一章节导数及其应用复习小结

f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
注意： 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必 是定义域内的某个区间。
动态 演示
函数及图象 单调性
y
f ( x) x2 在(,0)上递减
切线斜率
k 的正负
k<0
导数的正负
-
k>0 o x 在(0,)上递增
+
y f (x)
y
递增 k>0 +
f(x1)
y f(x3)Βιβλιοθήκη f(b)ax2
x1
0
x3
x4 bx
f(a)
f(x2)
返回
函数的极大(小)值与导数
求可导函数的 f ( x) 的极值的方法: ⑴确定函数的定义域,并求导函数 f ( x) ; ⑵求方程 f ( x) 0 的根; ⑶分析函数值的增减情况(列表),判断极值点.
左增右减为极大
左减右增为极小
函数.
f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞） f(x)的单减区间(0,2) 说明：当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点
单调性发生改变.
题型：根据函数的单调性求参数的取值范围
例1：求参数的范围
若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
【思路点拨由f(x)在R上单调递增知,f′(x)≥0对x∈R恒成立,
（4）.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . x
(2)
（5）.指数函数的导数:
(log a
x)
1 x ln
. a
(1) (e x ) e x . (2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
oa
bx
y
y f (x)
递减
k<0
-
oa b x
例题分析
例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. f (x) 2x3 6x2 7 f (x) 6x2 12x.
由 f (x) 0, 解得 0 x 2 , 所以函数 f (x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f (x) 在 (0,2)内是减
本章知识结构 导数概念
导数 导数运算 导数应用
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率
基本初等函数求导 导数的四则运算法则
函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
一. 导数的定义和几何意义
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近 f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
函数的最大（小）值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解.
解：f ( x ) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增, f '( x ) 3ax2 - 2x 1 0在(-,+)上恒成立。
a
0 4
12a
0
a 1 3
函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
返回
在（过）p(x0,y0)作一曲线的切线方程
1) p(x0,y0)为切点
切线方程y - y0 = f’(x)(x - x0)
2)p(x0,y0)不为切点
切点P(x1, y1)
y1 = f(x1)
y1 - y0 x1 - x0
例1.已知f(x)是可导函数，且
lim f (x0 2x) f (x0 ) 2,
x0
x
则f（x0)等于（ B ）
1
A
2
B -1 C 0
D -2
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
用导数求最值的方法步骤.
一般地，求函数 f (x) 在a,b上的最大值与最小值的方
法步骤： ⑴求 f (x) 在 (a,b)内的导数为零的点； ⑵将 f (x) 的各导数为零的点的函数值与端点处的函
数值 f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值，得出函数 f (x) 在 a,b上的最值.
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f
(x)
= f '(x1)
求曲线在某点处的切线方 程的基本步骤: ①求切点P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求
出切线的斜率;k=f’(x) ③利用点斜式求切线方程.
例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点 A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
割线的斜率
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
②函数的瞬时变化率
f(x1)
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
O
x0 x x0
x
A x2-x1=△xx
x1
x2
f (x0 )
切线的斜率
导数
五.题型讲解
题型一.利用导数的定义和几何意义解题
在某个区间(a, b)内,
f(x)在（a,b)内单调递增
f(x)在（a,b)内单调递减
f’(x) ≥0 f’(x) ≤0
注意：
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必 是定义域内的某个区间。
在某个区间(a, b)内,
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增