电路分析基础(金波)1-6章 (6)

+Cn
(6-16)
第6章 一阶电路 串联电容的等效电容为
1 1 1 1
Ceq C1 C2
Cn
(6-17) 等效初始电压为
u(0)=u1(0)+u2(0)+…+un(0)
(6-18)
第6章 一阶电路
自测题6-1 电路中的储能元件是指
(Ａ) 电阻元件 (Ｂ) 电感元件 (Ｃ) 电容元件
【例6-3】 一个电容元件如图6-5所示。电容C=4 μF，已 知t=0时，uC(0)=0，iC=2 A，求t=20 ms
第6章 一阶电路 图6-5 例6-3的电路
第6章 一阶电路
解 电容电压为
uC
uC (0)
1 C
0t iCdt
1 C
2t
uC (20
ms )
2 20103 C
0.04 C
V
电容的储能为
第6章 一阶电路 图6-7 电感元件串联
第6章 一阶电路 并联电感有相同的电压，每个电感元件的电流为
i1
1 L1
t
0
udt
i1(0) ，i2
1 L2
0t udt
i2 (0) ，i3
1 L3
t
0
udt
i3(0)
总电流为
i
i1
i2
i3
(1 L1
1 L2
1 L3
)0t
udt
i1(0)
i2 (0)
i3(0)
即电容量的大小是电容极板上的电荷与所加电压之比。 其中, q为电荷，当C 设电容元件端电压和电流为关联参考方向，则有
(6-7)
iC
C
duC dt
上式表示电容元件的伏安关系，电容电流是与其电压的变
化率成比例的。其中两点要特别注意:
• 如果电压是直流，则电容元件中的电流为零。因此，
第6章 一阶电路 • 电容元件两端的电压不能跃变。若电压有跃变，则电容 元件中的电流为无穷大，显然这是不可能的。也就是说，电容
0 2
0
(1 t 2) (2 t 4) (4 t 5)
2 (5 t 6)
uL的波形如图6-2(c)
第6章 一阶电路
也可以不写出iS的表达式，直接对波形求导。因为求导就 是求斜率。 iS的正斜率对应着uL的正值，iS的负斜率对应着uL 的负值。 iS的常数对应uL的零值。对于分段直线的波形求导，
第6章 一阶电路
电感元件中功率和能量的关系可以直接由电流和电压的关 系推导出来。如果采用关联参考方向，功率表示为
p=uLiL
(6-4)
功率的单位是W，电压的单位是V，电流的单位是A 功
率还可以表示为
p
LiL
diL dt
(6-5)
第6章 一阶电路 从-∞到t期间，所吸收的能量为
w
t
pdt
t LiL
w
1 2
CuC2
0.042 2 4 106
200
J
第6章 一阶电路 【例6-4】 如图6-6(a)所示为一线性元件，其电压、电流 的波形如图6-6(b)、图6-6(c) 所示。判断该元件是什么元件？
解 由于采用非关联参考方向，再观察图6-6(b)、图(c) 可知，对电压u求导的负值就是i的波形。根据电容元件的伏安 关系，有
值得注意的是，电容元件的伏安关系的两种形式(6-7)和 (6-9)是在关联参考方向下得出来的。若是采用非关联参考方向， 则在公式前应加上负号。
第6章 一阶电路
【例6-2】 已知电容C=5 μF，通过电容元件的电流波形如 图6-4(a) 所示，求电容电压uC的波形。
解 根据电容元件的伏安关系，即
uC
uC
uC (2
ms )
1 C
2t 0
ms
iCdt
8
V
uC的波形如图6-4(b)
第6章 一阶电路
电容元件中功率和能量的关系可以直接由电流和电压的关 系推导出来。如果采用关联参考方向，功率表示为
p=uCiC
(6-10)
功率的单位是W，电压的单位是V，电流的单位是A
还可以表示为
p
CuC
duC dt
(6-11)
uC (0)
1 C
0t iCdt
采用分段积分，当t≤0时，uC=0
第6章 一阶电路 图6-4 例6-2的波形
第6章 一阶电路 当0≤t≤2 ms时，有
uC
1 C
0t iCdt
1 5 106
0t 20 103dt
4000t
V
当t=2 ms时，
u (2
ms)=4000×2×10-3=8 V
当t≥2 ms时，由于iC=0，有
第6章 一阶电路
例如，给一个未储能的电容充电的电路如图6-10(a)所示。 在开关闭合前电容电压uC (0)=0 V，这是一个稳定状态。开关 合上后，电压源US给电容充电，随着时间增加，电容电压uC的 变化曲线如图6-10(b)所示。当t→∞时，uC (∞)=US，即电容充
第6章 一阶电路 图6-10 电容充电过程
diL dt
dt
iiLL((t ))
LiLdiL
1 2
L[iL2
iL2 ()]
因iL(-∞)=0，于是
w
1 2
LiL2
(6-6)
第6章 一阶电路
上式表明，电感元件储存的能量取决于该时刻的电流。只 要电流不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存在电感
第6章 一阶电路
6.1.2 电容元件是一种电子元件。它是由绝缘体或电介质材料隔
(Ｄ) 电压源
(Ｅ) 电流源
自测题6-2 当10 Ａ的直流电流通过10 ｍＨ线圈时，线
圈的储能为
。
(Ａ) 0.5 Ｊ (Ｂ) 0.5 W (Ｃ) 10 Ｊ (Ｄ) 10 W
第6章 一阶电路
自测题6-3 两个电容器，一个电容器容量大，另一个较
小，充电到同样电压时，电容量越大的电容器，其极板上带电
量
。
(Ａ) 越大 (Ｂ) 越小
(Ｃ) 相同
自测题6-4 2 Ａ的电流向2 F的电容充电，已知t=0时刻，
uC(0)=1 V，则在t=3 s时，uC (3)=
。
(Ａ) 2 V
(Ｂ) 3 V
(Ｃ) 4 V
(Ｄ) 8 V
第6章 一阶电路 图6-9 自测题6-5
第6章 一阶电路
自测题6-5 在图6-9所示电路中，可求得Ａ、Ｂ两点的等
第6章 一阶电路
6.1 电感元件和电容元件 6.2 动态电路和换路定律 6.3 无源一阶电路 6.4 直流电源激励的一阶电路 6.5 全响应的分解特性 6.6 一阶电路的阶跃响应 *6.7 计算机仿真 本章小结 思考题 习题6
第6章 一阶电路
6.1
6.1.1 电感元件是一种抵抗电流变化的电子元件。它由环绕在磁
式(6-7)还可以写为积分的形式
uC
1 C
t iCdt
1 C
t0 iCdt
1 C
tt0 iCdt
uC
(t0
)
1 C
tt0
iC
dt
(6-8)
第6章 一阶电路
在许多实际应用中，t0=0，式(6-8)变为
uC
uC (0)
1 C
0t iCdt
(6-9)
uC
(0)
1 C
0
iCdt
其中，
体现了t=0之前电流对电压的贡献，
2)变为
iL
iL (0)
1 L
0t uLdt
(6-3)
iL (0)
1 L
0
uLdt
其中，
t=0之前电压对电流的贡献，称为
第6章 一阶电路 值得注意的是，电感元件的伏安关系的两种形式(6-1)和 (6-3)是在关联参考方向下得出来的。若是采用非关联参考方向，
【例6-1】 电路如图6-2(a)所示，电流源的波形如图62(b)所示，求电感电压uL
第6章 一阶电路
另一个内因是电路存在两个不同的稳态。如图6-10(a)所示 电路，若电容已知有初始电压uC (0)=US，当开关合上后，电路 虽然有电容元件，也不会出现暂态过程。因为电容已经充满电 了，即电容电压没有两个稳态，只有一个稳态。因此，产生动
1 Leq
0t udt
i(0)
第6章 一阶电路
显然，并联电感的等效电感和等效初始电流为
1 111 Leq L1 L2 L3
(6-14)
(6-15)
i(0) i1(0) i2(0) i3(0)
三个电感并联的等效电路如图6-8(b)
第6章 一阶电路 图6-8 电感元件并联
第6章 一阶电路 由于电路的对偶性，因此根据对偶原理，只要将上述电感 元件串联和并联的等效电路，用对应的对偶元素替换，就可得 出电容并联和串联的等效电路。即有并联电容的等效电容为
第6章 一阶电路 从-∞到t期间，所吸收的能量为
w
t
pdt
t CuC
duC dt
dt
uC (t)
uC ()
CuCduC
1 2
C[uC2
uC2 ()]
因uC(-∞)=0，于是 (6-12)
w
1 2
CuC2
第6章 一阶电路 上式表明，电容元件储存的能量取决于该时刻的电压。只 要电压不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存在电容
效电容Ceq= (Ａ) 1/3 μF
(Ｂ) 0.28 μF
(Ｃ) 0.24 μF
(Ｄ) 0.14 μF
第6章 一阶电路
6.2 动态电路和换路定律
6.2.1 在电阻电路中，描述电路的方程是代数方程。当电路中含
有电感、电容等储能元件时，描述动态电路的方程是微分方程。 如果微分方程的阶数为一，就称为一阶电路； 若阶数为二， 就称为二阶电路等。一阶电路是最简单、工程上又常见的动态 电路。
第6章 一阶电路 式(6-1)还可以写为积分的形式
iL
1 L
t uLdt
1 L
t0 uLdt
1 L
tt0
uLdt
iL
(t0
)
1 L
tt0
uLdt
(6-2)
第6章 一阶电路
其中, iL是相对于t的电流； 而iL (t0)指的是开始积分时
刻，即t0时刻电感的电流值。在许多实际应用中，t0=0，式(6-
离的两个导体组成。电容元件的特性基于电场现象。给电容元 件加电压，若电压随时间变化，则电场也随时间变化。时变的 电场在该空间产生位移电流。电容是用来表示电容元件的电路 参数，用C表示，单位为F(法拉)，图形符号如 图6-3所示。电容C定义为
C q uC
第6章 一阶电路 图6-3 电容元件的符号
第6章 一阶电路
i C du dt
第6章 一阶电路 图6-6 例6-4的用图
第6章 一阶电路
可见，该元件为电容元件。在0≤t≤2 s，对图6-6(b)有 =1，对图6-6(c)，有
i C du 1μA dt
故电容参数C=1 μF 6.1.3
电阻的串并联可以简化为单个等效电阻，电感或电容的串 并联也可以简化为单个电感或电容。如图6-7(a)所示是电感元 件的串联，流过的电流相同，每个电感的电压是
第6章 一阶电路 图6-2 例6-1的电路
第6章 一阶电路
解 电流源波形可以分段表示为
2t
(0 t 1)
iS
2
2(t
3)
(1 t (2
2) t 4)
2
(4 t 5)
2(t 6) (5 t 6)
第6章 一阶电路 电感元件两端的电压为
2 (0 t 1)
uL
L
diL dt
第6章 一阶电路 其中，Ψ为线圈的磁链； iL是通过线圈的电流。 当L为 设电感元件端电压和电流为关联参考方向，则有
(6-1)
uL
L
diL dt
第6章 一阶电路 上式表示了电感元件的伏安关系，电感电压是与电流的变
• 如果电流是直流，则电感元件两端的电压为零。 因此，
• 电感元件中的电流不能跃变。若电流有跃变，则电感元 件两端的电压为无穷大，显然这是不可能的。也就是说，电感
性或非磁性材料上的线圈组成。 电感元件的特性基于磁场现象。给线圈通过电流，若电流
随时间变化，则磁场也随时间变化。 磁场的变化就会在线圈两端产生感应电压。电感是用来表
示电感元件的电路参数，用L表示，单位为H(享利)，图形符号 如图6-1所示。电感L的定义为
L iL
第6章 一阶电路 图6-1 电感元件的符号
第6章 一阶电路
电路的接通或断开、电路的连接方式或电路参数的突然变 化、激励的突然变动等，这些都属于电路工作状态的改变，称 为换路。事实上，并不是所有的电路在换路时都产生暂态过程。 换路只是产生暂态过程的外因，还必须通过电路本身的内因才 能起作用。例如，当一个电阻与电源接通时，流过该电阻的电 流和其两端的电压都将在电源接通的瞬间达到新的稳态，并不 产生暂态过程。产生暂态过程的内因是电路中存在储能元件， 如电感元件和电容元件等。
u1
L1
di dt
，
u2
L2
di dt
，u3
L3
di dt
第6章 一阶电路
串联的总电压为
u
u1
u2
u3
(L1
L2
L3)
di dt
显然，电感串联的等效电感为
Leq=L1+L2+L3
(6-13)
如果原电感带有初始电流i(0)，则等效电感带
有相同的初始电流i(0)。串联电感的等效电路如图6-7(b)所示。
第6章 一阶电路
电路的工作状态有两种，一是前面几章介绍的电阻电路中 电压、电流都是恒定值，称这类工作状态为稳定状态，简称稳 态。当电路中含有储能元件时，并出现结构改变，如接通、断 开、短路、改接等，或者电源、电路参数突然改变时，常使电 路从一个稳定状态到达另一个稳定状态。由于电磁惯性，状态 的改变上一般并非立即完成，而需经历一段时间，这段时间发 生的过程称为暂态过程。这就是电路的另一个工作状态，即暂 态。动态电路分析的主要任务就是研究 动态电路中电压、电流的变化规律，即它们的稳态和暂态的整 个动态过程。