甘肃省平凉市2019-2020学年中考第四次适应性考试数学试题含解析

甘肃省平凉市2019-2020学年中考第四次适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为( )
A．5
2
B．
15
4
C．
8
3
D．
10
3
2．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）
A．美B．丽C．泗D．阳
3．如果关于x的方程220
x x c
++=没有实数根，那么c在2、1、0、3-中取值是（）
A．2；B．1；C．0；D．3-．
4．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，弦2
CD=.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为()
A．1
9
B．
2
9
C．
2
3
D．
1
3
6．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或
15°
D ．75°或105° 7．如果将抛物线
向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 A ． B ． C ． D ．
8．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
9．如图，在矩形ABCD 中，AD=1，AB ＞1，AG 平分∠BAD ，分别过点B ，
C 作BE ⊥AG 于点E ，CF ⊥AG 于点F ，则AE －GF 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
10．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（ ）
A ．众数是5
B ．中位数是5
C ．平均数是6
D ．方差是3.6
11．若等式（-5）□5=–1成立，则□内的运算符号为（ ）
A ．+
B ．–
C ．×
D ．÷
12．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．.
D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在平面直角坐标系内，一次函数2y x b =-与21y x =-的图像之间的距离为3，则b 的值为__________．
14．如图，直线y kx b =+经过(2,1)A 、(1,2)B --两点，则不等式122
x kx b >+>-的解集为_______.
15．与直线2y x 平行的直线可以是__________（写出一个即可）．
16．如图，点A 在反比例函数y=3x
（x ＞0）上，以OA 为边作正方形OABC ，边AB 交y 轴于点P ，若PA ：PB=1：2，则正方形OABC 的面积=_____．
17．如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB ，且点O 、A 、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm ．
18．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图矩形ABCD 中AB=6，AD=4，点P 为AB 上一点，把矩形ABCD 沿过P 点的直线l 折叠，使D 点落在BC 边上的D′处，直线l 与CD 边交于Q 点．
（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l ．（保留作图痕迹，不写作法和理由）
（2）若PD′⊥PD ，①求线段AP 的长度；②求sin ∠QD′D ．
20．（6分）列方程解应用题
八年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.
21．（6分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
22．（8分）计算：
2
1
12(1)6tan30
3
π
-
︒
⎛⎫
+--+-
⎪
⎝⎭
解方程：
54410
1
236
x x
x x
-+
+=
--
23．（8分）某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．
（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
24．（10分）计算：
（1）﹣12018+|3﹣2|+2cos30°；
（2）（a+1）2+（1﹣a）（a+1）；
25．（10分）计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018
26．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F，连接CF，
求证：AF=DC；若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明
你的结论．
27．（12分）边长为6的等边△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DE∥AB，EC ＝3
如图1，将△DEC 沿射线EC 方向平移，得
到△D′E′C′，边D′E′与AC 的交点为M ，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D ′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP ，当AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．
【详解】
过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．
∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．
∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．
∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=5
6
，∴EF=3k=
5
2
．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．
2．D
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；
故本题答案为：D.
【点睛】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键．
3．A
【解析】
分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．
详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、
0、﹣3中取值是1．故选A．
点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．4．A
【解析】
【分析】
观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】
根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形不是轴对称图形．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．5．D
【解析】
【分析】
连接OC 、OD 、BD ，根据点C ，D 是半圆O 的三等分点，推导出OC ∥BD 且△BOD 是等边三角形，阴影部分面积转化为扇形BOD 的面积，分别计算出扇形BOD 的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接OC 、OD 、BD ，
∵点C 、D 是半圆O 的三等分点，
∴»»»==AC CD
DB ， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD ，
∴△COD 是等边三角形，
∴OC=OD=CD ，
∵2CD =，
∴2OC OD CD ===，
∵OB=OD ，
∴△BOD 是等边三角形，则∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠COD=60°，
∴OC ∥BD ，
∴=V V BCD BOD S S ，
∴S 阴影=S 扇形OBD 226060223603603
πππ⋅⨯===OD ， S 半圆O 2
2
2222πππ⋅⨯===OD ， 飞镖落在阴影区域的概率21233ππ=
÷=， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规
则图形的面积转化为求规则图形的面积．
6．C
【解析】
解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；
如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，
∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．
点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
7．D
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的解析式
【详解】
解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k)，则二次函数的解析式为.由原抛物线解析式可得a=1，且原抛物线的顶点坐标为(0,0)，向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0)，故平移后的解析式为.
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.
8．A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=1
2
∠AOB=30°
故选A．
9．D
【解析】
【分析】
设AE=x,则AB=x,由矩形的性质得出∠BAD=∠D=90°,CD=AB,证明△ADG是等腰直角三角形,得出AG=AD=,同理得出CD=AB=x,CG=CD-DG=x -1,CG=GF,得出GF,即可得出结果.
【详解】
设AE=x,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=90°,CD=AB,
∵AG平分∠BAD，
∴∠DAG=45°,
∴△ADG是等腰直角三角形,
∴DG=AD=1,
∴AG=AD=,
同理:BE=AE=x, CD=AB=x,
∴CG=CD-DG=x -1,
同理: CG=GF,
∴FG=,
∴AE-GF=x-(x-)=.
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理;熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．【详解】
A、数据中5出现2次，所以众数为5，此选项正确；
B、数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5，此选项正确；
C、平均数为（7+5+3+5+10）÷5=6，此选项正确；
D、方差为1
5
×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]=5.6，此选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
11．D
【解析】
【分析】
根据有理数的除法可以解答本题．
【详解】
解：∵（﹣5）÷5=﹣1，
∴等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为÷，
故选D．
【点睛】
考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．
12．B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
考点：轴对称图形和中心对称图形
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1-35或1+35
【解析】
【分析】
设直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=2x-b于点D，根据直线的解析式找出点A、B、C的坐标，通过同角的余角相等可得出∠BAD=∠ACO，再利用∠ACO的余弦值即可求出直线AB的长度，从而得出关于b的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=2x-b于点D，如图所示．
∵直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，
∴点A（0，-1），点C（1
2
，0），
∴OA=1，OC=1
2
，22
OA OC
5，
∴cos∠ACO=OC
AC
5
∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，∴∠BAD=∠ACO．
∵AD=3，cos∠BAD=AD
AB
5
，
∴5
∵直线y=2x-b与y轴的交点为B（0，-b），∴AB=|-b-（-1）5
解得：55
故答案为55．
本题考查两条直线相交与平行的问题，利用平行线间的距离转化成点到直线的距离得出关于b 的方程是解题关键．
14．-1＜X ＜2
【解析】
12
y x =Q 经过点A ， ∴不等式12
x>kx+b>-2的解集为1x 2-<<. 15．y=-2x+5（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．
【详解】
解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k ，b 都相同时，两条直线重合．
16．1.
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后根据正方形的性质和反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理可以求得AB 的长．
【详解】
解：由题意可得：OA=AB ，设AP=a ，则BP=2a ，OA=3a ，设点A 的坐标为（m ，
3m
），作AE ⊥x 轴于点E ．
∵∠PAO=∠OEA=90°，∠POA+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠POA=∠OAE ，
∴△POA∽△OAE，∴AP
AO
=
OE
EA
，即
3
a
a
=3
m
m
，解得：m=1或m=﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），
∴OA=10，∴正方形OABC的面积=OA2=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17
2
【解析】
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝
2
22
2
AB=cm，
根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．
【详解】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝
2
2
2
AB=cm，
∴扇形OAB的弧AB的长＝902
2
180
π⋅⋅
=，
∴2πr2π，
∴r＝
2
2
（cm）．
故答案为
2
2
．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．
18．1：1．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.
考点：相似三角形的性质.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）见解析；（2）
10 10
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD=22
AD AP
=25，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，过P作DD′的垂线交CD于Q，
则直线PQ即为所求；
（2）由（1）知，PD=PD′，
∵PD′⊥PD，
∴∠DPD′=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，
在△ADP与△BPD′中，
90
{
A B
ADP BPD PD PD
'∠=∠=
∠=
='
∠，
∴△ADP≌△BPD′，
∴AD=PB=4，AP= BD′
∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，∴AP=2；
∴PD=22
AD AP
+
=25，BD′=2
∴CD′=BC- BD′=4-2=2
∵PD=PD′，PD⊥PD′，
∵DD′=2PD=210，
∵PQ垂直平分DD′，连接Q D′则DQ= D′Q
∴∠QD′D=∠QDD′
∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=
10
210
CD
DD
==
'
'
．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
20．15/
km h
【解析】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，利用时间关系列方程解应用题，一定要检验.
试题解析：
解:设骑车学生的速度为xkm/h,由题意得
10101
23
x x
-=,
解得x15
=.
经检验x15
=是原方程的解. 答: 骑车学生的速度为15km/h.
21．y=2x2+x﹣3，C点坐标为（﹣3
2
，0）或（2，7）
【解析】
【分析】
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.
【详解】
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得
3
2 c
a b c
a b c
=-
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-+=-
⎩
，
解得
2
1
3 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，
把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣3
2
，m2=2，
∴C点坐标为（﹣3
2
，0）或（2，7）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22．(1)10;(2)原方程无解.
【解析】
【分析】
（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】
（1
）原式＝169
-⨯+＝10；（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，解得：x＝2，
经检验：x＝2是增根，原方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（1）该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套；（2）A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．
【解析】
【分析】
（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据花11万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据总价=单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，
根据题意得：(
)()1.5 1.2661.8 1.5 1.4 1.212x y x y +⎧⎨-+-⎩＝＝ 解得：2030x y =⎧⎨=⎩
． 答：该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套．
（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套， 根据题意得：1.5（20﹣m ）+1.2（30+1.5m ）≤18，
解得：m≤203
， ∵m 为整数，
∴m≤1．
答：A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24． (1)1;(2)2a+2
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;
（2）先化简原式，然后将x 的值代入原式即可求出答案．
【详解】
=1;
解:（1）原式=﹣1+2+2×
2
（2）原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2.
【点睛】
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
25．-1
【解析】
【分析】
原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC ．
∴平行四边形ADCF 是菱形
27． (1) 当MCND'是菱形，理由见解析；(2)①AD'=BE'，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM ，即可求出CC'； （2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD ≌△BCE'即可得出结论；
②先判断出点A ，C ，P 三点共线，先求出CP ，AP ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）当MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD ∥C'D'，DE ∥D'E'，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°，
∵CN 是∠ACC'的角平分线，
∴∠D'E'C'=12
∠ACC'=60°=∠B ， ∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN ，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵，
∵四边形MCND'是菱形，
∴CN=CM ，
∴CC'=12 （2）①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC ，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，
在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，
在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，3，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，22=221
+'．
AP PD
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．。