九年级上册数学 期末试卷模拟练习卷(Word版 含解析)

九年级上册数学 期末试卷模拟练习卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）
A ．m 1≠.
B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠. 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ）
A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
3．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2 4．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1
5．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位
6．如图示，二次函数2
y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤
7．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -1
2
= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ） A ．a < x 1< b <x 2
B ．a < x 1< x 2 < b
C ．x 1< a < x 2 < b
D ．x 1< a < b < x 2
8．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()2
49x +=-
B ．()2
47x +=-
C ．()2
425x +=
D ．()2
47x +=
9．将二次函数y ＝x 2
的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2
C ．y ＝（x +2）2+3
D ．y ＝（x ﹣2）2+3
10．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则
∠PCA 等于（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．75° 11．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
12．已知抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．2
3(1)
3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-
D ．23(1)3y x =-++
二、填空题
13．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cosD ＝________.
14．已知一组数据：4，4，m ，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______. 15．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .
16．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．
17．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
18．若关于x的一元二次方程
1
2
x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-
2)2+2k(1-k)的值为______．
19．二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab0
<；②方程2
ax bx c0
++=的根为1x1
=-，
2
x3
=；③a b c0
++>；④当x1
>时，y随x值的增大而增大；⑤当y0
>时，1x3
-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
20．如图，平行四边形ABCD中，60
A
∠=︒，
3
2
AD
AB
=.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则1
2
r
r的值为______.
21．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________．
22．数据8，8，10，6，7的众数是__________．
23．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．
24．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝12
13
，BC ＝12，则AD 的长_____．
三、解答题
25．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．
（1）我们知道：把平面内线段OP 绕着端点O 旋转1周，端点P 运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ；
（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；
②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ． A ．6 cm×4 cm B ．6 cm×4.5 cm C ．7 cm×4 cm D ．7 cm×4.5 cm
26．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x 交于B ，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）
甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299
乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305
（1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．
28．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°<α<90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数
4
y
x
=（x>0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和
y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
29．解方程：
（1）x2－8x＋6＝0
（2）(x -1)2 -3(x -1)=0
30．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取样本容量为，扇形统计图中A类所对的圆心角是度；
（2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名？
31．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．
（1）用树状图列出所有可能出现的结果；
（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．
32．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是；
(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选A ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C 在圆上，由由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质可知点C 在圆外. 【详解】
解：∵以AB 为直径作⊙O ， 当点C 在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质 ∴点C 在圆外．
故选：B ． 【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】 解：
////AD BE CF ，
AB DE
BC EF ∴
=，即1 1.23EF =， 3.6EF ∴＝， 3.6 1.2 4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．D
解析：D 【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2
240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；
C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；
D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意； 故选D.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围. 【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴42
x ±=
∵15x << ∴54t -<≤
故答案为D.
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题. 7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
如图，设函数y＝（x−a）（x−b），
当y＝0时，
x＝a或x＝b，
当y＝1
2
时，
由题意可知：（x−a）（x−b）−1
2
＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，
由于抛物线开口向上，
由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
x x
++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
解：将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到：y＝x2+2，
再沿x轴向左平移3个单位长度得到：y＝（x+3）2+2．
故选：A．
【点睛】
解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由
∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，然后根据三角形外角性
质计算∠PCA的度数．【详解】
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知
识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．
【详解】
∵1a =，4b =，c n =，
根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，
解得：n =4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2
y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
【详解】
∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-
∵顶点坐标为(1,3)-
∴抛物线的表达式为2
3(1)3y x =-++
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 二、填空题
13．【解析】
试题分析：连接BC ，∴∠D=∠A，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形
解析：
13
【解析】 试题分析：连接BC ，∴∠D=∠A ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA=AC AB =26=13．故答案为13
．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
14．8
【解析】
【分析】
根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为： （表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S2表示方差.）
【详解】
解：∵4，4，，6，6的平均数是5，
∴4+4
解析：8
【解析】
【分析】
根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：
2222121
n S x x x x x x n （x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.） 【详解】 解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，
∴4+4+m+6+6=5×5,
∴m=5,
∴这组数据为4，4，m ，6，6，
∴2222221
4545556565=0.85S ，
即这组数据的方差是0.8.
故答案为：0.8.
【点睛】
本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.
15．【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BEN K的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如
解析：13 3
【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，
∵四边形MEGH为正方形，
∴NE GH
∴△AEN~△AHG
∴NE:GH=AE:AG
∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4
∴NE:4=5:9
∴NE=20 9
同理可求BK=8 9
梯形BENK的面积：120814
3 2993⎛⎫
⨯+⨯=
⎪
⎝⎭
∴阴影部分的面积：
1413 33
33⨯-=
故答案为：13 3
.
【点睛】
本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.
16．【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是=，
故答案为.
【
解析：2 3
【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是360120
360
=
2
3
，
故答案为2 3 .
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
17．【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
解析：π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为
603180
π⨯=π． 故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键． 18．【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，
∴ 解析：72
【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】 解：∵一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,
整理得，2
2410k k ， ∴21+22
k k 2221k k k 224k k
224k k
当21+22
k k 时，
224k k 142
=-+ 72
= 故答案为：
72. 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
19．①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab ＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+b
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-
2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.
【详解】
设AB=a ，
∵
∴AD=1.5a，则DE=0.5a ，
∵平行四边形中，，∴∠D=120
解析：1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出
12r r 的值. 【详解】
设AB=a ， ∵32
AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，
∴l 1弧长EF=
12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360
a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12
l l =1 故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
21．.
【解析】
试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE 可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△AB 解析：103
.
试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴AC：AE=BC：DE
∴DE=8
3
∴10
AD=
3
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.
22．8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解
解析：8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
23．（，2）．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4-x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=
解析：（3
2
，2）．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4-x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4-x）2+22=x2，
∴x=5
2
，
∴BE=ED=5
2
，AE=AD-ED=
3
2
，
∴点E坐标（3
2
，2）．
故答案为：（3
2
，2）．
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
24．8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝
13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A
解析：8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝AD
AC
＝
12
13
，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利
用勾股定理计算出DC ＝5x ，由于cos ∠DAC ＝sin C 得到tan B ＝
1213，接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到BD ＝13x ，所以13x +5x ＝12，解得x ＝
23
，然后利用AD ＝12x 进行计算． 【详解】 在Rt △ADC 中，sin C ＝
AD AC ＝1213
， 设AD ＝12x ，则AC ＝13x ，
∴DC ＝5x ，
∵cos ∠DAC ＝sin C ＝
1213， ∴tan B ＝1213
， 在Rt △ABD 中，∵tan B ＝
AD BD ＝1213， 而AD ＝12x ，
∴BD ＝13x ，
∴13x +5x ＝12，解得x ＝
23
， ∴AD ＝12x ＝8．
故答案为8．
【点睛】 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
三、解答题
25．（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.
【解析】
【分析】
（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．
【详解】
解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；
（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积
∴==23=6S rl πππ⨯⨯母侧
即容器盖铁皮的面积为6πcm²；
②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n 度，
则2π×2=
3
180
nπ⨯
解得：n=240°，
如图：∠AOB=120°，
则∠AOC=60°，
∵OB=3，
∴OC=1.5，
∴矩形的长为6cm，宽为4.5cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．26．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(
5
3
，0)或(
7
3
，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【解析】
【分析】
（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得
MN ON
AB BC
=或
MN ON
BC AB
=，可求得N点的坐标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得
22
-2
y x x
y x
⎧=+
⎨
=
⎩
﹣
，
解得
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
3
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，
把A （1，1），C （﹣1，﹣3）的坐标代入得13k b k b =+⎧⎨-=-+⎩
， 解得：21k b =⎧⎨=-⎩
， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=
12，∴D （12，0）， ∴BD=2﹣12=32
， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =
12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），
∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当MN ON AB BC =时，
∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=
13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73
，0）； ②当或MN ON BC AB =时，
∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（
53，0）或（73
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
27．（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；
（2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．
【详解】
解：（1）x 甲＝
110（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301， x 乙＝110
（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301， 2
s 甲＝110
[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2； 2s 乙＝110
[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2； （2）∵2
s 甲＜2
s 乙，
∴甲包装机包装质量的稳定性好．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
28．（1）见解析；（2）1
9180,sin 22MON MPN S αα∠=︒-=△；（3）3
OP =，P
点坐标为⎝⎭或⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）由角平分线求出∠MOP ＝∠NOP ＝
12∠AOB ＝30°，再证出∠OMP ＝∠OPN ，证明△MOP ∽△PON ，即可得出结论；
（2）由∠MPN 是∠AOB 的“相关角”，判断出△MOP ∽△PON ，得出∠OMP ＝∠OPN ，即可得出∠MPN ＝180°﹣12
α；过点M 作MH ⊥OB 于H ，由三角形的面积公式得出：S △MON ＝12
ON •MH ，即可得出结论； （3）设点C （a ，b ），则ab ＝3，过点C 作CH ⊥OA 于H ；分两种情况：①当点B 在y 轴正半轴上时；当点A 在x 轴的负半轴上时，BC ＝3CA 不可能；当点A 在x 轴的正半轴上时；先求出14CA AB =，由平行线得出△ACH ∽△ABO ，得出比例式：14CH AH AC OB OA AB ===，得出OB ，OA ，求出OA •OB ，根据∠APB 是∠AOB 的“相关角”，得出OP ，即可得出点P 的坐标；②当点B 在y 轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠AOB ＝60°，P 为∠AOB 的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝1
2
∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴OM OP OP ON
=，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，∴OM•ON＝OP2，
∴OM OP OP ON
=，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝1
2α，
∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣1
2α，
即∠MPN＝180°﹣1
2α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝1
2
ON•MH＝
1
2
ON•OM sinα＝
1
2
OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝9
2
sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴
1
4 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
4 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
4 b OA a
OB OA
-
==,
∴OB＝4b，OA＝4
3 a，
∴OA•OB＝4
3
a•4b＝
16
3
ab＝
64
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
6483
3
OP OA OB
=⋅==，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
4646
,
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴
1
2 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
2 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
2 b a OA OB OA
-
==
∴OB＝2b，OA＝2
3 a，
∴OA•OB＝2
3
a•2b＝
4
3
ab＝
16
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
1643
3
OP OA OB
⋅=
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
2626
⎝⎭
；
综上所述：点P 的坐标为：4646,⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭或2626,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
29．（1）x 1=104+，x 2=-104+（2） x 1=1，x 2=4．
【解析】
【分析】
（1）根据配方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】
（1）x 2－8x ＋6＝0
x 2－8x ＋16＝10
（x-4）2＝10
x-4=±10
∴x 1=104+，x 2=-104+
（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0
(x -1)(x -1-3)=0
(x -1)(x-4)=0
∴x-1=0或x-4=0
解得x 1=1,x 2=4．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
{题型:3-选择题}{题目}{适用范围:1.七年级}{类别:常考题}{章节:[1-1-3]003}计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生 必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；扇形统计图中，选“D 一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是 °；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总数为 1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总 人数
（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．
【解析】
【分析】
（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；
（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．
【详解】
（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷36
360
＝200（人）；
选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×40
200
＝72°，
故答案为：200、72；
（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．
（3）1500×8060
200
＝1050（人），
答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
30．（1）50，72；（2）作图见解析；（3）90．
【解析】
【分析】
（1）用A类学生的人数除以A类学生的人数所占的百分比即可得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（3）用该校九年级男生的人数乘以该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的的学生所占得百分比即可得答案．
【详解】
（1）由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50，
扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%=72°，
（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，
C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，
D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
补全的统计图如所示，
（3）300×30%=90（名）
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．
【点睛】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
31．（1）见解析；（2）1 4
【解析】
【分析】
（1）根据题意画树状图，求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得3次摸到的球颜色相同的结果数，再根据概率公式即可解答．【详解】
（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数；
（2）3次摸到的球颜色相同的结果数为2，。