数列极限存在的条

a a

=
1
于是，该数列单调递减有下界，故由定理 9.1 可知其极限存在，设
limn→∞ xn = A
则由递推公式，两边取极限得=A
1 2

A
+
a A

，解得
A
=
±
a
由
x 1
> 0 ,推得
xn
> 0 ，故 limn→∞ xn =
a
由定理 9.1 知数列{xn}收敛，设其极限为 a 。
因为 xn+1=
2 + xn
故有
x2 n+1
=2+x
n
对上式两边取极限，得到 a 2=
2 + a,
解得 a = 2 或 a = −1，由于 x n > 0 ，故其极限 a ≥ 0 ，
所以 limn→∞ xn =2 。
证毕。
例子 9.4. 设 = xn+1
1 2

xn
+
a
xn

，
n
=
1, 2, 且
x 1
>
0 , a > 0 求 limn→∞ xn
解：因为
xn+1 =
1 2

xn
+
a xn

≥
xx
n
n
xn
⋅
a xn
=
a
所以该数列有下界。另一方面
xn+1 = xn
1 2
1
+

a xn 2

≤
1 2
1 +

n!
nn
=1+1+
21！1 −
1 n

+
31！1
−
1 n

1
−Fra Baidu bibliotek
2 n

+
++
1 n!
1
−
1 n

1
−
2 n
1
−
n
− n
1

xn+=1
1
+
1 n+1
n +1

=1+1+
21！1
−
1 n+1

+
31！1
−
1 n+1

1
−
2 n+1

+

++
(n
1 + 1)!
1
−
n
1 +
1
1
−
n
2 +1
1
−
n
n +
1

于是不难得到 xn < xn+1 ( n = 1, 2 , )
xn
=
1 +
1 n
n

<
1+1+
1+ 2！
1+ 3！

+
1 n!
第九讲、数列极限存在的条件
定理 9.1. 单调有界数列必有极限. 证明：不妨假设数列{xn}单调增加有上界。由定理 3.1 确界原理可知数 列{xn}存在上确界 supn≥1 xn := a 。我们将证明 limn→∞ xn = a 。对于 ∀ε > 0 ， 由上确界的定义，存在 ∃N ∈ + 使得 a − ε < xN 。由于数列{xn} 单调增加， 故当 n > N 时有 a − ε < xN ≤ xn ≤ a < a + ε 此即表明 limn→∞ xn = a= supn≥1 xn 。 同法可证，若数列{xn}单调减少有下界，则有 limn→∞ xn = infn≥1 xn 证毕。
+2 +1
n
。
解: 我们有
limn→∞

n n
+ +
2 1
n

=
lim
n→∞
1+
n
1 +
1
n

+1
1+
n
1 +
1

−1
=
limn→∞
1+
n
1 +1
n +1

⋅ limn→∞
1+
n
1 +
−1
1
=
e
例子 9= .3. 证明数列 xn
例子 9.1. （一个重要极限）设 x=n
1 +
1 n
n
，
n
=
1, 2, 。证明数列 {
xn}极
限存在 .
证明: 利用二项式公式 , 有
xn
=
1
+
1 n
n

=1+
n 1!
⋅
1 n
+
n(n −1) 2!
⋅
1 n2
+
n(n
−
1)(n 3!
−
2)
⋅
1 n3
+ + n(n −1)2 ⋅1 ⋅ 1
< 1+1+
1 2
+
1 22
+

1 2n−1
<
3
由定理 9.1 可知数列{xn}有极限 . 记此极限为 e , 即
limn→∞
1
+
1 n
n

=e
证毕。
注记 9.1： e = 2.718281828459045...，它是一个无理数，也是一个超越数
例子
9.2.
计算
limn→∞

n n
2+
2++
2
,
n
∈
+

收敛，并求其极限.

n个根号
证: 注意到
xn+1 =
2+
2+ +
2>
2+
2+ +
2 = xn

n+1个根号
n个根号
故该数列是严格单调增加的.
由于= x1
2 < 2, x=2
xn < 2,
2 + x1 < 2 + 2＝2,设
则 xn+1= 2 + xn < 2 + 2 =2 ，于是该数列是有上界的.