2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：压轴小题组合练(B)Word版含解析

压轴小题组合练(B)
1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为5
5，
则椭圆C 的方程为( ) A.x 216＋y 2
9＝1 B.x 25＋y 2
4＝1 C.x 29＋y 2
5＝1 D.x 225＋y 2
20
＝1 答案 B
解析 把y ＝x ＋3代入椭圆方程，得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由于只有一个公共点，所以Δ＝0，得a 2
＋b 2
＝9，又c a ＝55，所以b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2
＝4.所以椭圆的方程为
x 25
＋y 2
4
＝1. 2.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且＋ ＝x ＋y ，则1x ＋4
y 的最小值为
( )
A.32
B.2
C.52
D.92 答案 D
解析 设＝m ＋n ，＝λ＋μ，
∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵＋＝x ＋y ＝()m ＋λ＋()
n ＋μ， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，
∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (
)
x ＋y ＝1
2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝
⎛⎭
⎫5＋2y x ·4x y ＝9
2，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立.
则1x ＋4y 的最小值为9
2
，故选D. 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上一点，且AE ＝1，BE ＝3，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱A 1D 1，DD 1分别交于F ，G 两点，则△AFG 的面积为( )
A.42－2
B.3 2
C.22＋2
D.4 答案 D
解析 正方体的棱长为4，则DE ＝17，EC ＝5. 作EH ⊥A 1B 1 于H ，
则EF ＝EG ＝EC ＝5，A 1F ＝22，DG ＝22， 则FH ＝
()222＋12＝3 ，
所以S △AFG ＝11
A D DA S 四边形－1A FA S
－
1FD G
S
－S △ADG
＝16－42－1
2
()
4－222－4 2
＝16－42－12＋82－42＝4.
4.设双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.以F 1F 2为直径
的圆与双曲线的右支交于P 点，且以OF 2为直径的圆与直线PF 1相切，若|PF 1|＝8，则双曲线的焦距等于( ) A.6 2 B.6 C.3 2 D.3 答案 A
解析 如图，不妨设点P 在第一象限，连接PF 2，依题意知PF 1⊥PF 2，
设以OF 2为直径的圆与直线PF 1相切于点N ，圆心为M ，连接NM ，则NM ⊥PF 1，因此Rt △PF 1F 2∽Rt △NF 1M ，所以|NM ||PF 2|＝|F 1M ||F 1F 2|，则c 2|PF 2|＝3c 22c ，解得|PF 2|＝2c
3，由勾股定理可得|PF 1|
＝
|F 1F 2|2－|PF 2|2＝
(2c )2－⎝⎛⎭⎫2c 32＝42c 3，所以42c 3
＝8，得c ＝32，故双曲线的焦距为6 2.
5.已知抛物线T 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与T 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则△CMD 是( ) A.等腰三角形且为锐角三角形 B.等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形 答案 A
解析 不妨设抛物线T 的方程为y 2＝2px (p >0).
∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，F 为抛物线的焦点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，NM 是M 到抛物线准线的垂线，垂足为N ，准线与x 轴的交点为E ，如图：
∴在△CMD 中，|CN |＝|ND |，∴△CMD 是等腰三角形， 又根据抛物线定义，|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，
∴∠CFD ＝∠CFE ＋∠DFE ＝∠ACF ＋∠BDF ＝∠AFC ＋∠BFD . 可得∠CFD ＝90°，又|MN |>|EF |，可得∠CMD <90°. 则△CMD 是等腰三角形且为锐角三角形.
6.(2018·马鞍山模拟)已知M ，N 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上关于长轴对称的两点，A ，B 分
别为椭圆的左、右顶点，设k 1，k 2分别为直线MA ，NB 的斜率，则|k 1＋4k 2|的最小值为( ) A.2b a B.3b
a C.4
b a D.5b a
答案 C
解析 设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)， ∴k 1＝y 0
x 0＋a ，k 2＝－y 0x 0－a
，
∴||k 1＋4k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ＋－4y 0x 0－a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0
x 0
＋a ＋4y 0－x 0＋a ，
∴|k 1＋4k 2|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
y 0x 0＋a ＋4y 0－x 0＋a
≥2
y 0x 0＋a ·4y 0
－x 0＋a
＝4y 20
a 2
－x 20
， 由题意得
y 20＝b 2a
2(a 2－x 20)，
所以|k 1＋4k 2|≥4
y 2
a 2－x 20
＝4b 2a 2(a 2－x 2
0)a 2－x 20
＝4b
a . 7.已知棱长为6的正四面体A －BCD (四个面都是正三角形)，在侧棱AB 上任取一点P (与A ，B 都不重合)，若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为a ，
b ，则4a ＋1
b 的最小值为
( ) A.72 B.4 C.92 D.5
答案 C
解析 由题意得13aS △BCD ＋13bS △ACD ＝1
3h ·S △BCD ，其中S △BCD ＝S △ACD ，h 为以△BCD 为底面的正
四面体A －BCD 的高. h ＝
(6)2－⎝⎛⎭
⎫23×3
2×62＝2，∴a ＋b ＝2.
∴4a ＋1b ＝1
2
(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋24b a ·a b ＝9
2，当且仅当a ＝43，b ＝23时取等号. 8.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，
A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为
B ，若＝(2－1)，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2 D. 5
答案 A
解析 设F (c,0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝b a x ，则直线AF 的方程为x c －y b ＝1，与y ＝b
a
x
联立可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ac a －c ，bc a －c ，∵＝(2－1)，
∴(－c ，－b )＝(2－1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ac a －c ，bc a －c ＋b ，
∴－c ＝(2－1)
ac a －c
，∴e ＝c
a ＝ 2.
9.(2018·河北省衡水金卷调研)已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
的右焦点为F 1()c ，0，过点F ，F 1的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y ＝－3x 垂直，则ab 的最大值为( ) A.32
B.32
C. 3
D.2
答案 B
解析 由题意可知，直线FF 1的方程为y ＝－1
c x ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1c x ＋1，
x 2＝4y ，
得x M ＝－2＋21＋c 2
c ，
又由x 2＝4y ，即y ′＝1
2x ，
因此
－1＋1＋c 2
c
×()
－3＝－1，
即c ＝3，所以a 2＋b 2＝3，
又 a 2＋b 2≥2ab ，即3≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝
62时取等号，即(ab )max ＝32
. 10.点M (3,2)到抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)准线的距离为4，F 为抛物线的焦点，点N (1,1)，当点P 在直线l ：x －y ＝2上运动时，|PN |－1
|PF |的最小值为( )
A.3－228
B.2－24
C.5－228
D.5－224
答案 B
解析 ∵点M (3,2)到抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)准线的距离为4， ∴2＋14a ＝4，∴a ＝1
8，∴抛物线C ：x 2＝8y ，
直线l ：x －y ＝2与x 轴交于A (2,0)，则F A ⊥l ， 且点N ，A ，F 三点共线，
设|AP |＝t ，则|AN |＝2，|AF |＝22，|PN |＝t 2＋2，|PF |＝t 2＋8， 设
t 2
＋2－1＝m (m ≥2－1)，则|PN |－1|PF |
＝
t 2＋2－1
t 2
＋8
＝m
(m ＋1)2
＋6
＝
1
7⎝⎛⎭⎫1m ＋172＋67
，
∴m ＝2－1，即t ＝0时，|PN |－1|PF |的最小值为2－2
4
.
11.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝90°，点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使PC ＝PD ，连接PC ，得到三棱锥P －BCD ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A.7π
B.5π
C.3π
D.π
答案 A
解析 依题意可得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P －BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD ＝3，O 1D ＝1及OB ＝OD ，可得OB ＝7
2
，则外接球的半径R ＝
7
2
.所以该球的表面积S 球＝4πR 2＝7π. 12.已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是B 1C 1的中点，若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且GH ＝3，若点Q 是棱BB 1上一个动点，则AQ ＋D 1Q 的最小值为( ) A.6
B.310
C.62＋ 2
D.61＋ 2
答案 C
解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，内切球球心为O ， 由题意可得内切球半径r ＝a
2.
OE ＝OF ＝
2
2
a ，EF ＝EB 2＋BB 2
1＋B 1F 2＝
6
2
a ， 取EF 中点P ，则OP ＝OE 2－EP 2＝
24
a ， 所以cos ∠POG ＝OP OG ＝24a
a 2＝2
2
，
所以∠GOH ＝π2，OG ＝a 2＝3
2，a ＝32，
把平面DD 1B 1B 与平面AA 1B 1B 展成一个平面， 则A ，Q ，D 1共线时AQ ＋D 1Q 最小，最小值为 D 1A ＝(
)
2a ＋a 2＋a 2
＝
()6＋322
＋()3
22＝6
2＋ 2.
13.(2018·天津滨海新区联考)已知正实数a ，b 满足2a >b ，且ab ＝1
2，则4a 2＋b 2＋12a －b 的最小值
为________. 答案 2 3
解析 由题意得2a －b >0，
4a 2＋b 2＋12a －b ＝4a 2＋b 2－4ab ＋32a －b ＝(2a －b )2＋32a －b ＝(2a －b )＋3
2a －b ≥23，
当且仅当2a －b ＝32a －b ，
即b ＝
7－3
2
时等号成立. 14.如图，在△ABC 中，已知＝12，P
为AD 上一点，且满足＝m ＋4
9
，若△ABC 的面积为3，
∠ACB ＝π
3
，则的最小值为________.
答案 43
解析 设＝λ，则＝＋λ ＝＋λ＝(1－λ)＋2
3
λ.
由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧
1－λ＝m ，49＝23
λ，解得m ＝1
3，
∴＝13＋4
9
，令＝x ，＝y ，
则S △ABC ＝12××sin ∠ACB ＝3
4xy ＝3，
∴xy ＝4，且x >0，y >0.
∴2＝19x 2＋1681y 2＋427xy ＝19x 2＋1681y 2＋16
27
≥2
19x 2×1681y 2＋1627＝169
， 当且仅当19x 2＝16
81y 2，即3x ＝4y ，即3＝4时等号成立.
即min ＝4
3
.
15.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC, AA 1＝2, AB ＝BC ＝1, ∠ABC ＝90°，三棱柱外接球的球心为O ，点E 是侧棱BB 1上的一个动点.有下列判断：
①直线AC 与直线C 1E 是异面直线；②A 1E 一定不垂直于AC 1；③三棱锥E －AA 1O 的体积为定值；④AE ＋EC 1的最小值为2 2. 其中正确命题的序号是________.
答案 ①③④
解析 ①因为点A ∉平面BB 1C 1C ，点C ∉C 1E ，所以直线AC 与直线C 1E 是异面直线；②A 1E ⊥AB 1时，直线A 1E ⊥平面AB 1C 1.所以A 1E ⊥AC 1，错误；③球心O 是直线AC 1，A 1C 的交
点，底面OAA 1面积不变，直线BB 1∥平面AA 1O ，所以点E 到底面距离不变，体积为定值；④将矩形AA 1B 1B 和矩形BB 1C 1C 展开到一个面内，当点E 为AC 1与BB 1交点时， AE ＋EC 1取得最小值2 2.
所以正确命题的序号是①③④.
16.(2018·四川省成都市石室中学模拟)已知四面体A －BCD 的所有棱长都为6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD ，平面BCD 的距离分别为13，x ，
16和y ，则1x ＋1
y 的最小值是________.
答案 83
解析 该几何体为正四面体，体积为13×12×6×6×32×2＝ 3.各个面的面积为3
4
×
()62＝
332，所以四面体的体积又可以表示为13×332
×⎝⎛⎭⎫1
3＋x ＋16＋y ＝3，化简得x ＋y ＝32，故1x ＋1y ＝23×⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ×()
x ＋y ＝23⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥23()
2＋2＝8
3
. ⎝⎛⎭
⎫当且仅当x ＝y ＝34时，等号成立。