高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.1 第1课时

∴y≠3， 3x－1 ∴ y＝ 的值域为{y|y∈R 且 y≠3}． x＋1 (4)y＝2x－ x－1的定义域为[1，＋∞)． 令 x－1＝t，则 x＝t2＋1 且 t≥0， ∴y＝2t2－t＋2＝2 t－ 1 15 15 4 2＋ ≥ ， 8 8
15 ，＋∞ ∴y＝2x－ x－1的值域为 8 . 反思与感悟 求函数值域的常用方法
一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对 应法则完全一致，我们就称这两个函数相等． 特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三 区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时， 可利用配方法求其值域． (3)分离常数法： 此方法主要是针对有理分式， 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式， 便于求值域． (4)换元法： 即运用新元代换， 将所给函数化成值域易确定的函数， 从而求得原函数的值域． 对 于 f(x)＝ax＋b＋ cx＋d(其中 a，b，c，d 为常数，且 a≠0)型的函数常用换元法． 跟踪训练 3 求下列函数的值域． 1－x2 . 1＋x2
求下列函数的定义域．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 (1)y＝3－ x； 2 (2)y＝2 x－ 1－7x； (3)y＝ 2x＋3－ 解 1 ＋ . 2－x x 1
1 (1)函数 y＝3－ x 的定义域为 R. 2 x≥0， 1－7x≥0， 1 得 0≤x≤ ， 7
(2)由
所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为 2x＋3≥0， (3)要使函数有意义，需 2－x>0， x≠0， 3 解得－ ≤x＜2，且 x≠0， 2
④r：把 x 对应到 x.
①②是实数集 R 上的一个函数，因为给定一个 x 值都有唯一确定的值与之对应．③④不
是，对于③，当 x＝0 时，没有值与之对应，对于④，当 x＜0 时，没有值与之对应． 反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法
(1)定义域和对应法则是否给出. (2)根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值 y. 跟踪训练 1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．
1．集合 A＝{正方形}可以作为某个函数的定义域．( 2．若 1∈A，则对于 f：A→B，f(1)可能不存在．( ×
× )
)
3．对于函数 f：A→B，当 x1，x2∈A 且 x1>x2 时，可能有 f(x1)＝f(x2)．( 4．区间不可能是空集．( √ )
√
)
类型一 例1
函数关系的判断
(1)给出下列四个图形：
(1)∵y＝x＋1 的定义域为 R，
∴y＝x＋1 的值域为 R. (2)∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 又 x∈[0,3)， ∴2≤y＜6， ∴y＝x2－2x＋3 的值域为[2,6)． 3x－1 3x＋1－4 4 (3)∵y＝ ＝ ＝3－ ， x＋1 x＋1 x＋1 4 又∵ ≠ 0， x＋ 1
§2.1 2.1.1
第 1 课时
学习目标
函 函
数 数
变量与函数的概念
1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念， 了解构成函数的三要素.3.能正确使用
函数、区间符号．
知识点一
函数的概念
1．函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域与值域 在函数 y＝f(x)， x∈A 中， x 叫做自变量， 自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域． 如 果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f(a)或 y|x＝a.所有 函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域． 知识点二 函数相等
其中，能表示函数关系的个数是(
)
A． 0 答案 解析
B． 1 D
C． 2
D．3
①②③能表示函数关系， ④不能表示函数关系， 因为当 x＝1 时， 有两个 y 值与之对应．
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集 R 上的一个函数？为什么？ ①f：把 x 对应到 3x＋1； 1 ③h：把 x 对应到 ； x 解 ②g：把 x 对应到|x|＋1；
闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间
[a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
2.无穷大区间的表示： 定义 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 数轴表示
3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一 端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1 0， 7 .
3 － ≤x＜2，且 x≠0 1 所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋ 的定义域为 x 2 2－x x 1 反思与感悟 求函数定义域的常用依据
|
.
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. (3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合. (4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练 2 答案 解析 x 函数 f(x)＝ 的定义域为________． x－1
答案 解析
①③④ ①③④表示函数的图象．
(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ 1 ①f：把 x 对应到 x＋1；②g：把 x 对应到 2 ；③h：把 x 对应到常数 1. x ＋1 解 ①是函数关系，定义域为{x|x≥－1}．
②是函数关系，定义域为 R. ③是函数关系，定义域为 R. 类型二 例2 已知函数的解析式，求其定义域
{x|x≥0 且 x≠1} 要使 x≥0， x 有意义，需满足 x－1 x－1≠0， 解得 x≥0 且 x≠1，
故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0 且 x≠1}． 类型三 例3 求函数的值域
求下列函数的值域．
(1)y＝x＋1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝ 解 3x－1 ；(4)y＝2x－ x－1. x＋ 1