凡含有未知函数的导数

特征根
方程 y py qy 0 的通解 y
r1 r2 是两个不相等的实根
y c1er1x c2er2x
r1 r2 r 是相等的实根
y c1 c2xerx
r1,2 i 是共轭复数
y ex c1 cos x c2 sin x
3，可降阶的高阶微分方程
,2，二阶常系数齐次线性微分方程
的两个解，那么 y c1 y1 c2 y2 是其通解。
定理二：如果函数 y1, y2 都是方程 y pxy Qxy 0 的两个线性无关的特
解，则 y c1 y1 c2 y2 是方程的通解。
Y
定理三：方程＜1＞的通解＝方程＜2＞的通解 Y+方程＜1＞的特解 。。。。。。
即; y Y y 其中也含有两个任意常数。
满足给定的初始条件的解，称为微分方程满足该条件的特解。
两函数的线性相关性 y'（x）与 y''(x)是定义在区间(a,b）的两个函数，若对于（a,b）内一切 x，存在 一个常数 k，使得 y'（x）=y''(x )恒成立，则称 y'（x)与 y''（x）线性相关，反之为线性无关。
如果微分方程的解中含有仍以常数，且独立的仍以常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解称为微 分方程的通解。
当自变量取一值时，要求的未知函数及其导数取给定值时，这种条件称为初始条件
第二节，一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程
1，可分离变量的微方程:如dx dyfFra bibliotekxdx
，分离变量：
dy
gy
f xdx
（ gy 0 ），两边积分;
dy
gy
f xdx
就可以求得通解
第三节，二阶常系数线性微分方程
1，线性微分方程解的结构
x 0 在泰勒公式中,当 0
则有麦克劳林公式
f (x) f (0) f (0) x f (0) x f n (0) xn ..... x R, R
1!
2!
n!
3
4
5
s
un
n1
u1
u2
... un
...
,反之极限
lim
n
sn
s
不存在，那么级数发散，发散级数没有和。当级数收敛时就有级数余项
n
rn
s sn
uk
k 1
uk
k 1
uk
k n1
，用 sn 近似代替 s 所产生的误差就是余项的绝对值
rn
。
第二节，常数项级数的审敛法
1.几何级数（等比级数）， a aq aq2 aq3 ..... aqn1 ... 其中 a 0 ，q
发散则级数 n1 条件收敛
un
un
定理 5：级数 n1 绝对收敛，则级数 n1 也收敛。
第三节，幂级数
1.幂级数的概念
当级数 n1 un 的每项 un 都是 x 的函数，即 n1 un
x u1 x u2 x u3 x ... un x ...
叫做函数项级数
2，收敛区间:幂级数
第一节，常微分方程基本概念
凡含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程 未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程
方程中未知函数导数的最高阶，称为微分方程的阶 如果函数 y=f（x)满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解
姓名：李忠武 班级：电信 S10-2 班 学号：26 号 第八章 常微分方程
第十二章 级数
第一节，无穷级数的概念
定义
1：设序列 u1, u2 ,.....un ,...,
把该序列依次相加而成的式子
un
n1
u1
u2
... un
....
叫做无穷级数，简称级数，其中第
n 项 un
称为一般项或通项。
如果 un （n=1，2......)都是常数，那么 n1 un 叫做常数项级数，如果 un （n=1，2......)都是函数，那么 n1 un 叫做函数项级数。
vn
un
果 n1 发散， n1 也发散。
定理 3：（比值审敛法）设正项级数
vn
n1
lim un1
n
，如果
un
则：ρ＜1，级数收敛。ρ＞1，级数发散。
ρ=1，级数可能收敛也可能发散。
2
1.交错级数的审敛法
n1
1
定义 1：正负交错出现的级数 n1
un
u1 u2 u3 u4 ...
a 称为级数的公比，结论，几何级数当 q 1时发散，当 q 1时收敛于和 1 q
1
2.调和级数 n1 n 是发散的。③3. p -级数
p＞1 时收敛，p≤1 是发散。
1 np
n1
1
1 2p
1 3p
1 np
…
.
1，级数的基本性质
un
cun
性质一：若级数 n1 收敛，其和为 s，则级数 n1 也收敛，其和为 Cs （c 为常
1
n1un
...
其中
un
0, n 1,2... 称为交错级数
n1
1
定理 4：（交错级数的审敛法）若交错级数 n1
un
(un
0, n
1,2...)
满足 un
un
1
，
lim
n
un
0
，则级数收敛。
2.绝对收敛与条件收敛
un
un
un
un
un
un
定义 2：对于级数 n1 ，如果正项级数 n1
收敛，则级数 n1 绝对收敛。如果级数 n1 收敛而级数 n1
定理 1：（比较审敛法）设两个正数项级数 n1 un 和 n1 vn ，且对其一般项有 unvn n 1,2... 即就是总结
1.大收敛则小收敛 2.小发散则大发散
定理
2：（极限形式的比较审敛法）设
n1
un
及
n1
vn
为两个正项级数，如果
lim
n
un vn
l 0 l
那么
级数 n1 un 及 n1 vn 同时收敛或同时发散。当 l 0 ，如果 n1 vn 收敛，则 n1 un 也收敛。当 l ，若
3，性质:设幂级数 n0
x ,x
R,R
S x
，则
n0
an xn nan xn1, x
n0
R, R
，
x
s x dx
0 n0
x 0
an xndx
n0
an xn1, n 1
x
R, R
4.函数的幂级数展开式
x n 1 x n 定理 2 (泰勒中值定理) 如果函数 f (x)在
的某邻域内有 0
阶导数，则对此邻域内任意点 ,有 f ( x) 的 阶泰勒公式
形 如 y pxy Qxy f x ＜ 1 ＞ 称 为 二 阶 线 性 微 分 方 程 其 中 px,Qx, f x 都是 x 的连续函数。当 f x 0 时，上述方程为二阶齐次线性微 分方程。 f x 0 时为二次非齐次线性微分方程。 定理一：若函数 y1x, y2x 是二阶齐次微分方程 y pxy Qxy 0 ＜2＞
是一个关于 x 的 n 次多项式。它具有形如 y xkQn
x ex 的特解，其中 Qn
x
是一个特定的 n 次多项式，k 是一整数且 k=0，λ不是特征根。k=1，
λ是特征根但不是重根。k=2，λ是特征根且为重根。
2. f x ex pm xcosx pn x sin x 该微分方程中λ，ω是常数， pm x， pn x 分别是 m 次和 n 次多项式，这时方程变为： y py qy ex pm xcosx pn xsin x 经
n 其中 Rn (x)为 的阶泰勒公式的余项，
f (x)
f (x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
n (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
Rn (x)
当 x x0时,它是比( x x0 o( )n 高阶的无穷小,故一般将其写成为 x x0 n ) ,余项 Rn (x)有多种形式,一般常用的形式为拉格朗日型余项，其余表达式为
分析，它具有形如： y xkex Ql xcosx Rl xsin x 的特解，其中 Ql x ， Rl x 是 l 次多项式， l maxm, n，k 是一整数，且 k=0， i 不是特征根时。k=1， i 是特
征根时。
3.1 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的：
第一步：用特征根法求出相应的齐次方程的通解 Y； 第二步：用待定系数法求出方程的一个特解 y ； 第三步：写出通解 y Y y 第四步：如有初始条件，将条件代入通解表达式。
数）。
un vn
un vn
性质二：若级数 n1 和 n1 分别收敛于 s 和σ，则级数 n1
收敛于 s
±σ。 性质三：任一级数去掉或增加有限项，不改变其敛散性。
2，级数收敛的必要条件
定理：级数
un
n1
收敛，则
lim
n
un
0
常数项级数的审敛法
un
若常数项级数 n1 的所有项都是非负项，则称级数为正数项级数。
2，一阶线性微分方程
2.1 一阶齐次线性微分方程：如
dy dx
pxy
0
，分离变量：
dy y
pxdx
，两边积
ln y pxdx ln c
y ce pxdx
分:
,化简：
（c 是常数）这个等式就是一阶齐次线性微分方
程的通解。
dy pxy Qx
2.2 一阶非齐次微分方程：如 dx
（Q（x）不恒等于 0），通解为
yn f x型
在求解时只要连续积分 N 次就可以求解微分方程的通解
y f x, y 型
求解时设 y px
y dp p dx
dp f x, y
dx
y x,c1
y
通解
x,c1dx c2
y f y, y型
求解时设 y py
y dp dp • dy p dp dx dy dx dy
y
e
p x dx
Q x e pxdxdx c
一阶非齐次方程的通解=对应齐次方程通解+非齐 次方程自身的一个特解
2.1 求解二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤：
第一步：写出方程 y py qy 0 的特征方程 r 2 pr q 0
第二步：求出特征方程的特征根 r1, r2
第三步：根据表的到通解
p dp f y, p
dy
y p y,c1
dy
通解为 y, c1 x c2
1
3，二阶常系数非齐次线性微分方程
形如; y py qy f x 的微分方程，叫二阶常系数非齐次线性微分方程，其中 q，p 是常数。
f
1.
x
ex pn
x
该方程中λ为常数， pn
x
n0
an xn
的收敛半径
R
lim
n
an an1
，当 R=0 时，幂级数仅在 x=0 处收敛；当 R=+∞时，幂级数在（-∞，+∞）上收敛；当 0＜R＜+∞时，幂级数在（R,-R)上收敛。
让后判断 x=±R 时级数是否收敛，从而得出幂级数的收敛区间。
an xn s
n
定义 2：无穷级数 u1,u2 ,.....un ,...,
sn
的前 n 项之和
uk
k 1
u1
u2
... un
称为级数的部分和，当 n 依次取 1,2,3，......时，就得到级数的部分和的数列
sn
，若数列
sn
有极限
s，即
lim
n
sn
s
，
那么，就有级数收敛，并称数
s
为级数的和，记作;
形如 y py qy 0 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为： r 2 pr q 0 其 中 r 2, r 的 系 数 及 常 数 项 恰 好 依 次 是 y py qy 0 中 y, y 及 y 的系数。特征方程的两个根 r1, r2 ，称为特征根，有以下三种情况： 1.当 p2 4q 0 时， r1, r2 是不相等的两个实根 2. p2 4q 0 时， r1, r2 是两个相等的实根 3. p2 4q 0 时， r1, r2 是一对共轭复数