温州中学数学试验班招生数学试卷[下学期]浙教版

2004年温州中学数学试验班招生数学试卷
说明:
1、试卷满分120分;考试时间：2小时.
2、试卷共三大题，计18道题。

考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）
1、记()()()()
24256121212121x x =+++⋅⋅⋅++，则是…………………………… （ ） A 、一个奇数 B 、一个质数
C 、一个整数的平方
D 、一个整数的立方
2、圆周上共有10个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为………………（ ） A 、20 B 、40 C 、60 D 、80
3、如图1，已知⊙O 的半径是R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧AC 的度数为960，弧BD 的度数为360，动点P 在AB 上，则PC+PD 的最小值为………………………（ ） A 、2R B
C
D 、R 4、已知实数a ，b ，c 满足2
0,a ab ac ++<则关于x 的方程
ax 2+bx+c=0………………………………………………………（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、没有实数根 D 、不能确定 5、如果一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形
的边数不可能是………………………………………………………………………………（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 6、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2），现有一只虫子从点A 出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C 点，则不同的爬行路径共有………………………………………（ ） A 、4条 B 、5条 C 、6条 D 、7条
7、一次函数5
154
y x =
-的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则在△OAB 内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有…………………………………………（ ） A 、90个 B 、92个 C 、104个 D 、106个 8、如果
78
89
q p <<，,p q 是正整数，则p 的最小值是…( ) A 、15 B 、17 C 、72 D 、144
二、填空题：（共4小题，每题4分，共16分）
9、设a ，b 为两个不相等的实数，且满足2
2
551a a b b -=-=，则3
3
ab a b +的值是 10、如图3，直角梯形ABCD 中，∠BAD=900，AC ⊥BD
，
3AC BD =，则BC AD
= D
C
A B O
P 图1 B
C D
A
图2
11、如图4，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则三角形ABC 的周长是
12、设x y ，是大于零的实数,且222222
sin cos cos sin 14
x y x y x y
θθθθ=+=+， 则
x y
y x
+= 三、解答题（共6题，共72分）
13、（本题满分14分）
如果一个数能表示成2
2
22x xy y ++（,x y 是整数），我们称这个数为“好数”。

（1）判断29是否为“好数”？
（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”。

（3）如果,m n 都是“好数”，求证：mn 是“好数”。

图3
图4
如图5所示，阴影部分是陆地，折线ABCDE 是河岸，今要将河岸拉直，需在线段DE 上找一点M ，将河岸ABCDM 变成线段AM ，并且河面面积保持不变。

请你在图6中画出线段AM （保留作图痕迹），并说明理由。

（本题8分）
15、（本题满分12分）
如图7，⊙O 的弦AC 、BD 交于点Q ，AP 、
CP 是⊙O 的切线，O 、Q 、P 三点共线。

求证：
2PA PB PD =⋅。

P
图7
定义下列操作规则：
规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。

（如一行数1、2、3、4要
、2、3、41、3、2、43、1、2、4。

）
变为3、1、2、4，可以这样操作：1→→
规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。

规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。

现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。

问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？
（2）只用规则B操作，目标能否实现？
（3）只用规则C操作，目标能否实现？
17、（本题满分12分）
如图8，O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO 上任意一点,过B作BE⊥AF于E,连结DE交BC于G.
（1）求证：∠CAF=∠CDE；
（2）求证：CF=GF。

图8
18、（本题满分12分）
已知二次函数2
2
2y x mx n =+-
（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记4m n +，两数中较大者为P ，试求P 的最小值。

（2）若m n ，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。

2004年温州中学数学实验班招生考试数学试卷
（参考答案及评分标准）
一、选择题：（每小题4分，共32分） 1~8.CBBAD,CDB
二、填空题：（每小题4分，共16分） 9、—27， 10、1/3 11、30 12、4 三、解答题（共6题，共72分）
13、（本题满分14分）
解答：2222
22()x xy y x y y ++=++
（1）2222
29(32)2323222=++=+⨯⨯+⨯，29是“好数”。

（4分）
（2）1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20。

（8分）
（3）设2222
111222(),()m x y y n x y y =++=++，1122,,,x y x y 是整数。

[][]
2222222211221121221222
112212112122()()()()()()()()mn x y x y x y y y x y y y x y x y y y x y y y x y =+++++++=+++++-+
令2
112122112212()(),()()y x y y y x y x x y x y y y y =+-+=+++-，则,x y 是整数，
且22
22mn x xy y =++，所以mn 是“好数”。

（14
14、（本题满分8分）
解答：连接BD ，过C 作CF ∥BD 交DE 于F BDC BDF S S ≅。

(6分)
连接AF ，过B 作BM ∥
AF 交DE 于M A F B A F M S S ≅，连接AM 即为所求。

（8分） 15、（本题满分12分）
证明：连接OA 、OB 、OD ，设DP 交⊙O 于E ，设⊙O 2
2
()()
DQ QB R OQ R OQ R OQ OQ QP
∴⋅=+⋅-=-=⋅（8分）
P D B ∴、、O 、四点共圆，又OD=OB ，
DPO BPO ∴∠=∠，PB PE ∴= ∴2PA PB PD =⋅。

（12分）
16、（本题满分14分） 解答：（1）能，实行如下操作：
122003200420051220032005200412200520032004
120052320032004→→→→→、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2005、1、2、、2003、2004
（4分）
（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B ，若数m 在k 号位置，一次变换后可能是22k k k -+、、号位置，所以操作过程中数m 所占位置的奇偶性不会改变。

而1、2、
3、…、200
4、2005中1在1号位，目标200
5、1、2、…、2003、2004中1是2号位，这不可能。

（8分）
（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：
P
图6
a b e d c b e d c b a e a b c d
→→→→→→、b 、c 、d 、e d 、c 、b 、a 、e d 、e 、a 、b 、c 、a 、、、、c 、d 、e 、a 、、、、、、、、
可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。

(12分)
将2001、2002、2003、2004、2005通过“*操作”，可以变为2005、2001、2002、2003、2004，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为2005、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、…、2004、2005可以变为1、2、3、4、2005、5、6、…、2004，最后对1、2、3、4、2005施行“*操作”得到2005、1、2、…、2003、2004。

（14分） 15、（本题满分12分） [解答]：（1）证明：连结BD ，
18、（本题满分12分）
[解答]：（1）由过点（1，1）得到：22
n m =
2
11
444284(2)222
n m n m n n n n n +-+=
-+=--=-+2要比较，大小，即：（）（）（n ）（） 2
242
4 24)n n n P n n ⎧≤-≥⎪∴=⎨⎪+-<<⎩
（或）
（（3分） 如图所示，当2n =-时min 2P ∴=（6分）
2222121212212000,0),(,0),(0,),0,0,,1(0,1),,,,01B x C n x x n n x x n x x x x n P OA OB OP OC A B C P -=-=∴=-<∴=⋅∴⋅=⋅∴10
（2）图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x 。

又若则与三个交点不符，分在原点左右两侧。

（9分）又
，存在点使得，所以四点共圆这些抛物线必过定点P （，）（12分） 0904BEA ACB A B C E AB D A B C D E CDE ∠=∠=∴⊥∴∴∴∠∠，，，四点共圆且是此圆直径
又CH AB ，CH=DH ，在此圆上，，，，，五点共圆。

CAE=（分）
2161012CDB CAO BCD ACO AOC
DCB AOF DBG ACF
DCG
AC
AO FO AO AC CF CF FO CF CG
GF
BO CD BD BG BD CD CG CG GB FO GB O CF GF ∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆∆∆∴=
==∴=∴=∴∴=（）由（）得，，（分）
还可以证明：，，，（分）
是AB 中点（分） n
P
o。