高二数学参数和普通方程互化试题

高二数学参数和普通方程互化试题
1.（12分）已知点的坐标分别为,直线相交于点，且它们的斜率之积是
，试讨论点的轨迹是什么。

【答案】（1）当时，的轨迹是圆；
（2）当时，的轨迹是椭圆；
（3）当时,的轨迹是双曲线
【解析】设的坐标为，
由直线的斜率之积是，得：，…6分
所以当时，方程变为，为圆；…8分
当时，的轨迹是椭圆；…10分
当时,的轨迹是双曲线. …12分
【考点】本小题主要考查了直接法求轨迹方程，并根据参数的范围判断轨迹是什么图形.
点评：掌握好圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的标准方程的特点，是解决此类问题的关键.
2.己知关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是
A．－3＜m＜0B．m＜－3或m＞0
C．0＜m＜3D．m＜0 或 m＞3
【答案】A
【解析】解：由题意x
1x
2
＜0，x
1
+x
2
＜0，△＞0，由根与系数的关系x
1
x
2
=，x
1
+x
2
=，
因此可知参数的范围选A
3.下列在曲线上的点是
....
【答案】B
【解析】解：因为，那么代入可知满足题意的点只有选B
4.．已知抛物线（t为参数）焦点为F，则抛物线上的点M（2，m）到F的距离|MF|为
（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：因为抛物线（t为参数）焦点为F，则抛物线上的点M（2，m）到F 的距离|MF|=2-（-1）=3，选C
5.在平面直角坐标系中，曲线C
1
的参数方程为，
（为参数)，曲线C
2
的参数方程为（，为参数），在以O为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C
1，C
2
各有一个交点．当时，
这两个交点间的距离为，当时，这两个交点重合．
（1）分别说明C
1，C
2
是什么曲线，并求出a与b的值；
（2）设当时，l与C
1，C
2
的交点分别为A
1
，B
1
，当时，l与C
1
，C
2
的交点
分别为A
2，B
2
，求四边形A
1
A
2
B
2
B
1
的面积．
【答案】(1)a＝3. b＝1. (2)四边形A
1A
2
B
2
B
1
的面积为＝.
【解析】（1）利用极坐标和参数方程的求解曲线方程；（2）求出联立方程求出四边形的坐标，然后利用面积公式求解即可
(1)C
1是圆，C
2
是椭圆．……………………2分
因为α＝0，射线l与C
1，C
2
交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，
因为这两点间的距离为2，所以a＝3. …………4分
因为α＝，射线l与C
1，C
2
交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝
1.……………6分
(2)C
1，C
2
的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1. ……8分
因为α＝，射线l与C
1交点A
1
的横坐标为x＝，与C
2
交点B
1
的横坐标为x′＝ (10)
分
因为α＝－，射线l与C
1，C
2
的两个交点A
2
，B
2
分别与A
1
，B
1
关于x轴对称，射线l与C
1
交
点A
1的横坐标为x＝，与C
2
交点B
1
的横坐标为x′＝因此四边形A
1
A
2
B
2
B
1
为梯
形．……12分
故四边形A
1A
2
B
2
B
1
的面积为＝.
6.（本题满分14分）如图，椭圆的顶点为焦点为
S
□ = 2S
□
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线过(1,1),且与椭圆相交于两点，当是的中点时，求直线的方程．(Ⅲ)设为过原点的直线，是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点的直线，,是否存在上述直线使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理
由.
【答案】解：（Ⅰ）依题意有…………1分
又由S
□ = 2S
□
.有，…………2分
解得，…… 3分，故椭圆C的方程为.………4分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，则，，两式相减得：．
∵是的中点，∴可得直线的斜率为，…………7分
当直线的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得，，
这时的中点为，∴x=1不符合题设要求．…………8分
综上，直线的方程为…………9分
（Ⅲ）设两点的坐标分别为，假设满足题设的直线存在，
（i）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，
即，…………10分
又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB, ∴.
将代入椭圆方程，得，
由求根公式可得，④
. ⑤
，
将④，⑤代入上式并化简得
，⑥
将代入⑥并化简得，矛盾.
即此时直线不存在. …………12分
（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，
当时，的坐标分别为，
，，
当时，同理可得
即此时直线也不存在. …………13分
综上可知，使以AB为直径的圆过原点的直线不存在. …………14分
【解析】略
7. .给出下列四个命题：
（1）方程表示的是圆；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）点M与点F(0,-2)的距离比它到直线的距离小1的
轨迹方程是
（4）若双曲线的离心率为e，且，则k的取值范围是
其中正确命题的序号是__________
【答案】（1）（3）（4）
【解析】略
8.(12分)已知两点满足条件的动点P的轨迹是曲线，
与曲线交于、两点.
（1）求k的取值范围；
（2）如果求直线l的方程.
【答案】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，
曲线是以为焦点的双曲线的右支，
且，易知.
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线右支交于两点，则
解得.
即k的取值范围是
（Ⅱ）∵
依题意得，
整理后得，解得或
又 , ∴
故直线的方程为.
【解析】略
9.．动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）
①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆
A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】C
【解析】设，依题意可得，即。

当时，动点的轨迹为，为直线，①可能；当时，动点的轨迹为，为椭圆，②可能；当，动点
的轨迹为，为双曲线，③可能；当时，动点的轨迹为，此时为圆，⑤可能。

综上可得，选C
10.对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为____________.
【答案】③④
【解析】略。