八校2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

八校2018-2019学年高一数学下学期期中联考
试题（含解析）
一、选择题.
1.的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得的值．
【详解】若，则，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．
【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角
也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．
4.已知向量，若，则锐角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵，∥，
∴，
又为锐角，
∴。

选C。

5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以，化为关于的式子，代入即可求解。

【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得
分子分母同时除以，得
因为
代入可求得
所以选D
【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。

6.对于非零向量，下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的夹角为锐角
【答案】C
【解析】
【分析】
选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；
选项B:根据公式可以进行判断；
选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个进行判断；
选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.
【详解】解：A：若，则，故A错误；
B：若，则，故B错误；
C：非零向量，，故C正确；
D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
7.若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 正三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用，两边平方可得，进而判断出是钝角．
【详解】解：两边平方可得：，化为，，．
为钝角．这个三角形是钝角三角形．故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的平方关系和同角的正弦、余弦值的正负性，属于基础题．
8.已知向量、满足，则一定共线的三点是（）
A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、、
【答案】A
【解析】
分析：由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.
详解：由向量的加法法则可得
，
所以，与共线，又两线段过同点，
故三点一定共线，故选A.
点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.
9.若、是锐角的两个内角，则有（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．
【详解】解：、是锐角的两个内角，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质、三角函数的单调性是解决本题的关键．
10.同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对
称；③在上是增函数．”的一个函数为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
采用排除法.
根据性质: ①:最小正周期为 , 排除选项A和B; 对于选项C, 当时, ,不是最值,所以排除选项C,故选D.
11.已知函数的一部分图象如图所示，如果，
，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函
数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．
【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得函数的周期为，即
当时取最大值，即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．
12.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得①由得
②，由①②可求得，则
，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数恒等变换.
【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为
，所以只要求得即可，而余弦
恒等变换中刚好有这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得
，进而求得.
二、填空题。

13.若的最小正周期为，则的最小正周期为______．
【答案】
【解析】
试题分析：本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三角函数的最小正周期可知，所以函数的最小正周期为.
考点：三角函数的周期.
14.已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．
【答案】
【解析】
由题意结合平面向量数量积的运算法则有：
，
据此可得，在方向上的投影等于.
15.已知，，且，，则______．【答案】
【解析】
试题分析：由，得，所以
，
从而
，
故答案为：
考点：三角恒等变形公式．
16.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，
（为钝角）．若，则的值为______．【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以
，因为，所以
考点：同角三角函数关系，向量数量积
三、解答题。

17.设是两个相互垂直的单位向量，且
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；
（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．
【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，
，
当时，；
（Ⅱ）若，则，
因为是两个相互垂直的单位向量，
当时，.
【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数
量积公式的应用．
18.计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；（2）1．
【解析】
（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π–）+cos （π–）
=cos+cos–cos–cos=0；
（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°–30°）+sin（–
2×360°+30°）•cos（–2×360°+60°）
=sin60°cos30°+sin30°cos60°
=×+×=1．
19.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为．
（1）求和值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）.. (2)。

【解析】
分析：（1）函数的图象的最高点的坐标为，可得，依题意得的周期为从而可得；（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出.
详解：（1）∵函数的图象的最高点的坐标为，，
依题意，得的周期为
（2）由（2）得
∵，且，
点睛：三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
20.已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可；
（2）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解．
详解】解：（1）
，
由得，
即函数的单调递增区间为，
（2）将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，
得到，再将所得的图象向右平移个单位的图象
即，
由得，得，
得或，
得或，
，
时，或，
即方程在区间上所有根之和为．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．
21.如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．
（1）若，求、的值；
（2）求值；
（3）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据向量的运算有，可知
，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向量的数量积及便可求得；
（3）由前面的求解可得及，可利用求得向量夹角的余弦值．
试题解析：（1）因为，
所以即.
（2）由向量的运算法则知，
,
所以.
(3) 因为与的夹角为，所以与的夹角为,
又,所以
.
.
设与的夹角为，可得
.
所以与的夹角的余弦值为.
考点：向量的运算．
【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿
单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．
22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．
（1）试将污水净化管道长度表示为的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度；
（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】(1)，．(2) 米 (3)或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
【解析】
【分析】
根据直角三角形表示，，，即得结果，根据同角三角函数关系求得，即得结果，利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.
详解】解：，，．
由于，，
所以，所以．所以，．
当时，，
米．
，设，则，
所以．由于，所以．
由于在上单调递减，
所以当，即或时，L取得最大值米
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
【点睛】本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
八校2018-2019学年高一数学下学期期中联考
试题（含解析）
一、选择题.
1.的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：，故选：C．
【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得的值．【详解】若，则，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径
是，利用弧长公式求弧长即可．
【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半
弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．
4.已知向量，若，则锐角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵，∥，
∴，
又为锐角，
∴。

选C。

5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以，化为关于的式子，代入即可求解。

【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得
分子分母同时除以，得
因为
代入可求得
所以选D
【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。

6.对于非零向量，下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的夹角为锐角
【答案】C
【解析】
【分析】
选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；
选项B:根据公式可以进行判断；
选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个进行判断；
选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.
【详解】解：A：若，则，故A错误；
B：若，则，故B错误；
C：非零向量，，故C正确；
D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
7.若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 正三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用，两边平方可得，进而判断出是钝角．
【详解】解：两边平方可得：，
化为，，．
为钝角．这个三角形是钝角三角形．故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的平方关系和同角的正弦、余弦值的正负性，属于基础题．
8.已知向量、满足，则一定共线的三点是（）
A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、、
【答案】A
【解析】
分析：由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.
详解：由向量的加法法则可得
，
所以，与共线，又两线段过同点，
故三点一定共线，故选A.
点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.
9.若、是锐角的两个内角，则有（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．
【详解】解：、是锐角的两个内角，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质、三角函数的单调性是解决本题的关键．
10.同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
采用排除法.
根据性质: ①:最小正周期为 , 排除选项A和B; 对于选项C, 当时,
,不是最值,所以排除选项C,故选D.
11.已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．
【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得
函数的周期为，即
当时取最大值，即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．
12.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得①由得
②，由①②可求得，则
，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数恒等变换.
【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得即可，而余弦恒等变换中刚好有这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得
，进而求得.
二、填空题。

13.若的最小正周期为，则的最小正周期为______．【答案】
【解析】
试题分析：本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三
角函数的最小正周期可知，所以函数的最小正周期为.考点：三角函数的周期.
14.已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．
【答案】
【解析】
由题意结合平面向量数量积的运算法则有：
，
据此可得，在方向上的投影等于.
15.已知，，且，，则______．
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，所以，
从而
，
故答案为：
考点：三角恒等变形公式．
16.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若
，则的值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以
，因为，所以
考点：同角三角函数关系，向量数量积
三、解答题。

17.设是两个相互垂直的单位向量，且
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；
（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．
【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，
，
当时，；
（Ⅱ）若，则，
因为是两个相互垂直的单位向量，
当时，.
【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
18.计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；（2）1．
【解析】
（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π–）+cos（π–）
=cos+cos–cos–cos=0；
（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°–30°）+sin（–2×360°+30°）•cos（–2×360°+60°）=sin60°cos30°+sin30°cos60°
=×+×=1．
19.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为．
（1）求和值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）.. (2)。

【解析】
分析：（1）函数的图象的最高点的坐标为，可得，依题意得的周期为
从而可得；（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出.
详解：（1）∵函数的图象的最高点的坐标为，，
依题意，得的周期为
（2）由（2）得
∵，且，
点睛：三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
20.已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可；
（2）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解．
详解】解：（1）
，
由得，
即函数的单调递增区间为，
（2）将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，
得到，再将所得的图象向右平移个单位的图象
即，
由得，得，
得或，
得或，
，
时，或，
即方程在区间上所有根之和为．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．
21.如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．
（1）若，求、的值；
（2）求值；
（3）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据向量的运算有，可知，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向量的数量积及便可
求得；（3）由前面的求解可得及，可利用求得向量夹角的余弦值．
试题解析：（1）因为，
所以即.
（2）由向量的运算法则知，
,
所以.
(3) 因为与的夹角为，所以与的夹角为,
又,所以
.
.
设与的夹角为，可得
.
所以与的夹角的余弦值为.
考点：向量的运算．
【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．
22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道
（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．
（1）试将污水净化管道长度表示为的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度；
（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】(1)，．(2) 米 (3)或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
【解析】
【分析】
根据直角三角形表示，，，即得结果，根据同角三角函数关系求得，即得结果，利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.
详解】解：，，．
由于，，
所以，所以．所以，．当时，，
米．
，设，则，
所以．由于，所以．
由于在上单调递减，
所以当，即或时，L取得最大值米
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
【点睛】本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.。