2018版高三数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ试题文

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点1 函数的概念
1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数x sgn ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，则( )
A ．|x |＝x |x sgn |
B ．|x |＝x x sgn
C ．|x |＝ sgn x x
D ．|x |＝sgn x
1.解析 对于选项A ，右边＝x x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显然不正确； 对于选项B ，右边＝x
x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显然不正确； 对于选项C ，右边＝sgn x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；
对于选项D ，右边＝sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，
而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故应选D.
答案 D
2.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2
＋2x －3)的定义域为( ) A ．[－3,1]
B ．(－3,1)
C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2.解析 需满足x 2
＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪ (1，＋∞)． 答案 D
3.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6
x －3
的定义域为( )
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)∪(3,4]
D ．(－1,3)∪(3,6]
3.解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4； ①
且x 2－5x ＋6x －3
>0，解得x >2且x ≠3， ②
由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C. 答案 C
4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －1
－2，x ≤1，
－log 2x ＋1，x >1，
且f (a )＝－3，
则f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－1
4
4.解析 若a ≤1，f (a )＝2
a －1
－2＝－3，2
a －1
＝－1(无解)；
若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，
f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74
.
答案 A
5.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －b ，x ＜1，2x
，x ≥1.若⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65f f ＝4，则b ＝( )
A ．1 B.78 C.34 D.1
2
5.解析 由题意，得⎪⎭
⎫
⎝⎛65f ＝3×56－b ＝52
－b .
若52－b ≥1，即b ≤32时，5
22=4b -，解得b ＝1
2
. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎪⎭⎫
⎝⎛-b 25－b ＝4，解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12.
答案 D
6.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧
1－x ，x ≥0，
2x
，x ＜0，
则f (f (－2))＝( )
A ．－1 B.14 C.12 D.3
2
6.解析 ∵f (－2)＝2－2
＝14＞0，则f (f (－2))＝⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ＝1－
4
1＝1－12＝1
2，故选C.
答案 C
7.(2014·山东，3)函数f (x )＝
1
log 2x －1
的定义域为( )
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
7.解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2， 即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案 C
8.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ·2x
，x ≥0
2－x
，x ＜0
(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2 8.解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22
＝1，
解得a ＝14.
答案 A
9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3
－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 9.解析 由函数f (x )＝ax 3
－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3
－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案 －2
考点2 函数的基本性质
1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，
f (－x )＝－f (x )，当x ＞1
2
时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+
21x f ＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21x f .则f (6)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.2
1.解析 当x ＞1
2
时，
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+21x f ＝
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21x f ，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，
∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3
－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3
－1]＝2，故选D. 答案 D
2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2，
则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，＋∞ 2.解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2 知f (x )为R 上的偶函数，
于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．
当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x
（1＋x 2）2＞0，
所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数， 则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|， 平方得3x 2
－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.
答案 A
3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2
sin x B ．y ＝x 2
cos x C ．y ＝| ln x |
D ．y ＝2
x
3.解析 由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数． 答案 B
4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x
－e
－x
4.解析 由奇函数定义易知y ＝e x
－e －x
为奇函数，故选D. 答案 D
5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2
－cos x C ．y ＝2x
＋12
x
D ．y ＝x 2＋sin x
5.解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2
－cos(－x )＝x 2
－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x
＋12
x ＝f (x )，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
答案 D
6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．4
6.解析设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，
将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，
由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.
答案 C
7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
7.解析分别画出四个函数的图象，如图所示：
因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；
因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；
对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.
答案 B
8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝1
x2
B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2x
8.解析因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝1
x2
在(－∞，0)上是单调递增的，
又y＝1
x2
为偶函数，故A对；
y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；y＝x3为奇函数，故C错；
y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.
答案 A
9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是 偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
9.解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C. 答案 C
10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x
－12x
B ．y ＝x 3
sin x C ．y ＝2cos x ＋1
D ．y ＝x 2＋2
x
10.解析 选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数． 答案 A
11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2
＋x C ．f (x )＝2x －2x
D ．f (x )＝2x
＋2
x
11.解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2
＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中
f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；
选项D 中f (x )＝2x
＋2x
，则f (－x )＝2x
＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2x
为偶函数，故选D. 答案 D
12.(2016·北京，10)函数f (x )＝x
x －1
(x ≥2)的最大值为________.
12.解析 f (x )＝
x
x －1＝1＋1
x －1
，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减， 则f (x )最大值为f (2)＝2
2－1＝2.
答案 2
13.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x
，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝________.
13.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x
， 则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，
∴⎪⎭⎫
⎝⎛25f ＋f (2)＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21f ＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －2
14.(2015·福建，5)若函数f (x )＝2|x －a |
(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，
则实数m 的最小值为________．
14.解析 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x ＝1，∴a ＝1，f(x)＝2|x －1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞).∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m 的最小值为1. 答案 1
15.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 15.解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )， 又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 3
16.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，
则⎪⎭⎫
⎝⎛429f ＋⎪⎭
⎫
⎝⎛641f ＝________. 16.解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以⎪⎭⎫
⎝⎛429f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛641f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯4342f ＋
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯6742f
＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-
43f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-67f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f －⎪⎭
⎫
⎝⎛67f ＝－316＋sin π6＝516.
答案 516
17.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－4x 2
＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，
则⎪⎭
⎫
⎝⎛23f ＝________.
17.解析 由已知易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f ＝－4×2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛＋2＝1，
又由函数的周期为2，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝⎪⎭
⎫
⎝⎛-21f ＝1. 答案 1
考点3 二次函数与幂函数
1.(2014·湖北，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－3x .则函数
g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1,3}
B ．{－3，－1,1,3}
C ．{2－7，1,3}
D ．{－2－7，1,3}
1.解析 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根， 由x 2
－3x ＝x －3，解得x ＝1或3；
当x ＜0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2
－3(－x )，即f (x )＝－x 2
－3x . 由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D. 答案 D
2.(2014·北京，8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2
＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A ．3.50分钟
B ．3.75分钟
C ．4.00分钟
D ．4.25分钟
2.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，
∴p ＝－0.2t 2
＋1.5t －2＝－15⎝
⎛⎭⎪⎫t －1542＋13
16，
∴当t ＝15
4＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
答案 B
3.(2014·浙江，9)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定
3.解析 |b ＋t a |2
＝|a |2t 2
＋2a·b ·t ＋|b |2
＝|a |2t 2
＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2
， 设f (t )＝|a |2t 2
＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2
， 则二次函数f (t )的最小值为1，
即4|a|2
|b|2
－4|a|2|b|2cos 2
θ4|a|2
＝1，化简得|b |2sin 2θ＝1. ∵|b |＞0，0≤θ≤π，∴|b |sin θ＝1，
若θ确定，则|b |唯一确定，而|b|确定，θ不确定，故选B. 答案 B
考点4 指数与指数函数
1.(2016·新课标全国Ⅲ，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝251
3，则( )
A.b <a <c
B.a <b <c
C.b <c <a
D.c <a <b 1.解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝3
25，所以b <a <c .
答案 A
2．(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2
|x －m |
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝
f (lo
g 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜b ＜a
2.解析 由函数f (x )＝2|x －m |
－1为偶函数，得m ＝0，
所以f (x )＝2|x |
－1，
当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 23|＞0，
∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B. 答案 B
3.(2015·山东，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
3.解析 根据指数函数y ＝0.6x
在R 上单调递减可得0.61.5
＜0.60.6
＜0.60
＝1， 根据指数函数y ＝1.5x
在R 上单调递增可得1.50.6
＞1.50
＝1， ∴b ＜a ＜c . 答案 C
4.(2015·四川，8)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系
y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃
的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时
D ．28小时
4.解析 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧192＝e b
，48＝e 22k ＋b
，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12， ∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b
＝(e 11k )3
·e b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
×192＝24. 答案 C
5.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y
(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3
＞y 3
B ．sin x ＞sin y
C ．ln(x 2
＋1)＞ln(y 2
＋1)
D.
1x 2
＋1＞1y 2＋1
5.解析 根据指数函数的性质得x ＞y ，此时，x 2
，y 2
的大小不确定，故选项C 、D 中的不等式不恒成立； 根据三角函数的性质知选项B 中的不等式不恒成立； 根据不等式的性质知选项A 中的不等式恒成立． 答案 A
6.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3
B ．f (x )＝3x
C ．f (x )＝x 1
2
D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x
6.解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B. 答案 B
7.(2015·北京，10)2－3
，12
3，log 25三个数中最大的数是________．
7.解析 2－3
＝18
<1，又因为2
3
<22
<5，
所以log 223<log 222
<log 25，即3<log 25. 所以最大值为log 25. 答案 log 25
考点5 对数与对数函数
1.(2016·新课标全国卷Ⅱ，10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域相同
的是( )
A.y ＝x
B.y ＝lg x
C.y ＝2x
D.y ＝1
x
1.解析 函数y ＝10lg x
的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y
＝1
x
，故选D.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅰ，8)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.c a log <c b log B a c log <b c log C.a c
<b c
D.c a
>c
b
2.解析 对A ：c a log ＝lg c lg a ，c b log ＝lg c
lg b
，
∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A 错；
对于B ：a c log ＝lg a lg c ，b c log ＝lg b lg c ，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1
lg c 改变不等号方向，所以
选项B 正确；
对C ：由y ＝x c
在第一象限内是增函数，即可得到a c
>b c
，所以C 错； 对D ：由y ＝c x
在R 上为减函数，得c a
<c b
，所以D 错.故选B. 答案 B
3.(2015·四川，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3.解析 若a ＞b ＞1，那么log 2a ＞log 2b ＞0； 若log 2a ＞log 2b ＞0，那么a ＞b ＞1，故选A.
答案 A
4.(2015·湖南，8)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数
4.解析 易知函数定义域为(－1，1)，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数．答案 A
5.(2014·福建，8)若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )
5.解析 因为函数y ＝log a x 过点(3，1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3.y ＝3－x
不可能过点(1，3)，排除A ；
y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C; y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1), 排除D ，故选B.
答案 B
6.(2014·山东，6)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的
图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1
6解析 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数
y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.
答案 D
7.(2014·天津，4)设a ＝log 2 π，b ＝log 12
π，c ＝π－2
，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
解析 利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1，2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2
∈(0，1)，
所以a ＞c ＞b . 答案 C
8.(2014·辽宁，3)已知a ＝2
13
-，b ＝log 213，c ＝log 12
1
3
，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
8 解析 a ＝2－13＜20
＝1，所以0＜a ＜1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，
所以c ＞a ＞b . 答案 D
9.(2014·四川，7)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d
＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad
D ．d ＝a ＋c
9 解析 由已知得5a
＝b ，10c
＝b ，∴5a
＝10c
，∵5d
＝10，∴5dc
＝10c
，则5dc
＝5a
，∴dc ＝a ， 答案 B
10.(2015·四川，12)lg 0.01＋log 216＝________. 10解析 lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224
＝－2＋4＝2.
答案 2
11.(2015·安徽，11)lg 52＋2lg 2－1
21-⎪⎭
⎫
⎝⎛＝________.
11解析 lg 52＋2lg 2－1
21-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝lg 52＋lg 22
－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.
答案 －1
12.(2015·浙江，9)计算：log 2
22
＝________，24log 3log 32＋＝________. 12.解析 log 222＝1
-22log 2＝－12
，24log 3log 32＋＝221
log 3log 32
2＋＝3
22log 32＝3 3.
答案 －1
2 3 3
13.(2014·陕西，12)已知4a
＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.
13.解析 由已知4a ＝2⇒a ＝log 42＝1
2，又lg x ＝a ⇒x ＝10a ＝101
2＝10.
答案 10
1.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y ＝2x 2
－e |x |
在[－2，2]的图象大致为( )
1.解析 f (2)＝8－e 2
>8－2.82
>0，排除A ；
f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；
在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0
＝0，
因此f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f (x ) (x ∈R)满足f (x )= f (2-x )，若函数y =|x 2
-2x -3|与
y =f (x )图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则
x i =( )
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m 2.解析 函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x )， 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称，
函数y =|x 2
-2x -3|的图象也关于直线x =1对称，
故函数y =|x 2
-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称， 故
x i =
×2=m，故选B.
答案 B
3.(2016·浙江，3)函数y ＝sin x 2
的图象是( )
3.解析 y ＝sin x 2
为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C. 又当x 2
＝π2，即x ＝±
π
2
时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D
4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )
4.解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x≤π
4时，在Rt△POB 中，|PB|＝|OB|tan ∠POB ＝tan x ，在Rt△PAB
中，|PA|＝
2
2PB AB +＝4＋tan2x ，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x ＋tan x ，
它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝
π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π
4
＝5＋1，又当点P 与边CD 的中
点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝|PA|＋|PB|＝2＋
2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，故又可排除D.故选B. 答案 B
5.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
5.解析 ∵f (x )＝(x －1
x
)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；
当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D
6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a
(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
6.解析 根据对数函数性质知，a ＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a ＜1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a ＞1，与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D
7.(2014·辽宁，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，
则不等式f (x －1)≤1
2
的解集为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
4
，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
4
，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34
7.解析 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤1
2；
当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤3
4.
因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
4，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，
故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.
答案 A
考点6 函数与方程
1.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－|x |，x ≤2，
x －22
，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝
f (x )－
g (x )的零点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 1.解析
函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，记h (x )＝－f (2－x )，在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象，如图所示，g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位，可知f (x )与g (x )的图象有两个交点，故选A. 答案 A
2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2
＋1 C ．y ＝sin x
D ．y ＝cos x
2.解析 对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2
＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos
x 是偶函数且有零点，故选D.
答案 D
3.(2014·重庆，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1
－3，x ∈－1，0]，
x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]
内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 3.解析 g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，
x ，x ∈（0，1]
和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝
1
x ＋1
－3，x ∈(－1，0]和y ＝x ，x ∈(0，1]都相交时，0＜m ≤1
2
；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝
1x ＋1－4，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝m （x ＋1），y ＝1x ＋1－3，消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2
＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2
＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y
＝
1
x ＋1
－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2， 所以m ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2. 综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2∪(0，12]，选择A.
答案 A
4.(2014·北京，6)已知函数f (x )＝6
x
－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞) 4.解析 因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－1
2
＜0，
所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)，故选C. 答案 C
5.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程
f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.
5.解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |.
当x ＞m 时，f (x )＝x 2
－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数.
若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2
－2m ·m ＋4m ＜|m |. ∵m ＞0，∴m 2
－3m ＞0，解得m ＞3. 答案 (3，＋∞)
6.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，0＜x ≤1，
|x 2
－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实
根的个数为________．
6.解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2
＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，
当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x
2
x
＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，
在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．
由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根的个数为4. 答案4
7.(2015·湖北，13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2
的零点个数为________．
7.解析 f (x )＝2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2
.
令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2
，
则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2
的图象的交点个数． 作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.
答案 2
8.(2014·天津，14)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
|x 2
＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.
若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则
实数a 的取值范围为________．
8.解析 由题意，函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，得函数y 1＝f (x )与y 2＝a |x |的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于0)．由图知，当y 2＝－ax (x ＜0)与y 1＝－x 2
－5x －4(－4＜x ＜－1)相切时，x 2
＋(5－a )x ＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a )2
－16＝0，解得a ＝1(a ＝9舍去).所以当x ＜0时，y 1与y 2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a ＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y ＝
f (x )－a |x |恰有4个零点．
答案 (1，2)
9.(2014·福建，15))函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．
9.解析 当x ≤0时，令x 2
－2＝0，解得x ＝－2；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 因为f ′(x )＝2＋1
x
＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f (3)＝ln 3＞0，
所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上所述，函数f (x )的零点个数为2. 答案 2
考点7 函数模型及其应用
1.(2016·四川，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
1.解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200，
∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12
＝（lg 2＋lg 10）－（lg 1.3＋lg 10）lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05
＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.
答案 B
2.(2014·山东，9)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A ．f (x )＝x
B ．f (x )＝x 2
C ．f (x )＝tan x
D ．f (x )＝cos(x ＋1) 2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A 、C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．
答案 D
3.(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l
. (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
3.解析 (1)F ＝76 000v ＋20×6.05v
＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立． (2)F ＝76 000v ＋20×5v
＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100. 答案 (1)1 900 (2)100
4.(2014·四川，15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M ，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B ，现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D ，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B ，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，则f(x)＋g(x)∉B ；
④若函数f(x)＝aln(x ＋2)＋x x2＋1
(x ＞－2，a ∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
4.解析 ①显然正确；
②反例：函数y ＝12x ＋1
的值域为(0，1)，存在M ＝1符合题意，但此函数没有最值； ③当f (x )趋于＋∞时，无论g (x )在[－M ，M ]内如何取值，f (x )＋g (x )都趋于＋∞，所以f (x )＋g (x )不可能有最大值，此命题正确；
④由于ln(x ＋2)的值域为R ，x
x 2＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，由③知如果a ≠0，则函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1的值域为R ，无最大值，与已知矛盾，所以a ＝0，所以此命题正确．
答案 ①③④。