可逆过程与可逆过程体积功的计算
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V2
V2 Wr nRT ln V1
p2 Wr nRT ln p1
3
例18: 始态 T1 =300 K ，p1 = 150 kPa 的 2 mol某 理想气体，经过下述三种不同途径恒温膨胀到同 样的末态， p2 = 50 kPa 。求各途径的体积功。 a. 反抗 50kPa 的恒外压一次膨胀到末态。 b.先反抗100 kPa 的恒外压膨胀到平衡，再
(1)恒温可逆膨胀到50kPa (2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡 (3)绝热可逆膨胀到50kPa (4)绝热反抗50kPa恒外压膨胀至平衡。
14
(1)dT=0,可逆
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体 dT 0
dT=0,可逆
n=1mol pg, T2= 350K p2 = 50 kPa
U 0
H 0
p2 Wr nRTln 4.034kJ p1
U Q W
Q W 4.034kJ
15
(2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体 dT 0 U 0
反抗50kPa 恒外压膨胀到末态。
c.恒温可逆膨胀到末态
4
始末态相同，途径不同，功不同 解: a. 反抗 50kPa 的恒外压一次膨胀到末态。
W
V2 V1
p外dV = - p外 (V2 V1) = - 3.326 kJ
b.先反抗100 kPa 的恒外压膨胀到中间平衡态，再反抗 50kPa 恒外压膨胀到末态。 W= W1 + W2 = - 4.158 kJ c.恒温可逆膨胀到末态
1
1
p1V1 p2V2
12
绝热可逆过程体积功的计算
方法一：
nRT p0V0 dd V Wr pdV V V V1 1 V V V2 1 p V p0V0 dV 0 0 ( V21 V11 ) V1 V 1
V2 2
方法二:
10
4. 理想气体绝热可逆过程
绝热可逆过程 Qr=0： dU δQr δWr
dFra Baidu bibliotek δWr
nCV ,mdT pdV
nRT nCV ,mdT dV V dT R 即 : CV ,m dV T V
即 : CV ,mdlnT RdlnV
CV,m为定值，与温度无关：
T2 V2 CV ,m ln Rln T1 V1
11
V2 T2 T1 V 1
定义： C p ,m CV ,m
R / CV ,m
V2 T2 T1 V 1
1
理想气体 绝热可逆过程 的过程方程
T2 p2 T1 p1
由绝热可逆过程方程求出终态温度T2，再求体积功.
ΔU n CV ,mdT n CV ,m (T2 T1 )
T1
T2
U Q W
Wr ΔU
Q0
13
例19： 某双原子理想气体1mol从始态350K，200kPa 经过如下四个不同过程达到各自的平衡态， 求各过程的Q，W，U及H。
一粒粒取走砂粒
V1
p1 T
-dp
p2 V2
T
8
恒温压缩过程环境所做的功在 p-V 图中的表示
恒外压压缩过程
{p}
p2
W ＝ － p外V＝ － p终(V终－V始 )
定T
{p} p2
恒外压压缩过程
W ＝W1+W2
定T
1
p1
定T 1 2 3 2
定T
V始
V终
{V}
V始
V终
{V}
系统对环境做功,可逆过程做最大功(-W)
7
恒温可逆膨胀途径所做的功在 p-V 图中的表示
p2
p1
p2 5.48kJ Wr nRTln p1
5
途径a、b、c所做的功在 p-V 图中的表示
一次反抗恒外压膨胀过程 {p} p始 －W ＝p外V＝p终(V终－V始) {p} p始
二次反抗恒外压膨胀过程
－W ＝ －(W1+W2)
定T
定T
p终 V始 V终 {V}
p终 1 2
V始
V终
{V}
6
{p su} {p } p始 －W ＝-( W 1＋ W 2＋ W 3) ＝ (p2V1＋p3V2＋p终V3) －W ＝ -(W 1＋ W 2＋ W 3+…..) p始
p1 V2 {p} p2 V1 {V}
2
V2 V1 {V}
W ＝ W 1＋ W 2＋ W 3
{p }
p2
W ＝ W 1＋ W 2＋ W 3+…..
定T
定T p1 1 2 V2 3 V1 {V} V2 p1 2
V1
{V}
环境对系统做功,可逆过程做最小功(W)
9
总结，可逆过程的特点： (1) 推动力无限小，系统内部及系统和环境间都无限接近平衡， 进行得无限慢， (2)过程结束后，系统若沿原途径逆向进行恢复到始态，则环境 也同时复原。 (3) 可逆过程系统对环境做最大功, 环境对系统做最小功。
δW p环dV
对可逆过程：
δWr p环dV p系 dpdV
p系dV dp dV
p系dV
Wr p系dV
V1 V2
Wr p dV
V1
V2
2
3 理想气体恒温可逆过程
nRT V2 dV nRT ln W r pd V V1 V V1
状态1←←←← →→→→状态2
系统复原,环境复原 系统内部及系统与环境间在一系列无限接近平衡条件 下进行的过程称为可逆过程。
状态1
状态2
系统复原,环境不可能复原 对于不可逆过程，无论采取何种措施使系统恢复原状 时，都不可能使环境也恢复原状. 自然界发生的任何变化都是不可逆过程。
1
2 可逆过程体积功的计算公式
V2 Wr nRT ln V1
p2 Wr nRT ln p1
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例18: 始态 T1 =300 K ，p1 = 150 kPa 的 2 mol某 理想气体，经过下述三种不同途径恒温膨胀到同 样的末态， p2 = 50 kPa 。求各途径的体积功。 a. 反抗 50kPa 的恒外压一次膨胀到末态。 b.先反抗100 kPa 的恒外压膨胀到平衡，再
(1)恒温可逆膨胀到50kPa (2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡 (3)绝热可逆膨胀到50kPa (4)绝热反抗50kPa恒外压膨胀至平衡。
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(1)dT=0,可逆
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体 dT 0
dT=0,可逆
n=1mol pg, T2= 350K p2 = 50 kPa
U 0
H 0
p2 Wr nRTln 4.034kJ p1
U Q W
Q W 4.034kJ
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(2)恒温反抗50kPa恒外压膨胀至平衡
n=1mol pg, T1=350K p1 = 200 kPa
是理想气体 dT 0 U 0
反抗50kPa 恒外压膨胀到末态。
c.恒温可逆膨胀到末态
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始末态相同，途径不同，功不同 解: a. 反抗 50kPa 的恒外压一次膨胀到末态。
W
V2 V1
p外dV = - p外 (V2 V1) = - 3.326 kJ
b.先反抗100 kPa 的恒外压膨胀到中间平衡态，再反抗 50kPa 恒外压膨胀到末态。 W= W1 + W2 = - 4.158 kJ c.恒温可逆膨胀到末态
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p1V1 p2V2
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绝热可逆过程体积功的计算
方法一：
nRT p0V0 dd V Wr pdV V V V1 1 V V V2 1 p V p0V0 dV 0 0 ( V21 V11 ) V1 V 1
V2 2
方法二:
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4. 理想气体绝热可逆过程
绝热可逆过程 Qr=0： dU δQr δWr
dFra Baidu bibliotek δWr
nCV ,mdT pdV
nRT nCV ,mdT dV V dT R 即 : CV ,m dV T V
即 : CV ,mdlnT RdlnV
CV,m为定值，与温度无关：
T2 V2 CV ,m ln Rln T1 V1
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V2 T2 T1 V 1
定义： C p ,m CV ,m
R / CV ,m
V2 T2 T1 V 1
1
理想气体 绝热可逆过程 的过程方程
T2 p2 T1 p1
由绝热可逆过程方程求出终态温度T2，再求体积功.
ΔU n CV ,mdT n CV ,m (T2 T1 )
T1
T2
U Q W
Wr ΔU
Q0
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例19： 某双原子理想气体1mol从始态350K，200kPa 经过如下四个不同过程达到各自的平衡态， 求各过程的Q，W，U及H。
一粒粒取走砂粒
V1
p1 T
-dp
p2 V2
T
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恒温压缩过程环境所做的功在 p-V 图中的表示
恒外压压缩过程
{p}
p2
W ＝ － p外V＝ － p终(V终－V始 )
定T
{p} p2
恒外压压缩过程
W ＝W1+W2
定T
1
p1
定T 1 2 3 2
定T
V始
V终
{V}
V始
V终
{V}
系统对环境做功,可逆过程做最大功(-W)
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恒温可逆膨胀途径所做的功在 p-V 图中的表示
p2
p1
p2 5.48kJ Wr nRTln p1
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途径a、b、c所做的功在 p-V 图中的表示
一次反抗恒外压膨胀过程 {p} p始 －W ＝p外V＝p终(V终－V始) {p} p始
二次反抗恒外压膨胀过程
－W ＝ －(W1+W2)
定T
定T
p终 V始 V终 {V}
p终 1 2
V始
V终
{V}
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{p su} {p } p始 －W ＝-( W 1＋ W 2＋ W 3) ＝ (p2V1＋p3V2＋p终V3) －W ＝ -(W 1＋ W 2＋ W 3+…..) p始
p1 V2 {p} p2 V1 {V}
2
V2 V1 {V}
W ＝ W 1＋ W 2＋ W 3
{p }
p2
W ＝ W 1＋ W 2＋ W 3+…..
定T
定T p1 1 2 V2 3 V1 {V} V2 p1 2
V1
{V}
环境对系统做功,可逆过程做最小功(W)
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总结，可逆过程的特点： (1) 推动力无限小，系统内部及系统和环境间都无限接近平衡， 进行得无限慢， (2)过程结束后，系统若沿原途径逆向进行恢复到始态，则环境 也同时复原。 (3) 可逆过程系统对环境做最大功, 环境对系统做最小功。
δW p环dV
对可逆过程：
δWr p环dV p系 dpdV
p系dV dp dV
p系dV
Wr p系dV
V1 V2
Wr p dV
V1
V2
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3 理想气体恒温可逆过程
nRT V2 dV nRT ln W r pd V V1 V V1
状态1←←←← →→→→状态2
系统复原,环境复原 系统内部及系统与环境间在一系列无限接近平衡条件 下进行的过程称为可逆过程。
状态1
状态2
系统复原,环境不可能复原 对于不可逆过程，无论采取何种措施使系统恢复原状 时，都不可能使环境也恢复原状. 自然界发生的任何变化都是不可逆过程。
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2 可逆过程体积功的计算公式