【鲁教版】八年级数学下期末试题(附答案)(2)

一、选择题
1．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若5AB =，6BC =，则CE CF +的值为（ ） A ．113
11+
B ．113
11- C ．11311+
或113
11-
D ．11311+
或3
1+
2．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN 的取值范围是（ ）
A ．14MN <<
B ．14MN <≤
C ．28MN <<
D ．28MN <≤
3．如图，若ABCD 的顶点O ,A ,B 的坐标分别为()0,0，()4,0-，()5,3-，则顶点C
的坐标为（ ）
A ．()1,3-
B ．()3,1-
C ．()4,1--
D ．()5,1-
4．下列命题： ①若
22
||11
x x x x x ++⋅=++，则x 的值是1； ②若关于x 的方程
1122
mx
x x -=--无解，则m 的值是1-； ③若(2019)(2018)2017x x --=，则22(2019)(2018)4034x x -+-=； ④若
111,,567ab bc ac a b b c c a ===+++，且0abc ≠，则abc
ab bc ac ++的值是19
．
其中正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．关于x 的一元一次不等式组31,
224x
m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程
13122my y
y y
--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9
B ．10
C ．13
D ．14
6．已知1x =是分式方程233
4ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3-
7．若3x y -=-，5xy =，则代数式3223242x y x y xy -+的值为（ ） A ．90 B ．45 C ．15- D ．30- 8．下列多项式中，能因式分解得到（x+y ）(x ﹣y)的是（ ）
A ．x 2+y 2
B ．x 2﹣y 2
C ．﹣x 2﹣y 2
D ．-x 2+y 2 9．已知d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4，则当x 2﹣2x ﹣4＝0时，d 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
10．在平面直角坐标系中，点A (2， -1)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B ，则线段AB 的长度是 （ ） A ．8
B ．34
C ．13
D ．32
11．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A ．10
20
x x ->⎧⎨
+≤⎩
B ．10
20
x x +>⎧⎨
+≤⎩
C ．10
20
x x +>⎧⎨
-≤⎩
D ．10
20
x x -≤⎧⎨
+<⎩
12．下面说法中正确的是（ ）
A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线
B ．AB
C ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段 C ．三角形的角平分线不是射线
D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，已知∠DAB ＝60°，A （﹣2，0），点P 在AD 上，连接PO ，当OP ⊥AD 时，点P 到y 轴的距离为_____．
14．若正多边形的内角和等于720︒，那么它的每一个外角是 __________︒ 15．要使分式
3
x 2
-有意义，则
x 的取值范围是___________． 16．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A
地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．
17．若x ，y 是整数且满足225x y xy ++=，则x y +=__________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移，得到四边形1111D C B A ，已知点()3,5A -，点()4,3B -，点()13,3A ，则点1B 的坐标为___．
19．若关于x 的不等式x a ≥的负整数解是1,2,3---，则实数a 满足的条件是________． 20．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，E 是AB 上一点，且CE ＝BE ，将△CBE 绕点C 旋转得到△CAD ．
（1）求证：AB ∥DC ；
（2）连接DE ，判断四边形BEDC 的形状，并说明理由． 22．（1）先化简，再求值：22
2
14244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
，其中12x =． （2）解不等式组3123
3112x x x x +<+⎧⎪
⎨->-⎪⎩
．
23．（做一做）
计算：①(2)(3)++=x x _____________；②(4)(5)+-=x x _______． （探索归纳）
如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为()x a +，宽为()x b +．
③根据甲图、乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到：关于字母x 的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是_________________________． （尝试运用）
利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．
④因式分解2243()()()++=+++=++x x x a b x ab x a x b ，其中a 、b 可以是__________；
⑤若27(9)(2)-+=-+x x m x x ，则m =__________． （拓展延伸）
根据你的经验，解答下列问题
⑥若29x kx ++可以分解成关于x 的两个一次式乘积的形式，请写出整数k 的一个值______；
⑦若24+-x px 可以分解成关于x 的两个一次式乘积的形式，则整数p 的值一定是（ ）
A ．3
B ．3-
C ．0
D ．0或3±
⑧若24-+x x q 可以分解成关于x 的两个一次式乘积的形式，则整数q 的值一定是（ ）
A ．4
B ．0
C ．有限个
D ．有无数个
24．如图，等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 在AC 上，将ABD △绕顶点B 沿顺时针方向旋转90︒后得到CBE △．
（1）判断DEC 的形状，并说明理由；
（2）当52,:2:3AB AD DC ==时，求点C 到DE 的距离． 25．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2312x y +=，得1222433
x y x -==-（x ，y 为正整数）．要使2
43y x =-为正
整数，则
2
3
x 为正整数，由2，3互质，可知x 为3的倍数，从而把3x =，代入2
43y x =-
，得2y =．所以2312x y +=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩
， 问题：
（1）请你直接写出方程36x y -=的一组正整数解：__________． （2）若
12
3
x -为自然数，则满足条件的x 的正整数值有（ ）A ．5个；B ．6个；C ．7个；D ．8个
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有几种购买方案？写出购买方案．
26．在平面直角坐标系中，已知()30A -,
，()0,3B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．
（1）如图①，若点C 的坐标为()2,0，试求点E 的坐标；
（2）如图②，若点C 在x 正半轴上运动，且3OC <，其它条件不变，连接OD ，求证：
OD 平分ADC ∠；
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当AD CD OC -=时，求OCD ∠的度数．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据平行四边形面积求出AE 和AF ，有两种情况，求出BE 、DF 的值，求出CE 和CF 的值，相加即可得出答案．
解：
四边形ABCD 是平行四边形，
5AB CD ∴==，6BC AD ==，
①如图：
由平行四边形面积公式得：15BC AE CD AF ⨯=⨯=， 求出5
2
AE =
，3AF =， 在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，由勾股定理得：222AB AE BE =+， 把5AB =，52
AE =
代入求出5
32BE =， 同理335DF =>，即F 在DC 的延长线上（如上图），
5
632
CE ∴=-
，335CF =-， 即31CE CF +=+， ②如图：
5AB =，52
AE =
，在ABE ∆中，由勾股定理得：5
32BE =， 同理33DF =①知：5
632
CE =，335CF =， 11
1132
CE CF ∴+= 故选：D ． 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
2．B
解析：B
利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围． 【详解】
连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ． ∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ， ∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322
MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5， ∴NG 是△BCD 的中位线，15
22
NG CD =
=， 在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即5353
2222
MN -<<+， ∴14MN <<，
当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形， 故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4． 故选B ． 【点睛】
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
3．A
解析：A 【分析】
利用平行四边形的性质其对边相等，进而得出C 点的横纵坐标． 【详解】
解：∵▱OABC 的顶点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（-4，0），（-5，3）， ∴AO=BC=4，C 点纵坐标为：3，B 点横坐标为：-5， ∴C 点横坐标为：-1， 则点C 的坐标为：（-1，3）． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．
4．B
解析：B 【分析】
根据等式的性质和分式有意义的条件判断①；根据分式方程无解的意义求出m 值，可判断②；运用完全平方公式判断③；根据分式的化简求值判断④． 【详解】 解：①若
22
||11
x x x x x ++⋅=++， ∴||1x =，又∵x ≠-1， ∴x 的值是1，故正确； ②
1122mx x x -=--化简得：()13m x +=， ∵方程
1122
mx
x x -=--无解， ∴m +1=0，或3
21
x m ==+， 则m 的值是-1或
1
2
，故错误； ③若(2019)(2018)2017x x --=， 则22(2019)(2018)x x -+-
=[]2
(2019)(2018)(2019)(2018)2x x x x +----- =2120172+⨯ =4035，故错误； ④若111
,,567
ab bc ac a b b c c a ===+++，且0abc ≠， ∴111111
5,6,7a b b c a c ab a b bc b c ac a c
+++=+==+==+=， ∴ab bc ac
abc ++
=111a b c
++ =
12222a b c ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭
=11111112a b b c a c ⎛⎫⨯+++++ ⎪⎝⎭
=
()1
5672⨯++ =9
∴abc
ab bc ac ++的值是19
，故正确； 故选：B ．
本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是灵活运用运算法则以及分式的性质．
5．A
解析：A 【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可． 【详解】
解：31224x
m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②
，
解①得 x≤2m+2， 解②得 x≤4，
∵不等式组31
224x
m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，
∴2m+2≥4， ∴m≥1．
13122my y y y
--+=--， 两边都乘以y-2，得 my-1+y-2=3y ， ∴3
2
y m =
-， ∵m≥1，分式方程13122my y
y y
--+=--有整数解， ∴m=1，3，5， ∵y-2≠0， ∴y≠2， ∴
3
22
m ≠-， ∴m≠
72
， ∴m=1，3，5，符合题意， 1+3+5=9． 故选A ．
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
6．D
解析：D 【分析】
先将分式方程化为整式方程，再将1x =代入求解即可． 【详解】
解：原式化简为81233ax a x +=-， 将1x =代入 得81233a a +=- 解得-3a =.
当a =-3时a -x=-3-1=-4≠0 ∴a =-3 故选则：D ． 【点睛】
本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为a 的方程．
7．A
解析：A 【分析】
将多项式提取公因式2xy 后再根据完全平方公式分解因式，再将3x y -=-，5xy =代入计算即可． 【详解】
解：∵3x y -=-，5xy =， ∴3223242x y x y xy -+ =22(22)x xy xy y -+ =22()x x y y - =225(3)⨯⨯- =90， 故选：A ． 【点睛】
此题考查多项式的求值，掌握多项式分解因式的方法是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
直接利用平方差公式分解因式进而得出答案． 【详解】
解：A 、x 2+y 2，无法分解因式，故此选项错误；
B 、x 2-y 2=（x+y ）（x-y ），正确；
C 、-x 2-y 2，无法分解因式，故此选项错误；
D 、-x 2+y 2=-（x+y ）（x-y ），故此选项错误；
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
由已知方程求得x 2﹣2x ＝4，将d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4代为x 2（x 2﹣2x ）+（x 2﹣2x ）﹣8x ﹣4，通过两次代值计算便可．
【详解】
解：∵x 2﹣2x ﹣4＝0，
∴x 2﹣2x ＝4，
∴d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4＝x 2（x 2﹣2x ）+（x 2﹣2x ）﹣8x ﹣4＝4x 2+4﹣8x ﹣4＝4（x 2﹣2x ）＝4×4＝16．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是通过因式分解把所求代数式转化为含x 2-2x 的代数式形式．
10．C
解析：C
【分析】
首先确定B 点坐标，然后利用勾股定理计算出线段AB 的长度．
【详解】
点A （2，-1）向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B ，
则B （2+3，-1+2），即B （5，1），
线段AB =，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，以及勾股定理的应用，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 11．C
解析：C
【分析】
由数轴可得表示的解集为12x -＜≤，把各个选项求出解集，即可解答．
【详解】
数轴表示的解集为12x -＜≤．
解不等式组1020x x ->⎧⎨+≤⎩，得：12
x x >⎧⎨≤-⎩，解集为空集，故A 不符合题意． 解不等式组1020x x +>⎧⎨+≤⎩，得：12x x >-⎧⎨≤-⎩
，解集为空集，故B 不符合题意． 解不等式组1020x x +>⎧⎨-≤⎩，得：12x x >-⎧⎨≤⎩
，解集为12x -＜≤，故C 符合题意． 解不等式组1020x x -≤⎧⎨+<⎩，得：12x x ≤⎧⎨<-⎩
，解集为2x <-，故D 不符合题意． 故选C ．
【点睛】
本题考查在数轴上表示不等式的解集以及解不等式组，解决本题的关键是求出不等式组的解集．
12．C
解析：C
【分析】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．
【详解】
解：A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选项不符合题意；
B ．当∠B 或∠
C 是钝角时，过A 不存在到线段BC 的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；
C ．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；
D ．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
二、填空题
13．【分析】首先根据点A 的坐标求得OA 的长然后求得PO 的长从而求得点P 到y 轴的距离即可【详解】解：∵A （﹣20）∴OA ＝2∵∠DAB ＝
60°OP⊥AD∴∠AOP=30°∴AP=1∴OP＝作PE⊥y轴∵∠
解析：3 2
【分析】
首先根据点A的坐标求得OA的长，然后求得PO的长，从而求得点P到y轴的距离即可．【详解】
解：∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵∠DAB＝60°，OP⊥AD，
∴∠AOP=30°，
∴AP=1，
∴OP＝3，
作PE⊥y轴，
∵∠POA＝30°，
∴∠OPE＝30°，
∴3
∴PE＝3
2
，
∴点P到y轴的距离为3
2
，
故答案为3
2
．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，能够将点的坐标转化为线段的长是解答本题的关键，难度不大．
14．60【分析】首先设此多边形为n边形根据题意得：180（n-2）=720即可求得n=6再由多边形的外角和等于360°即可求得答案【详解】解：设此多边形为n边形根据题意得：180（n-2）=720解得：
解析：60
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=720，即可求得n=6，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
15．x≠2【分析】根据分式有意义得到分母不为0即可求出x的范围【详解】解：要使分式有意义须有x-2≠0即x≠2故填：x≠2【点睛】此题考查了分式有意义的条件分式有意义的条件为：分母不为0
解析：x≠2
【分析】
根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
【详解】
解：要使分式
3
x2
-
有意义，须有x-2≠0，即x≠2，
故填：x≠2．
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．
16．【分析】设该轮船在静水中的速度为x千米/时则一艘轮船从A地顺流航行至B地已知水流速度为4千米/时所花时间为；从B地逆流返回A地水流速度为4千米/时所花时间为根据题意列方程即可【详解】解：设该轮船在静
解析：
3636
9 44
x x
+= +-
【分析】
设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则一艘轮船从A地顺流航行至B地，已知水流速度
为4千米/时，所花时间为
36
4
x+
；从B地逆流返回A地，水流速度为4千米/时，所花时
间为
36
4
x-
根据题意列方程
3636
9
44
x x
+=
+-
即可．
【详解】
解：设该轮船在静水中的速度为x千米时，根据题意列方程得：
3636
9 44
x x
+= +-
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可．17．25或9或或【分析】由题意原式通过整理得到结合xy是整数进行分析讨
论即可求出答案【详解】解：∵∴∴∴∵xy 是整数∴是整数∵∴或或或或或或或；∴或或或或或或或；∴或或或；故答案为：25或9或或【点睛】 解析：25或9或27-或11-．
【分析】
由题意，原式通过整理得到(21)(21)51x y ++=，结合x 、y 是整数，进行分析讨论，即可求出答案．
【详解】
解：∵225x y xy ++=，
∴22450x y xy ++=，
∴224151x y xy +++=，
∴(21)(21)51x y ++=，
∵x ，y 是整数，
∴21x +，21y +是整数，
∵151317(1)(51)(3)(17)51⨯=⨯=-⨯-=-⨯-=，
∴211x +=，2151y +=，
或2151x +=，211y +=，
或213x +=，2117y +=，
或2117x +=，213y +=，
或211x +=-，2151y +=-，
或2151x +=-，211y +=-，
或213x +=-，2117y +=-，
或2117x +=-，213y +=-；
∴0x =，25y =，
或25x =，0y =，
或1x =，8y =，
或8x =，1y =，
或1x =-，26y =-，
或26x =-，1y =-，
或2x =-，9y =-，
或9x =-，2y =-；
∴25x y +=，
或9x y +=，
或27x y +=-，
或 11x y +=-；
故答案为：25或9或27-或11-．
【点睛】
本题考查了二元二次方程的解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确得到(21)(21)51x y ++=，从而利用分类讨论进行解题．
18．（21）【分析】根据A 和A1的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1则B 的平移方法与A 点相同即可得到答案【详解】解：由A （-35）A1（33）可知四边形
解析：（2，1）
【分析】
根据A 和A 1的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案．
【详解】
解：由A （-3，5），A 1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1，
∵B （-4，3），
∴B 1的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点睛】
此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
19．【分析】首先解不等式求得不等式的解集然后根据不等式的负整数解得到关于a 的不等式组从而求得a 的范围【详解】根据题意得：故答案为【点睛】本题考查了不等式的整数解在解不等式时要根据不等式的基本性质
解析：43a -<≤-
【分析】
首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的负整数解得到关于a 的不等式组，从而求得a 的范围．
【详解】
根据题意得：43a -<≤-，
故答案为43a -<≤-．
【点睛】
本题考查了不等式的整数解．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
20．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B 作BE ⊥AC1于点E ∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题
解析：8 【分析】
首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，
∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1
∴AE=12
， ∴22221312BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
∴1113312AC B S ∆=⨯=由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆==
==1332=， 222211121233
B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆==
=， …， 所以111
n AC B n S S n ∆=+， ∵11
13312AC B S ∆=⨯= ∴3n n S =． 故答案为：
383n 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析
【分析】
（1）由旋转的性质得出∠BCE ＝∠ACD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠BAC ，∠B ＝
∠BCE ，由平行线的判定可得出结论；
（2）由平行四边形的判定可得出结论．
【详解】
（1）证明：由旋转的性质得∠BCE ＝∠ACD ，
∵AC ＝BC ，
∴∠B ＝∠BAC ，
∵CE ＝BE ，
∴∠B ＝∠BCE ，
∴∠ACD ＝∠BAC ，
∴AB ∥CD ；
（2）解：四边形BEDC 是平行四边形，
由旋转的性质得CD ＝CE ，
∵CE ＝BE ，
∴CD ＝BE ，
∵AB ∥DC ，
∴四边形BEDC 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、熟练掌握旋转的性质是解本题的关键；
22．1）()212x -；49
；（2）325x << 【分析】
（1）首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解：（1）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
=2(2)(2)(2)(2)4x x x x x x x x x +--+--- =24(2)4
x x x x x --- =()212x -；
当12x =时，原式=22114==913222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）31233112x x x x +<+⎧⎪⎨->-⎪⎩
①② 解不等式①得，x<2；
解不等式②得，x>35
； ∴不等式组的解集为：325
x << 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值以及求解一元一次不等式组，熟知运算的法则是解答此题的关键．
23．①256x x ++；②220x x --；③(x+a)(x+b)= x 2+(a+b)x+ab ；④3，1或1，3；⑤-18；⑥6（答案不唯一）；⑦D ；⑧D
【分析】
①根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
②根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
③用两种方法表示矩形的面积，即可得到答案；
④由题意得a+b=4且ab=3，进而即可求解；
⑤把(9)(2)x x -+展开，即可求解；
⑥根据完全平方公式，写出一个符合要求的答案即可；
⑦由-4=1×(-4)=(-1)×4=2×(-2)，进而即可求解；
⑧根据“和为-4的两个整数有无数组”，进而即可求解．
【详解】
①(2)(3)++=x x 2223656x x x x x +++=++，
故答案是：256x x ++；
②(4)(5)+-=x x 22542020x x x x x -+-=--，
故答案是：220x x --；
③∵S 甲=(x+a)(x+b)，S 乙=x 2+ax+bx+ab= x 2+(a+b)x+ab ，
∴(x+a)(x+b)= x 2+(a+b)x+ab ，
故答案是：(x+a)(x+b)= x 2+(a+b)x+ab ；
④由题意得：a+b=4且ab=3，
∴31a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩
， 故答案是：3，1或1，3；
⑤∵27(9)(2)-+=-+x x m x x =x 2-7x-18，
∴m=-18，
故答案是：-18；
⑥∵29x kx ++可以分解成关于x 的两个一次式乘积的形式，
∴k 可能为6，
故答案是：6（答案不唯一）；
⑦∵24+-x px 可以分解成关于x 的两个一次式乘积的形式，
∴-4=1×(-4)=(-1)×4=2×(-2)，
∴p=0或±3，
故选D ；
⑧∵和为-4的两个整数有无数组，
∴整数q 的值有无数个，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，通过题目得到结论：
2()()()x a b x ab x a x b +++=++，是解题的关键．
24．（1）直角三角形，理由见解析；（2）121313
【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质以及旋转的性质得出∠DCE=∠DCB+∠BCE ，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AC 的长，再利用旋转的性质以及已知比例可得出AD 、CD 的长，进而利用勾股定理得出DE 的长，再利用面积法即可求解．
【详解】
解：（1）△DEC 为直角三角形． 理由如下：
∵BA=BC ，
∴∠A=∠BCA=45°，
∵△CBE 是由△ABD 旋转得到的，
∴△ABD ≌△CBE ，
∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，
∴△DEC 为直角三角形；
（2）如图，过点C 作CF DE ⊥于点F ，则CF 为点C 到DE 的距离，
2222(52)(52)10AC AB BC =+=+=，
又:2:3AD DC =，
4,6AD DC ∴==．
由旋转知4CE AD ==，
DE ∴==
1122
DCE S DE CF DC CE =⋅=⨯⋅，
CF ∴==
∴点C 到DE 【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．
25．（1）33x y =⎧⎨
=⎩；（2）B ；（3）三种，方案见解析 【分析】
（1）求方程3x-y=6的正整数解，可给定x 一个正整数值，计算y 的值，如果y 的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解．
（2）参照例题的解题思路进行解答；
（3）设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支．则根据题意得：3m+5n=48，其中m 、n 均为自然数．求该二元一次方程的正整数解即可．
【详解】
解：（1）由3x-y=6，得
y=3x-6，
要使y 是正整数，则3x-6是正整数，所以需要x ＞2，
故当x=3时，y=3，
所以3x-y=6的一组正整数解可以是：33x y =⎧⎨=⎩
， 故答案是：33x y =⎧⎨
=⎩； （2）若123
x -为自然数，则满足条件的x 的正整数值有4，5，6，7，9，15共6个， 故答案是：B ；
（3）设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支．
则根据题意得：3m+5n=48，其中m 、n 均为自然数．
于是有：n=4835
m -，
则有483
050
m m -⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：0＜m ＜16．
由于n=4835
m -为正整数，则48-3m 为正整数，且为5的倍数． ∴当m=1时，n=9；
当m=6时，n=6，
当m=11时，n=3．
答：有三种购买方案：即购买单价为3元的笔记本1本，单价为5元的钢笔9支； 或购买单价为3元的笔记本6本，单价为5元的钢笔6支；
或购买单价为3元的笔记本11本，单价为5元的钢笔3支．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 26．（1）点E 的坐标为（0，2）；（2）见解析；（3）60OCD ∠=︒
【分析】
（1）先根据ASA 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（2，0），得到OC=2=OE ，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；
（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°．
【详解】
解：（1）如图①，
∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，
∴∠AOE=∠BDE=90︒，
又∵∠AEO=∠BED ，
∴∠OAE=∠OBC ，
∵A （-3，0），B （0，3），
∴OA=OB=3，
在△AOE 和△BOC 中，
90AOE BOC OA OB OAE OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△BOC(ASA)，
∴OE=OC ，
又∵点C 的坐标为（2，0），
∴OC=2=OE ，
∴点E 的坐标为（0，2）；
（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，
∵△AOE ≌△BOC ，
∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，
∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，
∴OM=ON ，
∴OD 平分∠ADC ；
（3）如图所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，
∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，
在△OPD 和△OCD 中，
DP DC PDO CDO OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OPD ≌△OCD(SAS)，
∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，
∵AD-CD=OC ，
∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，
∴∠PAO=∠POA，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∴∠OCB=60°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．。