兰州理工大学自动控制原理期末试题06b
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★ 4) In order to decrease t s and hold ζ=0.707,determine which type cascade
compensator should be introduced to the system, and give a qualitative analysis .
Determine the values of K for the system’s steady state error ess < 0.1 .
r(t)
T=0.25s
Gh(s)
G0(s)
c(t)
Fig.3
解：
1 − e −τs Ke −0.5 s e -0.5s −1 G ( z ) = Z [G h ( s )G 0 ( s)] = Z [ × ] = K (1 − z ) Z [ 2 ] s s s z − 1 − 2 Tz 0.25K =K ×z [ ]= 2 z (z − 1) ( z − 1) z 2
δ % 反比 ζ ， γ
正比 ζ 。
二、计算、分析、设计题(85 分)
1． （共 10 分）图 1 为谷物湿度控制系统示意图。在谷物磨粉的生产过程 中，有一种出粉最多的湿度，因此磨粉之前要给谷物加水以得到给定的湿 度。图中，谷物用传送装置按一定流量通过加水点，加水量由自动阀门控
制。加水过程中，谷物流量、加水前谷物湿度以及水压都是对谷物湿度控 制的扰动作用。为了提高控制精度，系统中采用了谷物湿度的顺馈控制。 1） 画出系统的控制结构方框图，并说明为了保持谷物湿度期望值， 系统是如何工作的？（5 分） 2） 系统的被控对象和控制装置各是什么？（5 分）
⎧ K ∗ = 48.1 2）以上计算可知 ⎨ d ⎩ K d = 0.96
（临界阻尼增益）
（3 分）
⎧ K ∗ ∈ (0,750) （系统稳定） ⎨ ⎩ K ∈ (0.15)
（3 分）
3） ξ = 0.707 ，则 ϕ = arccos ξ =
π
4
设 s1, 2 = − a ± ja （从图上读出数据，并用相角条件验证也可）
2) Evaluate the transient specifications t r 、 t p 、 t s and δ % .（8 分）
R( s)
_
K1
_
1 s(s + 2)
C ( s)
K2s
Fig.2
解：开环传递函数
K1 K1 s ( s + 2) G ( s) = = 2 1 s + (2 + K 2 ) s 1+ K2s s ( s + 2)
(5 分)
由静态误差系数法
K P = lim(1 + G ( z )) = ∞ ， K V = lim( z − 1)G ( z ) = 0.25K
z →1 z →1
所以 e ss =
1 0.25 1 1 ×2+ = ，由已知， e ss < 0.1 ，得 < 0.1 KP KV K K
所以 K > 10 。 (5 分) 由于只有当系统稳定时，稳态误差才有实际意义，所以应当考察系统稳定 时 K 的范围。 w +1 特征方程 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 得到 z 3 − z 2 + KT = 0 令 z = 进行双 w −1 线性变换。 w +1 3 w +1 2 ( ) −( ) + KT = 0 w −1 w −1 整理得 KTw 3 + (2 − 3KT ) w 2 + (4 + 3KT ) w + (2 − KT ) = 0 由劳斯判据 w 3
= 1.52%
(2 分)
4． （共 18 分）A unit-feedback system has the forward transfer function
1) Draw the root locus of the system. 2) Evaluate the range of values of K for which the system is stable and the critically damped open-loop gain. 3) Determine the closed-loop dominant poles for ζ=0.707.
则 ( s − s1 )( s − s 2 ) = s 2 + 2as + 2a 2
D( s ) = s 3 + 15s 2 + 50s + K ∗ = 0
⎧50 − 2a 2 = a (30 − 4a ) 利用长除法得 ⎨ ∗ 2 ⎩ K = 2a (15 − 2a )
解得 a1 = -11.83(舍) ， a 2 = −3.17 ，则 a = −3.17 ，
④ 计算分离点
q=0 q =1 q=2
D( s) = 1 + G ( s) = 0
即
1+
K∗ =0 s ( s + 5)( s + 10)
K ∗ = −( s 3 + 15s 2 + 50s )
由
dK ∗ ds
s =d
= 0 ，得 3d 2 + 30d + 50 = 0
解得 d 1 = −2.11 ， d 2 = −7.89(舍) ，所以 d = −2.11
-15
− p3 -10
− p2
-5
0
− p1
0
σ
− j5 2
K → −∞
K c∗ 750 − K ∗ ∗ =0， K c =750， K c = 如果系统振荡，则 = 15 15 50
则 15s 2 + K c∗ = 0 ，解得 s1, 2 = ± j 5 2 （普通班 7 分） （基地班 5 分）
自动阀门 水源 谷物流 传送装置
湿度 测量 输入谷物
顺馈
反馈
湿度 测量 输出谷物
调节器 图1
输入 谷物湿度 湿度传感器
给定湿度
调节器
阀
门
传送装置
输出 谷物湿度
湿度传感器
(3 分)
谷物湿度控制系统的方块图
解：谷物湿度控制系统的方框图如图所示。系统是复合控制系统，它 的控制方式是把按偏差控制与按扰动补偿的顺馈控制结合起来。 采用湿度负反馈， 由在谷物输出口的湿度测量装置将谷物的湿度反馈 给调节器，调节器比较谷物的实际湿度与给定湿度得出偏差，通过控制自 动阀门调节进水量实现对谷物湿度的自动控制。若谷物湿度过高，调节器 使阀门关小，进水量减小，谷物的湿度回到给定值。 输入谷物的湿度是主要的扰动量， 用谷物输入口的湿度测量装置测量 该扰动信号，将其送到控制器输入端，进行扰动顺馈补偿。当输入谷物湿 度较低，补偿量加大，通过湿度调节器使阀门开大，进水量加大，以保持 谷物的湿度恒定。 （2 分）
∗ Kd K = d d + 2 d + 4 = 48.1 ， K d = = 0.96 50 ∗ d
jω
⑤与虚轴的交点
K → +∞
ζ = 0.707
j5 2
D( s ) = s + 15s + 50s + K = 0
3 2
∗
s3 s2 s1 s
0
1 15 750 − K ∗ 15 K
∗
50 K∗
∞←K
解：1） ①开环极点
p1 = 0 ， p 2 = −5 ， p 3 = −10 ，
②实轴上的根轨迹：[-5，0]，[- ∞ ，-10]
③渐近线
σa =
∑ p −∑z
i =1 i j =1
n
m
j
n−m
=
0 − 5 − 10 = −5 3
⎧π ⎪ (2q + 1)π (2q + 1)π ⎪ 3 = =⎨ π ϕa = 3 n−m ⎪− π ⎪ 3 ⎩
KT
4+3KT 2-KT
(2 − 3KT )
w2
w
2-3KT
[(2 − 3KT )(4 + 3KT ) − KT (2 − KT )] 2-KT
w0
系统稳定的充分必要条件是劳斯阵列的第一列元素都为正数，得到
K ∈ (0,2.47) ，与 K > 10 没有交集。所以没有合适的 K 能满足条件。 （6 分）
闭环传递函数
Φ( s) = K1 G ( s) = 2 1 + G ( s) s + (2 + K 2 ) s + K 1
(3 分)
典型的二阶系统传递函数
Φ( s) =
ωn 2 2 s 2 + 2ξω n s + ω n
对比两个 Φ( s ) 可得
⎧ K1 = ω n 2 = 4 ⎨ ⎩2ξω n = 2 + K 2 = 3.2
的所有根均具有 负实部 。 4．常用 PID 控制器中，P 的作用是 提高系统灵敏度减小稳态误差，I 的 作用是 提高系统类型数 ，D 的作用是 提高系统响应速度 。 5. 离散控制系统中采样开关的引入，使系统的稳定性 变差，其原因为 连续信号变为离散信号造成信息丢失 。 6. 非 线 性 环 节 的 描 述 函 数 反 映 的 是 非 线 性 系 统 正 弦 响 应 中 基 波 分量的幅值和相位相对于 正弦输入 的变化。 ★ 7．无纹波最小拍系统设计的准则是 满足最小拍系统 出一恒值 。 延迟环节 e −τs 使系统稳定性能变差的原因是 引入负相角。 ▲ 8． 时域指标与频域指标之间的大致比例关系如下：t s 反比 wb ， 和 零阶保持器输
所以
K 1 = 4 ， K 2 = 1 .2
(2 分) (1 分)
2)
tr =
π −ϕ ωn 1 − ξ 2 π ωn 1 − ξ 2
= 2.08
(2 分)
tp =
= 2.6
(2 分)
ts =
3.5
ξω n
−
= 1.875
(2 分)
ξπ
1−ξ 2
δ% = e
G ( s ) = K ∗ [ s ( s + 5)( s + 10)]
s 3 = 2a − 15 = −21.34 ， s1, 2 = −3.17 ± j 3.17
由于
s3
Re[ s1, 2 ]
=
21.34 = 6.73 > 5 ， 3.17
而 s1, 2 附 近 无 其 他 闭 环 零 极 点 ， 所 以 s1, 2 为 系 统 的 一 对 主 导 极 点 。
(5 分) 4）应加超前校正装置或 PD 控制器，加入一个零点使根轨迹总体向左
半平面拧， 使得 t s 满足要求。 （基地班 2 分）
5． (共 16 分) Fig.3 is a sampled-data control system , where Gh ( s ) is a zero-order-holder, G0 ( s ) =
Ke −0.5 s s
. If input is r (t ) = 2 + t ,
1．对一个自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面：稳定性、快速 性和准确性。 2．一阶线性定常系统的单位阶跃响应在 t = 0.5 s 的值为为稳态值的
63.2 %，则该系统的时间常数为 0.5 s。
3 ★ MPS 稳 定 的 充 要 条 件 是 乃 奎 斯 特 曲 线 逆 时 针 包 围 (-1,j0) 点的次数为 0 次。 闭环特征方程式 ▲线性系统稳定的充分必要条件是
系统的被控对象是传送装置；被控量是输出谷物的湿度；输入量是希 望的谷物湿度。 （5 分）
3． （共 14 分）A given system is shown in Fig 2.If we want to obtain ω n = 2 and ξ = 0.8 , 1) Determine the parameters K 1 and K 2 .（6 分）
6． （共 15 分）已知一系统原有的特性为 G0 (s ) = 特性为 Gc (s ) =
100(1 + 0.1s ) ，校正装置的 s2
0.25s + 1 ， (0.01s + 1)(0.1s + 1)
1) 画出原系统和校正装置的对数幅频特性。 2) 当采用串联校正时，求校正后系统的开环传递函数，并计算校正
采用湿度负反馈由在谷物输出口的湿度测量装置将谷物的湿度反馈给调节器调节器比较谷物的实际湿度与给定湿度得出偏差通过控制自动阀门调节进水量实现对谷物湿度的自动控制
参考答案
注意： 题中标注★号的为控制工程基地班必答题， 题中标注▲号的为普通班必答题， 题中未作标记的为必做公共题。
一、基本概念（每空 1 分，共 15 分）
由
ωc
4 = 1 ，解得， ω = 25 c
ωc2 × 1
γ = 180 o + ϕ ( wc ) = 180 o − 180 o + arctg 0.25wc − arctg 0.01wc = 66.87 o
后系统的相位裕量 γ 。
3) 校正环节对于改善原有系统性能起到哪些作用并分析其原因？
解：1）原系统的对数幅频特性
dB 40 L(ω) -40 -20 1 4 -40
100
ω
（4 分） 校正装置的对数幅频特性
dB
L (ω ) 0
20 -20
4
10
100
ω
（4 分）
1 100( s + 1) 4 2）校正后系统的传递函数 G 0 ( s )Gc ( s ) = G ( s ) = 1 s2 ( s + 1) 100 100 ×
compensator should be introduced to the system, and give a qualitative analysis .
Determine the values of K for the system’s steady state error ess < 0.1 .
r(t)
T=0.25s
Gh(s)
G0(s)
c(t)
Fig.3
解：
1 − e −τs Ke −0.5 s e -0.5s −1 G ( z ) = Z [G h ( s )G 0 ( s)] = Z [ × ] = K (1 − z ) Z [ 2 ] s s s z − 1 − 2 Tz 0.25K =K ×z [ ]= 2 z (z − 1) ( z − 1) z 2
δ % 反比 ζ ， γ
正比 ζ 。
二、计算、分析、设计题(85 分)
1． （共 10 分）图 1 为谷物湿度控制系统示意图。在谷物磨粉的生产过程 中，有一种出粉最多的湿度，因此磨粉之前要给谷物加水以得到给定的湿 度。图中，谷物用传送装置按一定流量通过加水点，加水量由自动阀门控
制。加水过程中，谷物流量、加水前谷物湿度以及水压都是对谷物湿度控 制的扰动作用。为了提高控制精度，系统中采用了谷物湿度的顺馈控制。 1） 画出系统的控制结构方框图，并说明为了保持谷物湿度期望值， 系统是如何工作的？（5 分） 2） 系统的被控对象和控制装置各是什么？（5 分）
⎧ K ∗ = 48.1 2）以上计算可知 ⎨ d ⎩ K d = 0.96
（临界阻尼增益）
（3 分）
⎧ K ∗ ∈ (0,750) （系统稳定） ⎨ ⎩ K ∈ (0.15)
（3 分）
3） ξ = 0.707 ，则 ϕ = arccos ξ =
π
4
设 s1, 2 = − a ± ja （从图上读出数据，并用相角条件验证也可）
2) Evaluate the transient specifications t r 、 t p 、 t s and δ % .（8 分）
R( s)
_
K1
_
1 s(s + 2)
C ( s)
K2s
Fig.2
解：开环传递函数
K1 K1 s ( s + 2) G ( s) = = 2 1 s + (2 + K 2 ) s 1+ K2s s ( s + 2)
(5 分)
由静态误差系数法
K P = lim(1 + G ( z )) = ∞ ， K V = lim( z − 1)G ( z ) = 0.25K
z →1 z →1
所以 e ss =
1 0.25 1 1 ×2+ = ，由已知， e ss < 0.1 ，得 < 0.1 KP KV K K
所以 K > 10 。 (5 分) 由于只有当系统稳定时，稳态误差才有实际意义，所以应当考察系统稳定 时 K 的范围。 w +1 特征方程 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 得到 z 3 − z 2 + KT = 0 令 z = 进行双 w −1 线性变换。 w +1 3 w +1 2 ( ) −( ) + KT = 0 w −1 w −1 整理得 KTw 3 + (2 − 3KT ) w 2 + (4 + 3KT ) w + (2 − KT ) = 0 由劳斯判据 w 3
= 1.52%
(2 分)
4． （共 18 分）A unit-feedback system has the forward transfer function
1) Draw the root locus of the system. 2) Evaluate the range of values of K for which the system is stable and the critically damped open-loop gain. 3) Determine the closed-loop dominant poles for ζ=0.707.
则 ( s − s1 )( s − s 2 ) = s 2 + 2as + 2a 2
D( s ) = s 3 + 15s 2 + 50s + K ∗ = 0
⎧50 − 2a 2 = a (30 − 4a ) 利用长除法得 ⎨ ∗ 2 ⎩ K = 2a (15 − 2a )
解得 a1 = -11.83(舍) ， a 2 = −3.17 ，则 a = −3.17 ，
④ 计算分离点
q=0 q =1 q=2
D( s) = 1 + G ( s) = 0
即
1+
K∗ =0 s ( s + 5)( s + 10)
K ∗ = −( s 3 + 15s 2 + 50s )
由
dK ∗ ds
s =d
= 0 ，得 3d 2 + 30d + 50 = 0
解得 d 1 = −2.11 ， d 2 = −7.89(舍) ，所以 d = −2.11
-15
− p3 -10
− p2
-5
0
− p1
0
σ
− j5 2
K → −∞
K c∗ 750 − K ∗ ∗ =0， K c =750， K c = 如果系统振荡，则 = 15 15 50
则 15s 2 + K c∗ = 0 ，解得 s1, 2 = ± j 5 2 （普通班 7 分） （基地班 5 分）
自动阀门 水源 谷物流 传送装置
湿度 测量 输入谷物
顺馈
反馈
湿度 测量 输出谷物
调节器 图1
输入 谷物湿度 湿度传感器
给定湿度
调节器
阀
门
传送装置
输出 谷物湿度
湿度传感器
(3 分)
谷物湿度控制系统的方块图
解：谷物湿度控制系统的方框图如图所示。系统是复合控制系统，它 的控制方式是把按偏差控制与按扰动补偿的顺馈控制结合起来。 采用湿度负反馈， 由在谷物输出口的湿度测量装置将谷物的湿度反馈 给调节器，调节器比较谷物的实际湿度与给定湿度得出偏差，通过控制自 动阀门调节进水量实现对谷物湿度的自动控制。若谷物湿度过高，调节器 使阀门关小，进水量减小，谷物的湿度回到给定值。 输入谷物的湿度是主要的扰动量， 用谷物输入口的湿度测量装置测量 该扰动信号，将其送到控制器输入端，进行扰动顺馈补偿。当输入谷物湿 度较低，补偿量加大，通过湿度调节器使阀门开大，进水量加大，以保持 谷物的湿度恒定。 （2 分）
∗ Kd K = d d + 2 d + 4 = 48.1 ， K d = = 0.96 50 ∗ d
jω
⑤与虚轴的交点
K → +∞
ζ = 0.707
j5 2
D( s ) = s + 15s + 50s + K = 0
3 2
∗
s3 s2 s1 s
0
1 15 750 − K ∗ 15 K
∗
50 K∗
∞←K
解：1） ①开环极点
p1 = 0 ， p 2 = −5 ， p 3 = −10 ，
②实轴上的根轨迹：[-5，0]，[- ∞ ，-10]
③渐近线
σa =
∑ p −∑z
i =1 i j =1
n
m
j
n−m
=
0 − 5 − 10 = −5 3
⎧π ⎪ (2q + 1)π (2q + 1)π ⎪ 3 = =⎨ π ϕa = 3 n−m ⎪− π ⎪ 3 ⎩
KT
4+3KT 2-KT
(2 − 3KT )
w2
w
2-3KT
[(2 − 3KT )(4 + 3KT ) − KT (2 − KT )] 2-KT
w0
系统稳定的充分必要条件是劳斯阵列的第一列元素都为正数，得到
K ∈ (0,2.47) ，与 K > 10 没有交集。所以没有合适的 K 能满足条件。 （6 分）
闭环传递函数
Φ( s) = K1 G ( s) = 2 1 + G ( s) s + (2 + K 2 ) s + K 1
(3 分)
典型的二阶系统传递函数
Φ( s) =
ωn 2 2 s 2 + 2ξω n s + ω n
对比两个 Φ( s ) 可得
⎧ K1 = ω n 2 = 4 ⎨ ⎩2ξω n = 2 + K 2 = 3.2
的所有根均具有 负实部 。 4．常用 PID 控制器中，P 的作用是 提高系统灵敏度减小稳态误差，I 的 作用是 提高系统类型数 ，D 的作用是 提高系统响应速度 。 5. 离散控制系统中采样开关的引入，使系统的稳定性 变差，其原因为 连续信号变为离散信号造成信息丢失 。 6. 非 线 性 环 节 的 描 述 函 数 反 映 的 是 非 线 性 系 统 正 弦 响 应 中 基 波 分量的幅值和相位相对于 正弦输入 的变化。 ★ 7．无纹波最小拍系统设计的准则是 满足最小拍系统 出一恒值 。 延迟环节 e −τs 使系统稳定性能变差的原因是 引入负相角。 ▲ 8． 时域指标与频域指标之间的大致比例关系如下：t s 反比 wb ， 和 零阶保持器输
所以
K 1 = 4 ， K 2 = 1 .2
(2 分) (1 分)
2)
tr =
π −ϕ ωn 1 − ξ 2 π ωn 1 − ξ 2
= 2.08
(2 分)
tp =
= 2.6
(2 分)
ts =
3.5
ξω n
−
= 1.875
(2 分)
ξπ
1−ξ 2
δ% = e
G ( s ) = K ∗ [ s ( s + 5)( s + 10)]
s 3 = 2a − 15 = −21.34 ， s1, 2 = −3.17 ± j 3.17
由于
s3
Re[ s1, 2 ]
=
21.34 = 6.73 > 5 ， 3.17
而 s1, 2 附 近 无 其 他 闭 环 零 极 点 ， 所 以 s1, 2 为 系 统 的 一 对 主 导 极 点 。
(5 分) 4）应加超前校正装置或 PD 控制器，加入一个零点使根轨迹总体向左
半平面拧， 使得 t s 满足要求。 （基地班 2 分）
5． (共 16 分) Fig.3 is a sampled-data control system , where Gh ( s ) is a zero-order-holder, G0 ( s ) =
Ke −0.5 s s
. If input is r (t ) = 2 + t ,
1．对一个自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面：稳定性、快速 性和准确性。 2．一阶线性定常系统的单位阶跃响应在 t = 0.5 s 的值为为稳态值的
63.2 %，则该系统的时间常数为 0.5 s。
3 ★ MPS 稳 定 的 充 要 条 件 是 乃 奎 斯 特 曲 线 逆 时 针 包 围 (-1,j0) 点的次数为 0 次。 闭环特征方程式 ▲线性系统稳定的充分必要条件是
系统的被控对象是传送装置；被控量是输出谷物的湿度；输入量是希 望的谷物湿度。 （5 分）
3． （共 14 分）A given system is shown in Fig 2.If we want to obtain ω n = 2 and ξ = 0.8 , 1) Determine the parameters K 1 and K 2 .（6 分）
6． （共 15 分）已知一系统原有的特性为 G0 (s ) = 特性为 Gc (s ) =
100(1 + 0.1s ) ，校正装置的 s2
0.25s + 1 ， (0.01s + 1)(0.1s + 1)
1) 画出原系统和校正装置的对数幅频特性。 2) 当采用串联校正时，求校正后系统的开环传递函数，并计算校正
采用湿度负反馈由在谷物输出口的湿度测量装置将谷物的湿度反馈给调节器调节器比较谷物的实际湿度与给定湿度得出偏差通过控制自动阀门调节进水量实现对谷物湿度的自动控制
参考答案
注意： 题中标注★号的为控制工程基地班必答题， 题中标注▲号的为普通班必答题， 题中未作标记的为必做公共题。
一、基本概念（每空 1 分，共 15 分）
由
ωc
4 = 1 ，解得， ω = 25 c
ωc2 × 1
γ = 180 o + ϕ ( wc ) = 180 o − 180 o + arctg 0.25wc − arctg 0.01wc = 66.87 o
后系统的相位裕量 γ 。
3) 校正环节对于改善原有系统性能起到哪些作用并分析其原因？
解：1）原系统的对数幅频特性
dB 40 L(ω) -40 -20 1 4 -40
100
ω
（4 分） 校正装置的对数幅频特性
dB
L (ω ) 0
20 -20
4
10
100
ω
（4 分）
1 100( s + 1) 4 2）校正后系统的传递函数 G 0 ( s )Gc ( s ) = G ( s ) = 1 s2 ( s + 1) 100 100 ×