浙江省桐乡市2013年中考数学一模试卷(解析版)

浙江省桐乡市2013年中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）（2013•桐乡市一模）在0，﹣2，，2中，最大的数是（）
A．0B．﹣2 C．D．2
考点：实数大小比较．3891921
分析：根据实数的大小比较法则（负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小）比较即可．
解答：解：∵﹣2＜0＜＜2，
∴最大的数是2，
故选D．
点评：本题考查了对实数的大小比较法则的应用，注意：实数的大小比较法则是：负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（4分）（2013•桐乡市一模）在下列图形中，一定是轴对称图形的是（）
A．扇形B．直角梯形C．平行四边形D．直角三角形
考点：轴对称图形．3891921
分析：根据轴对称图形的定义，结合选项给出图形的特点即可作出判断．
解答：解：A、扇形一定是轴对称图形，故本选项正确；
B、直角梯形不是轴对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项错误；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．（4分）（2013•桐乡市一模）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（）
A．x+2y=（x+y）+y B．p（q+h）=pq+ph
C．4a2﹣4a+1=4a（a﹣1）+1 D．5x2y﹣10xy2=5xy（x﹣2y）
考点：因式分解的意义．3891921
分析：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解即可．
解答：解：A、x+2y=（x+y）+y，是式子进行变形，不是因式分解，错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，错误；
D、符合因式分解的定义，正确；
故选D．
点评：本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整式积的形式．
4．（4分）（2013•桐乡市一模）“桐乡乌镇”在百度中的相关网页超过296万页，296万用科学记数法表示为（）
A．2.96×102B．0.296×103C．2.96×106D．0.296×107
考点：科学记数法—表示较大的数．3891921
分析：首先把296万化为2960000，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：296万=296 0000=2.96×106，
故选：C．
点评：此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）（2013•桐乡市一模）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母a的面相对的面内标注的字母为（）
A．b B．d C．e D．f
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．3891921
专题：几何图形问题．
分析：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
解答：解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与字母a相对的面上的字母是d．
故选B．
点评：本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
6．（4分）（2013•桐乡市一模）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）
A．1.70 m，1.65 m B．1.70 m，1.70 m C．1.65 m，1.70 m D．3人，4人
考点：众数；中位数．3891921
分析：根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：将数据从小到大排列为：1.50，1.60，1.60，1.65，1.65，1.65，1.65.1.70，1.70，1.70，
1.75，1.75，1.75，1.80，1.80，
众数为：1.65；
中位数为：1.70．
故选A．
点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候一定要将数据重新排列．
7．（4分）（2013•桐乡市一模）某汽车车轮直径是600mm，当车轮转动120°时，驾驶员沿水平方向平移了（）
A．600mm B．200 mm C．200π mm D．100π mm
考点：弧长的计算．3891921
分析：明确驾驶员水平方向水平移动的距离就是120°角的弧长，然后利用弧长公式计算．
解答：解：∵汽车车轮直径是600mm，
∴汽车车轮半径是300mm，
∵驾驶员水平方向水平移动的距离就是120°角所对的弧长，
∴平移的距离==200π（mm）．
故选C．
点评：本题考查了弧长的计算．弧长的公式是l=，其中，n是圆心角，r是半径．
8．（4分）（2013•桐乡市一模）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）
A．B．C．5D．4
考点：动点问题的函数图象．
分析：连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．
解答：解：如图，连接AC交BD于O，
由图②可知，BC=CD=4，BD=14﹣8=6，
∴BO=BD=×6=3，
在Rt△BOC中，CO===，
AC=2CO=2，
所以，菱形的面积=AC•BD=×2×6=6，
当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，
所以，b=×6=3．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线BD的长是解题的关键．
9．（4分）（2013•桐乡市一模）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，若AB=7，AC=11，则FC的长为（）
A．7B．8C．9D．10
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．.
分析：设点N是AC的中点，连接EN，构造△ABC的中位线．根据三角形的中位线定理，得EN∥AB，EN=AB；
根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得FN=EN，从而求解．
解答：解：如图，设点N是AC的中点，连接EN，则EN∥AB，EN=AB，
∴∠CNE=∠BAC．
∵EF∥AD，
∴∠DAC=∠EFN．
∵AD是∠BAC的平分线，∠CNE=∠EFN+∠FEN，
∴∠EFN=∠FEN．
∴FN=EN=AB，
∴FC=FN+NC=AB+AC=9．
故选C．
点评：本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，难度适中．通过构造△ABC的中位线，结合平行线的性质和等腰三角形的判定得出FN=EN=AB，是解题的关键．
10．（4分）（2013•桐乡市一模）将一组数，2，，，，…，按下面的方法进行排列：
若的位置记为（2，3），的位置记为（3，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（16，1）B．（16，2）C．（17，1）D．（17，2）
考点：规律型：数字的变化类．.
分析：根据规律发现，被开方数是从2开始的偶数列，最后一个数的被开方数是204，所以最大的有理数是被开方数是196的数，然后求出196在这列数的序号，又6个数一组，求出是第几组第几个数，即可确定它的位置．
解答：解：∵2=，
∴这列数中最大的数是=14，
设196是这列数中的第n个数，则
2n=196，
解得n=98，
观察发现，每6个数一行，即6个数一循环，
∴98÷6=16…2，
∴是第17组的第2个数．
最大的有理数n的位置记为（17，2）．
故选D．
点评：本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力，本题的关键是求出最大的有理数的序号，并6个数作为一个循环组．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2013•桐乡市一模）如图，在正方形OABC中，已知A（﹣2，0），C（0，2），将正方形OABC 向右平移3个单位长度，得到正方形O′A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（1，2）．
考点：坐标与图形变化-平移．.
分析：先根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据向右平移，横坐标相加，纵坐标不变解答．
解答：解：∵在正方形OABC中，已知A（﹣2，0），C（0，2），
∴B（﹣2，2），
将正方形OABC向右平移3个单位长度，得到正方形O′A′B′C′，
则点B的对应点B′的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评：本题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
12．（5分）（2013•桐乡市一模）化简的结果是．
考点：分式的混合运算．.
专题：探究型．
分析：根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
解答：解：原式=•
=•
=．
故答案为：．
点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13．（5分）（2013•桐乡市一模）如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于点A、B，点C在⊙O2上，已知∠AO1B=92°，则∠ACB等于46 °．
考点：相交两圆的性质．.
分析：根据等圆的性质以及圆心角定理，得出∠AO1B=∠AO2B=92°，再利用圆周角定理得出答案．
解答：解：连接AO2，BO2，
∵两个等圆⊙O1和⊙O2相交于点A、B，点C在⊙O2上，
∴=，
∴∠AO1B=∠AO2B=92°，
∴∠ACB等于46°．
故答案为：46．
点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及圆周角定理和圆心角定理，根据已知得出∠AO1B=∠AO2B=92°是解题关键．
14．（5分）（2013•桐乡市一模）一个袋子中放有红球、白球和黄球，其中黄球有5个．如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么这个袋子中一共有20 个球．
考点：概率公式．.
分析：根据黄球概率为0.25，以及求黄球的概率公式，黄球个数除以小球总个数，即可得出小球总个数．解答：解：假设袋中共有小球x个，
∵从袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，
∴黄球个数除以总数等于黄球的概率0.25，
∴=0.25，
解得：x=20．
故答案为：20．
点评：此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，熟练应用此知识点是解题关键．
15．（5分）（2011•牡丹江）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为6或2或4．
考点：等腰三角形的性质；勾股定理．.
专题：计算题．
分析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．
解答：解：①如图1
当AB=AC=5，AD=4，
则BD=CD=3，
∴底边长为6；
②如图2．
当AB=AC=5，CD=4时，
则AD=3，
∴BD=2，
∴BC==2，
∴此时底边长为2；
③如图3：
当AB=AC=5，CD=4时，
则AD==3，
∴BD=8，
∴BC=4，
∴此时底边长为4．
故答案为：6或2或4．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
16．（5分）（2013•桐乡市一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标为（2，﹣3），将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象（即图中的实线型图象）．若|ax2+bx+c|=k （k≠0）时，对应的x的值是两个不相等的实数，则常数k的取值范围是k＞3 ．
考点：二次函数图象与几何变换．.
分析：首先得出新的函数图象的顶点坐标，再结合图象即可得出k的取值范围．
解答：解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点坐标为（2，3），
∵|ax2+bx+c|=y的图象是x轴上方部分，
∴|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根时，
只有k＞3时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴k＞3．
故答案为：k＞3．
点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2﹣4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）（2013•桐乡市一模）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.
分析：首先计算乘方，然后进行加减运算即可求解
解答：解：原式=9+1﹣9
=1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、等考点的运算．
18．（8分）（2012•苏州）解不等式组．
考点：解一元一次不等式组．.
分析：首先分别解出两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可．
解答：
解：，
由不等式①得，x＜2，
由不等式②得，x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确求出两个不等式的解集．
19．（8分）（2013•桐乡市一模）定义：如图，若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线（k＞0）的对径．
（1）求双曲线的对径；
（2）若某双曲线（k＞0）的对径是．求k的值．
考点：反比例函数的性质．.
分析：过A点作AC⊥x轴于C．
（1）先解方程组，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），即OC=AC=1，则△OAC 为等腰直角三角形，得到OA=OC=，则AB=2OA=2，于是得到双曲线y=的对径；
（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10即AB=10，OA=5，根据
OA=OC=AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）即可得到k的值．
解答：解：过A点作AC⊥x轴于C，如图．
（1）解方程组，得，，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），
∴OC=AC=1，
∴OA=OC=，
∴AB=2OA=2，
∴双曲线y=的对径是2；
（2）∵双曲线的对径为10即AB=10，OA=5，
∴OA=OC=AC，
∴OC=AC=5，
∴点A坐标为（5，5），
把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值为25．
点评：本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．
20．（8分）（2013•桐乡市一模）根据省统计局发布的全省国民经济和社会发展统计公报相关数据，小明将我省2012年社会消费品销售额按城乡划分绘制成统计图①（信息不完整），2011年与2012年社会消费品销售额按行业划分绘制成条形统计图②．请回答下列问题：
（1）图①中乡村消费品销售额为21.6 百亿元；
（2）2011年到2012年间，图②的各行业中销售额增长率最高的行业是批发业；
（3）2013年与2012年相比，若批发业与住宿餐饮业的销售额之和能增长10%，则零售业要增长百分之多少，才能使全省2013年的社会消费品销售额增长12%？
考点：条形统计图；扇形统计图．.
专题：计算题．
分析：（1）根据条形统计图求出2012年社会消费品销售额，乘以乡村消费品销售额占的百分比即可得到结果；
（2）求出批发业，零售业以及住宿餐饮业的增长率，即可作出判断；
（3）设零售业要增长百分之x，才能使全省2013年的社会消费品销售额增长12%，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
解答：解：（1）根据题意得：（21+100+14）×（1﹣84%）=21.6（百亿元），
则图①中乡村消费品销售额为21.6百亿元，
（2）根据题意得：批发业增长率为=，零售业增长率为=，
住宿餐饮业的增长率=，
∵＞＞，
∴增长率最大的行业为批发业，
（3）设零售业要增长x，才能使全省2013年的社会消费品销售额增长12%，
根据题意列出方程得：100（1+x%）+（21+14）（1+10%）=（21+100+14）（1+12%），
解得：x=12.7%，
则零售业要增长12.7%，才能使全省2013年的社会消费品销售额增长12%．
故答案为：21.6；批发业．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及一元一次方程解应用题，弄清题意是解本题的关键．
21．（10分）（2012•苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为11.0 米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.
分析：（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF 的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．
解答：解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=BD=15，
DF=15，
故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，
PA=AD•cos30°=×30=15．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，
在Rt△DMH中，
HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．
GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6米．
点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．
22．（12分）（2013•桐乡市一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，圆心M在x轴的负半轴上，过点C的圆的切线与线段DB的延长线相交于点P．已知：点C的坐标是（0，），tan∠BAC=．
（1）求证：△PCB∽△PDC；
（2）求线段PC的长．
考点：圆的综合题．.
分析：（1）利用切线的性质得出∠MCB+∠PCB=90°，进而利用MC=MB，得出∠MCB=∠OBC，以及∠PCB=∠PDC 即可得出；
（2）首先证明△AOC∽△COB，进而得出，进而得出OB，BD的长，由△PCB∽△PDC得出，即可得出PC的长．
解答：解：（1）连结MC，
∵圆心M在x轴的负半轴上，∴AB⊥CD于点O，
∴，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC与⊙M相切于点C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；
（2）∵点C的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∴，
∴，
设PC=x，
由△PCB∽△PDC得：
，
即=，
解得：PC=x=5．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法得出△AOC∽△COB是解题关键．
23．（12分）（2013•桐乡市一模）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=50°．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
（1）如图1，当θ=20°时，∠BOE=130 度；
（2）当△ABC旋转到如图2所在位置时，求∠BOE的度数，并说明理由；
（3）如图3，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使，，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△A DE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图3探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
考点：几何变换综合题．.
分析：（1））根据全等三角形性质得出AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，求出
∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=65°，∠ABD=∠ADB=80°，∠AEC=∠ACE=80°，根据三角形内角和定理求出∠EDO=35°，求出∠DEC=15°，根据三角形内角和定理求出∠DOE即可；
（2）当旋转到如图2所在位置时，证△ABD≌△ACE，推出∠AEC=∠ADB，设AD与CE相交于点F，则∠OFD=∠EFA，求出∠EOD=∠EAD=50°即可求出∠BOE=130°；
（3）证相似得出∠ABD=∠ACE，推出∠BOE=180°﹣（∠ABC+∠ACB），图4，求出∠BOC=50°，即可求出答案．
解答：解：（1）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，
∴∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=（180°﹣50°）=65°，
∵AB=AD，∠DAB=θ=20°，
∴∠ABD=∠ADB=（180°﹣20°）=80°，
同理∠AEC=∠ACE=80°，
∴∠EDO=180°﹣65°﹣80°=35°，∠DEC=80°﹣65°=15°，∴∠DOE=180°﹣35°﹣15°=130°，
（2）当旋转到如图2所在位置时，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
设AD与CE相交于点F，则∠OFD=∠EFA，
∴∠EOD=∠EAD=50°，
∴∠BOE=130°；
（3）50°或130°，如图
理由是：如图3，
∵，，
∴==，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACB+∠ABC=180°﹣∠BAC=180°﹣50°=130°，
∴∠BOE=180°﹣（∠OBC+∠BCA+∠ACE=180°﹣（∠ABD+∠OBC+∠BCA）=180°﹣130°=50°；
如图4，∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣130°=50°，
∴∠BOE=180°﹣50°=130°．
故∠BOE的度数为50°或130°．
故答案为：130°．
点评：本题考查了相似三角形性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．
24．（14分）（2013•桐乡市一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．连结MN，设MC=m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）用含m的代数式表示△PMN的面积S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围．
考点：二次函数综合题．.
专题：综合题．
分析：（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线解析式，可得出a、b、c的值，继而得出抛物线解析式；
（2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，先求出直线BC解析式，确定点P 的坐标，在Rt△PME中表示出PM，证明△MPE∽△NPF，利用对应边成比例得出PN的表达式，继而可得出S关于m的表达式，再由m的取值范围，可得出S的最大值；
（3）找到两个极值点，①点D在x轴上，此时很容易得出m=1；②点D在抛物线上，作DG⊥x轴于点G，证明△MPE≌△DNG，得出DG=ME=1﹣m，NG=PE=1，由（2），得出NF=2ME=2﹣2m，则可得到OG=1﹣ON=NF=2﹣2m，得出点D的坐标，代入抛物线解析式得出m的值，综合起来可得出m的取值范围．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，
易得抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴P（1，﹣2），
∴E（0，﹣2），ME=|m﹣1|，
∴，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴，
∴PN=2PM，
∴，
∵0≤m≤3，
∴当m=3时，S有最大值，最大值是5；
（3）①当点D在x轴上时，点D、M显然分别与点O、E重合，
此时，m=1；
②当点D在抛物线上时（如图2），作DG⊥x轴于点G，
∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
∴∠DNG=∠NPF，
∴∠MPE=∠DNG，
在△MPE和△DNG中，
，
∴△MPE≌△DNG（AAS），
∴DG=ME=1﹣m，NG=PE=1，
由（2）得：，故NF=2ME=2﹣2m，
∴OG=1﹣ON=NF=2﹣2m，
∴D（2m﹣2，m﹣1），
代入抛物线解析式得：m﹣1=（2m﹣2）2﹣2（2m﹣2）﹣3，
整理得：4m2﹣13m+6=0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴时，点D恰好在抛物线上，
∴当时，此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内．
点评：本题是二次函数的综合题型，涉及了待定系数法求二次函数解析式、动点问题、根据边界点确定动取值范围，解答本题需要一定的耐心及对基础知识的熟练掌握，同学们要注意培养自己解答综合题的能力，做到将所学知识点融会贯通．。