标表示向量的数量积，从而得出最值．。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结XXXPart 1: Concepts of Vectors and ns of n。
n。
XXXI。
Concepts of Vectors1.Vector: A vector is a XXX.2.Methods of Representing Vectors:1) Geometric n: A directed line segment from a point with a certain n and length (note the starting and ending points).2) XXX: AB XXX.3.Concept of Magnitude: The magnitude of vector AB is its length。
denoted by |AB|。
Magnitudes can be compared.4.Two Special Vectors:1) Zero vector: A vector with a length of 0.denoted by 0.It can have any n.2) Unit vector: A vector with a length of 1 unit is called a unit vector.XXX1.Parallel Vectors: Non-zero vectors with the same or opposite ns are called parallel vectors。
Denoted as a∥b∥c。
Defined as parallel to any vector.2.Equal Vectors: Vectors with the same length and XXX as =。
Any two equal non-zero vectors can be represented by a directed line segment。
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考点15平面向量的数量积、 线段的定比分点与平移
一、选择题
1、（2011·湖北高考理科·T8）已知向量a = (x+z,3),b =(2,y-z)，且a ⊥ b.若x,y 满足不等式
1x y +≤，则
z 的取值范围为（ ）
A.[-2，2]
B.[-2，3]
C.[-3，2]
D.[-3，3] 【思路点拨】先由a ⊥ b 这一条件寻找x ，y 之间的关系，再画出不等式1
x y +≤表示的区域，最后转化为线性规化问题处理 . 【精讲精析】选
D. a b ⊥ 得a b=0 ,⋅
∴2x+3y-z=0，即z=2x+3y ，而1
x y +≤
表示的平面区域为如图阴影部分：
当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3
因此z 的取值范围是[-3，
2、（2011·湖北高考文科·Ｔ2）若向量(1,2),(1,1)a b ==-
，则2a b + 与a b - 的夹角
等于 A. 4π
-
B.
6π C. 4π D.34
π
【思路点拨】先求2a b +
与的坐标，再求利用数量积的坐标运算求夹角. 【精讲精析】选
C. ∵2(3,3)a b +=
，(0,3)a b -= ，设2a b + 与a b - 的夹角为α
，
∴(2)()cos 2a b a b a b a b
α+⋅-==
⋅+- ，又[]0απ∈，，故α=
4
π.
3、（2011·全国高考理科·Ｔ12）设向量
,,a b c
满足
1
||||
1,,,602
a b a b a
c b c ==⋅=-
<-->= ，则||c
的最大值等于
【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC
为直径时，||c
最大.
【精讲精析】选A.如图，构造
,,,120,60,AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=
所以
A 、
B 、
C 、
D 四点共圆，分析可知
当线段AC
为直径时，||c
最大，最大值为
2.
4、（2011·全国高考文科·Ｔ3）设向量,a b 满足||||1a b == ,1
2
⋅=- a b ,则2a b += （ ）
（A
（B
（C
（D
【思路点拨】
利用a = ，即可求解.
【精讲精析】选
B.
2a b +=== 5、（2011·四川高考理科·Ｔ4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= （ ）. （A ）0 （B ） BE （C ） AD
（D ）CF
【思路点拨】BA DE =
,向量加法的几何表示，首尾顺次相连.
【精讲精析】选
D ，()
BA CD EF DE CD EF CD DE EF ++=++=++
.
CE EF CF =+=故选
D.
（2011·四川高考文科·Ｔ7）与（2011·四川高考理科·Ｔ4）相同 6、(2011·重庆高考文科·T5)已知向量)2,2(),,1(==b k a ,且b a +与a 共线,那么b a ∙的值为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【思路点拨】由条件可先求出k 的值,然后再求b a ∙.
【精讲精析】选D.由题意知, )2,3(k b a +=+,因为b a +与a 共线,所以032=-+k k ,
解得1=k ,所以a b
12
12
4???r r
.
二、填空题
7、（2011·上海高考理科·T11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，
BD =1，则AB AD =
.
【思路点拨】本题考查向量的数量积公式，关键是根据向量的方向找出两向量的夹角，并构造三角形求解其余弦值，最终求出结果。
【精讲精析】
由已知条件得1233AD AC AB =+ ，那么AB AD = 21212()3333
AB AC AB AB AC AB +=+
=
152
8、(2011·重庆高考理科·T12)已知单位向量21,e e 的夹角为 60,则=-12e
【思路点拨】解答本题可利用21e ==-结合向量的数量积运算来求解.
【精讲精析】由题意知21
60cos 21==∙ e e
21e ==-
3==.。