初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教案

初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教案
从梯子的倾斜水平谈起(二)
教学目的
(一)教学知识点
1.阅历探求直角三角形中边角关系的进程，了解正弦和余弦的意义.
2.可以运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能依据直角三角形中的边角关系，停止复杂的计算.
4.了解锐角三角函数的意义.
(二)才干训练要求
1.阅历类比、猜想等进程.开展合情推理才干，能有条理地、明晰地论述自己的观念.
2.体会数形结合的思想，并应用它剖析、处置效果，提高处置效果的才干.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学发生猎奇心和求知欲.
2.构成协作交流的看法以及独立思索的习气
教学重点
1.了解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能依据直角三角形的边角关系，停止复杂的计算.
教学难点
用函数的观念了解正弦、余弦和正切.
教学方法
探求交流法.
教具预备
多媒体演示.
教学进程
Ⅰ.创设情境，提出效果，引入新课
[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来描写梯子的倾斜水平，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小有关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.
如今我们提出两个效果：
[效果1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?
[效果2]梯子的倾斜水平与这些比有关吗?假设有，是怎样的关系?
Ⅱ.讲授新课
1.正弦、余弦及三角函数的定义
多媒体演示如下内容：
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么关系?
(2) 有什么
关系? 呢?
(3)假设改动A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)假设改动梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?
请同窗们讨论后回答.
[生]∵A1C1BC1，A2C2BC2，
A1C1//A2C2.
Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.
(相似三角形对应边成比例).
由于A2是梯子A1B上的恣意点，所以，假设改动A2在梯子A1B上的位置，上述
结论仍成立.
由此我们可得出结论：只需梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角
的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大
小有关.
[生]假设改动梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾
斜角的对边与斜边的比
值，邻边与斜边的比值随之改动.
[师]我们会发现这是一个变化的进程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改动而改动，同时，假设给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是独一确定的.这是一种什么关系呢?
[生]函数关系.
[师]很好!下面我们有了和定义正切相反的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)
在Rt△ABC中，假设锐角A确定，那么A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，A的对边与邻边的比叫做A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝
A的邻边与斜边的比叫做A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=
锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数(trigonometricfunction).
[师]你能用自己的言语解释一下你是如何了解〝sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数〞呢?
[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.A的对边与斜边的比值，A的邻边与斜边的比值，A的对边与邻边的比值也都独一确定.在〝A的三角函数〞概念中，
A是自变量，其取值范围是0A；三个比值是因变量.当A变化时，三个比值也区分有独一确定的值与之对应.
2.梯子的倾斜水平与sinA和cosA的关系
[师]我们上一节知道了梯子的倾斜水平与tanA有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜水平能否也和sinA、cosA有关系呢?假设有关系，是怎样的关系? [生]如下图，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA= ，在
Rt△A1B1C中，sinA1= .
即sinAsinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，
所以梯子的倾斜水平与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜水平.
[生]异样道理cosA= cosA1＝ ,
∵AB=A1B1 ＞即cosAcosA1，
所以梯子的倾斜水平与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.
[师]同窗们剖析得很棒，可以结合图形剖析就更为妙哉!从实际上讲正弦和余弦都可以描写梯子的倾斜水平，但实践中通常运用正切.
3.例题解说
多媒体演示.
[例1]如图，在Rt△ABC
中，B=90，AC＝
200.sinA＝0.6，求BC
的长.
剖析：sinA不是〝sin〞与〝A〞的乘积，sinA表示A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，sinA＝0.6，＝0.6. 解：在Rt△ABC中，B＝90，AC＝200.
sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC0.6＝2021.6=120.
思索：(1)cosA＝?
(2)sinC＝？ cosC＝?
(3)由下面计算，你能猜想出什么结论?
解：依据勾股定理，得
AB＝ =160.
在Rt△ABC中，CB＝90.
cosA＝＝0.8，
sinC= =0.8，
cosC＝＝0.6，
由下面的计算可知
sinA＝cosC＝O.6，
cosA＝sinC＝0.8.
由于C＝90，所以，结论为〝一个锐角的正弦等于它余角的余弦〞〝一个锐角的余弦等于它余角的正弦〞.
[例2]做一做：
如图，在Rt△ABC中，C=90，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出相似例1的结论吗?请用普通式表达.
剖析：这是正弦、余弦定义的进一步运用，同时进一步浸透sin(90-A)＝cosA，cos
(90-A)=sinA.
解：在Rt△ABC中，C＝90，AC=10，cosA＝，cosA＝ , AB= ,
sinB＝
依据勾股定理，得
BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=
BC＝ .
cosB＝ ,[
sinA＝
可以得出同例1一样的结论.
∵B=90，
sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90-A)；
cosA＝sinB＝sin(90-A)，即cosA＝sin(90-A).
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
剖析：要求sinB，cosB，tanB，先要结构B所在的直角三角形.依据等腰三角形〝三
线合一〞的性质，可过A作ADBC，D为垂足.
解：过A作ADBC，D为垂足.
AB=AC，BD=DC= BC=3.
在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，
AD＝4.
sinB＝ cosB＝ ,
tanB= .
2.在△ABC中， C＝90，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.
解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，
AB＝＝＝25.
在Rt△BC中，AC＝ =15，
ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，
△ABC的面积： ACBC= 1520＝150
3.(2021年陕西)(补充练习)
在△ABC中.C=90，假定tanA= ，
那么sinA= .
解：如图，tanA= = .
设BC=x，AC=2x，依据勾股定理，得
AB= .
sinA= .
Ⅳ.课时小结
本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念看法了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，A 是自变量，其取值范围是090；三个比值是因变量.当A确定时，三个比值区分独一确定；当A变化时，三个比值也区分有独一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思索了正弦和余弦的值与梯子倾斜水平之间的关系以
及用正弦和余弦的定义来处置实践效果.
Ⅴ.课后作业
习题1、2第1、2、3、4题
Ⅵ.活动与探求
：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
[进程]依据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只需角度相反，其正弦值(或余弦值)就相等，不用只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CDAB.所以图中含有三个直角三角形.例如B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，触及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB= . [结果]在Rt△ABC中，cosB＝
又∵CDAB.
在Rt△CDB中，cosB＝
= BC2＝ABBD.
板书设计
1.1.2 从梯子倾斜水平谈起(二)
1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，假设锐角A确定. sinA＝ [
cosA＝
2.梯子的倾斜水平与sinA和cosA有关吗?
sinA的值越大，梯子越陡
cosA的值越小，梯子越陡
3.例题解说
4.随堂练习。