广东省名校2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析

广东省名校2019-2020学年高一下期末联考数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4
C ．125
-
D ．
125
【答案】A 【解析】 【分析】
根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a b
b
⋅，计算求得结果. 【详解】
向量a 在向量b 上的投影等于
12
43a b b
⋅-==-. 故选A. 【点睛】
本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 2．下列条件不能确定一个平面的是（ ） A ．两条相交直线 B ．两条平行直线
C ．直线与直线外一点
D ．共线的三点
【答案】D 【解析】 【分析】
根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】
解：对选项A ：经过两条相交直线有且只有一个平面，故A 错误． 对选项B ：经过两条平行直线有且只有一个平面，故B 错误． 对选项C ：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故C 错误． 对选项D ：过共线的三点，有无数个平面，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻，属于基础题． 3．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，
()22f =，令()2n
n a f =，()22
n n
n
f b =
则有( )
A ．{}n a 为等差数列
B ．{}n a 为等比数列
C ．{}n b 为等差数列
D ．{}n b 为等比数列
【答案】C 【解析】
令0a b ==,得到()00;1,f a b ===得到()10f =，
()()()()(),22,*f ab af b bf a f n N =+=∈.
()(
)()()(
)()11
1
1
1
222
222222112
2
2
2
2
n n n
n
n
n
n n n
n
n n n n f f f f f f b b b
++++++=
=
===+=+，,
说明{}n b 为等差数列，故C 正确，根据选项，排除A ，D. ∵()
(
)()()()1
1
1122
2222222
22n
n n
n
n
n n n n n a f a f f f f a ++++===+=+=+，.
显然{}n a 既不是等差也不是等比数列． 故选C.
4．已知两点()4,0P -,()3,2Q ,若直线2y kx =-与线段PQ 相交,则实数k 的取值范围是( ) A ．14,23⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．41,32⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ C ．41,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
D ．14,,23
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
找出直线2y kx =-与PQ 相交的两种临界情况，求斜率即可. 【详解】
因为直线2y kx =-恒过定点()0,2M -，根据题意，作图如下：
直线2y kx =-与线段PQ 相交的临界情况分别为直线MP 和直线MQ ， 已知12MP k =-
，4
3
MQ k =，由图可知： 当直线绕着点M 向y 轴旋转时，其斜率范围为：4
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
； 当直线与y 轴重合时，没有斜率；
当直线绕着点M 从y 轴至MP 旋转时，其斜率范围为：1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
综上所述：k ∈14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
， 故选：D. 【点睛】
本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.
5．如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】
试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，则三角形为直
角三角形，因为
，所以
，所以三角形
是直角三角形，易证，所以
面，即
，则三角形
为直角三角形，即共有
7个直角三角形；故选C ． 考点：空间中垂直关系的转化．
6．执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ）
A ．10
B ．34
C ．36
D ．154
【答案】B 【解析】
试题分析：第一次循环：2,2,2,q i p ===第二次循环：4,3,6,q i p ===第三次循环：
10,4,24,q i p ===第四次循环：34,5,120,q i p ===结束循环，输出34q =，选B.
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7．设集合{}2
2,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂=（ ）
A ．∅
B ．
C ．{}0
D ．{}2-
【答案】B 【解析】
试题分析：由已知得，{}21B =-，
，故{}2A B ⋂=，选B ． 考点：集合的运算．
8．将3sin 4y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若
()f m a =，则π3f m ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．a -
B ．3a --
C ．3a -+
D ．6a --
【答案】D 【解析】
因为()3sin[4()]33sin[4]3123f x x x ππ=+
-=+-，所以3sin[4]33
m a π
+-=，
因此3f m π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
53sin[
4]33sin[4]333633m m a a ππ--=-+-=---=--，选D. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
9．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）
A ．,A
B A B x x s s >> B ．,A B A B x x s s
C ．,A B A B x x s s ><
D ．,A B A B x x s s << 【答案】B 【解析】 【分析】
从图形中可以看出样本A 的数据均不大于10，而样本B 的数据均不小于10，A 中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】
∵样本A 的数据均不大于10， 而样本B 的数据均不小于10，
A B x x ∴<，
由图可知A 中数据波动程度较大， B 中数据较稳定，
A B s s ∴>.
故选B.
10．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){
}
|π1arctan 2,k
x x k k =+-∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】
利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解. 【详解】 由tan 2x =，
根据正切函数图像以及周期可知：
arctan 2x k π=+，
故选：C 【点睛】
本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题. 11．用数学归纳法证明不等式111131214
n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ） A ．增加了一项()
1
21k +
B ．增加了两项
1
21
k +，
()121k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项1
1k + D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项1
1
k +
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别写出n k =和1n k =+时，左边对应的式子，进而可得出结果. 【详解】
当n k =时，左边11112=
++⋅⋅⋅++++k k k k
， 当1n k =+时，左边111
(1)1(1)2(1)(1)
=
++⋅⋅⋅++++++++k k k k
()
11111
232121=
++⋅⋅⋅++++++++k k k k k k ， 所以，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了121k +，()121k +；减少了11
k +；
故选：D 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型. 12．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是
1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
试题分析：开机密码的可能有
，
，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C ．
【考点】古典概型
【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式
（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．
二、填空题：本题共4小题
13．已知2tan θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=_________. 【答案】4
5
【解析】 由题意可得：
22222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos tan tan 2
tan 14.5
θθθθθθθθθθ
θθθ+-+-=
++-=
+= 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
14．已知P 为直线:3120l x y +-=上一点，过P 作圆()2
2:21C x y -+=的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
【答案】3x =或4330x y --= 【解析】 【分析】
利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】
设切线长为L
，则L =
，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，
过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，
联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩
，点P 的坐标为()3,3.
①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为3x =，圆心C 到该直线的距离为1，合乎题意； ②若切线的斜率存在，设切线的方程为()33y k x -=-，即330kx y k -+-=.
1=
=，化简得340k -=，解得4
3
k =
， 此时，所求切线的方程为()4
333
y x -=
-，即4330x y --=. 综上所述，所求切线方程为3x =或4330x y --=， 故答案为3x =或4330x y --=． 【点睛】
本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问
题与解决问题的能力，属于中等题． 15．已知()cot csc f ααα=+，若角α的终边经过点()43P ,-，求()f α的值.
【答案】
13
【解析】 【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cot α和csc α的值，从而可得()f α的值. 【详解】
因为角α的终边经过点()43P ,-，所以
4cot =3α-=x y ， 5
csc 3
α===r y ，则451
()cot csc 333
=+=-+=f ααα.
故答案为：1
3
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即
2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解.
【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=
sin ==
A 因为2222+=+≥b c a bc bc
所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 4244
∆=
=≤=ABC S bc A 则ABC ∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且2
22n n n S a a +=+.
（1）求n a ； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）n T =2(2)
n
n +.
【解析】 【分析】
（1）利用n S 与n a 的关系可得11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式即可求解. （2）由（1）求出n b ，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】
解：（1）因为2
22n n n S a a +=+，①
所以当1n =时，2
11122a a a +=+，又0n a >，故12a =. 当2n ≥时，2
11122n n n S a a ---+=+，② ①-②得，22
112n n n n n a a a a a --=+--，
整理得()()1101n n n n a a a a --+--=. 因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，
所以{}n a 是以12a =为首项，以1为公差的等差数列. 所以2(1)1n a n =+-⋅，即1n a n =+. （2）由（1）及11n n n b a a +=得，1(1)(2)n b n n =++11
12
n n =-++，
所以12n n T b b b =++
+
11112334⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1112n n ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭ 1122n =
-+ 2(2)
n n =+. 【点睛】
本小题考查n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
18．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3
π的扇形，C 是扇形狐上的动点，点,A B 分别在半径,OP OQ 上，且OACB 是平行四边形，记COP α∠=，四边形OACB 的面积为S ，问当α取何值时，S 最大？S 的最大值是多少？
【答案】当6πα=
时，S 最大，最大值为36
【解析】
【分析】 设OA x =，OB y =，在OAC ∆中，由余弦定理，基本不等式可得13
xy ≤
，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：设,OA x OB y ==，
在OAC 中，由余弦定理得：221x y xy ++=， 由基本不等式，2213x y xy xy =++≥，可得13xy ≤
，当且仅当x y =时取等号， ∴33sin 6026
S xy xy ︒==≤x y =时取等号，此时6πα=， ∴当6π
α=时，S 最大，最大值为
36． 【点睛】
本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a R ∈）.
（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；
（2）若关于x 的不等式2
()3|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或}4x ≥；（2）41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】
【分析】
（1）先由4a =-，将不等式化为|2|2x -≥，直接求解，即可得出结果；
（2）先由题意得到2
|2||42|3x a x a ++-恒成立，根据含绝对值不等式的性质定理，得到|2||42||4|x a x a ++-+，从而可求出结果.
【详解】
（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，
所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥，
原不等式的解集为{|0x x ≤或}4x ≥.
（2）不等式2()3|2|f x a x --,即为2
|2||2|3|2|x a x a x ++---，
即关于x 的不等式2|2||42|3x a x a ++-恒成立. 而|2||42|
|4|x a x a ++-+，
所以2|4|3a a +， 解得243a a +或243a a +-， 解得413
a -或a ∈∅. 所以a 的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记不等式的解法，以及绝对值不等式的性质定理即可，属于常考题型.
20．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =，D ，E 分别为AB ，11A B 中点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）求证：四边形1CC ED 为平行四边形；
（Ⅲ）求证：平面1ABC ⊥平面1CC ED .
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）只需证明1CC AC ⊥，1CC BC C ⋂=，即可得AC ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）可得四边形1AA ED 为平行四边形，11DE AA CC ==，11////DE AA CC ，即可得四边形1CC ED 为平行四边形；
（Ⅲ）易得AD ⊥平面1CC ED ，即可得平面1ABC ⊥平面1CC ED .
【详解】
（Ⅰ）∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，
又AC BC =，AC BC ⊥，而1CC BC C ⋂=，
∴AC ⊥平面11BB C C .
（Ⅱ）∵D 、E 分别为AB 、11A B 的中点，
∴1AD A E =，1//AD A E ，即四边形1AA ED 为平行四边形，
∴11DE AA CC ==，11////DE AA CC ，
∴四边形1CC ED 为平行四边形.
（Ⅲ）∵AC BC =，D 为AB 中点，
∴AD CD ⊥，
又∵1AD CC ⊥，且1=CC CD C ，
∴AD ⊥平面1CC ED ，而AD ⊂平面1ABC ，
∴平面1ABC ⊥平面1CC ED .
【点睛】
本题考查了空间点、线、面位置关系，属于基础题.
21．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2A π∠=
，2π3B ∠=，6,AB =在AB 上取点E ，使得1BE =，连接,EC ED ，若23
CED π∠=，7CE = 。

（1）求sin BCE ∠ 的值；
（2）求CD 的长。

【答案】（121；（2）7CD =. 【解析】
试题分析：（1）在BEC ∆中，直接由正弦定理求出sin BCE ∠；（2）在Rt AED ∆中，2A π∠=
，5AE =，可求出27ED =CED ∆中，直接由余弦定理可求得CD .
试题解析：（1）在BEC ∆中，据正弦定理，有
sin sin BE CE BCE B =∠. ∵23
B π∠=，1BE =，7CE =， ∴•sin 21sin 147
BE B BCE CE ∠===. （2）由平面几何知识，可知DEA BCE ∠=∠，在Rt AED ∆中，∵2A π∠=，5AE =， ∴2357cos 1sin 128DEA DEA ∠=-∠=-=∴27cos 57
14
EA ED DEA ===∠在CED ∆中，据余弦定理，有
22212?•cos 7282727492CD CE DE CE DE CED ⎛⎫=+-∠=+--= ⎪⎝⎭
∴7CD =
点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
22．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S a =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11
n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】 (1)1
2n n a -=；(2) n T 11121n +=--.
【解析】
【分析】 （1）由1n n n a S S -=-即可求得通项公式；
（2）由（1）中所求的n a ，以及n S ，可得n b ，再用裂项求和求解前n 项和即可.
【详解】
（1）当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---
整理得12n n a a -=，即数列是以首项为111a S ==，公比为2的等比数列，
故12n n a -=
（2）由（1）得12n n a -=，122121n n n S -=⨯-=-， 故11n n n n a b S S ++==()()
1121121212121n n n n n ++=----- 故12n n T b b b =++
+ 11111111337
2121
n n +=-+-++--- 11121n +=-- 数列{}n b 的前n 项和n T 11121n +=-
-.
【点睛】
本题考查由n a和n S之间的关系求解数列的通项公式，以及用裂项求和求解前n项和，属数列综合基础题.。