多边形密铺的条件

多边形密铺的条件
一、问题的提出
叔叔在一家装修公司工作，今年暑假，我到叔叔的公司参观，正看见他们在讲如何铺地砖。

铺地砖的关键就是用形状、大小完全相同的一种或几种材料进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片。

面对这些几何图形密铺而成的美丽图形，我产生了极其浓厚的兴趣，那么多边形密铺的条件是什么呢？
二、分析与探索： 1、正多边形的密铺。

正多边形是生活中最常用和常见的几何图形。

我尝试将正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形进行密铺。

正三角形：
正方形：
正五边形：
正六边形：
正七边形：
正八边形：
90°
°
135° 135°
128.6°
（角度为近似值） 128.6° 128.6° 128.6° 128.6° 128.6°
2、一个正多边形能否密铺和什么因素有关？
3、其它正多边形能密铺吗？
正n 边形内角和为（n-2）×180°，
每个内角为（n-2）×180°÷n （n ≥3）设在每一个拼接点处，正好可以将m 个角彼此无重叠，
无缝隙地拼接在一起则（n-2）×180°÷n ×m ＝360°（m 、n 都是正整数，且n ≥3） 整理得（n-2）m ＝2n ，即mn-2n-2m ＝0，
两边都加4，得mn-2m-2n+4＝4，m （n-2）-2（n-2）＝4， （m-2）（n-2）＝4.因为m 、n 都是正整数，且n ≥3， 由此可知n-2是一个大于等于1的数，由n ≥3可知n-2≥1，故n-2只可能取1、2、4三个整数。

由此可知n 的取值仅有三种可能： 当n-2＝1时，n ＝3； 当n-2＝2时，n ＝4；
当n-2＝4时，n ＝6；
n 代表正多边形的边数，因此，在正多边形中，只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，其它正多边形都不能密铺。

3、非正多边形的密铺 A 、非正三角形的普通三角形
不多不少，在中间的拼接点处相同三角形的每个内角刚好用了两次，等于是两个三角形
135°
135°
135°
135° 135° 135°
的内角和，所以恰好凑成了一个周角。

因此用形状、大小完全相同的三角形，能够密铺。

B、普通的四边形
由于四边形的内角和是360°，恰好等于一个周角，因此，可以用四个完全相同的四边形拼出一个周角，注意，拼接点用的是四个不同的内角。

因此用形状、大小完全相同的四边形，能够密铺。

三、建立理论：
可以密铺的图形有两类：
1、正多边形中的正三角形、正四边形、正六边形可以密铺。

2、一般多边形中的三角形、四边形可以密铺；
四、感想
生活中的小事里常包含这许许多多的数学原理，我觉得自己应该多去发现和探究，这对将来自己寻找答案的能力会有所提高。

靠自己发现一个别人已经发现的定律是一种新的创新，而不仅仅是再做一遍，这培养的是我们自己探索的意志、精神与毅力。