吉林省长春市2014届高三第三次调研测试数学文Word版含答案

数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合}421{，，
＝A ,集合},,|{A b A a b a x x B ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4
B ．5
C ．6
D ． 7
3．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是
A ．2
y x = B ．3
y x =- C ．lg ||y x =- D ．2x
y = 4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是
A ．
B ．
C ．
D ． 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是
A ．计算0
1
2
(12)(22)(32)++++++…(12)n
n +++的值 B ．计算1
2
3
(12)(22)(32)++++++…(2)n
n ++的值 C ．计算(123+++…)n +0
1
2
(222++++ (1)
2
)n -+的值
D ．计算[123+++…(1)]n +-0
1
2
(222++++…2)n
+的值
6．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的焦距为2c ，焦点到双
曲线C 的渐近线的距离为
2
c
，则双曲线C 的离心率为 A ．2
B
C
D
第5题图
7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足 b c a c a b +++
1，则角A 的范围是 A ．(0,
]3
π
B ．(0,
]6
π
C ．[
,)3
π
π
D ．[
,)6
π
π
8．函数)2
|)(|2sin()(π
ϕϕ<+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函
数()f x 在[0,
]2
π
上的最小值为
A
．
B ．12
-
C ．
12
D
9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪
<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是
A ．5
[,5]3
B ．[]0,5
C ．[)0,5
D ．5[,5)3
10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 A
B
C
D
11．已知函数2
()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，
并交于点P ，则点P 的坐标可能是 A ．3
(,3)2
-
B ． (0,4)-
C ．(2,3)
D ．1(1,)4
-
12．已知点P ，Q 为圆22
:25C x y +=上的任意两点，且6PQ <，若PQ 中点组成的区
域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．
35
B ．
925
C ．
1625
D ．
25
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。

第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．若1
sin()cos()2x x ππ+++=，则=x 2sin ．
14．已知函数2
()sin 21
x
f x x =
++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ． 15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3,)a ，a ∈R ，点P 满足OP OA λ=，
λ∈R ，||||72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．
≥
≥ ≥
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21
(1)log n n
b n a =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试
卷中，至少有一份的分数在[90,100]之间的概率； （3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分． 19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ， 12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，
D 为1CC 的中点，
E 为BC 上一点．
（1）若DE ∥平面11A MC ，求
CE
EB
； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线
相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值． 21．（本小题满分12分）
已知函数222
33,(0)
()2()3,(0)
x x ax a x f x e x a x ⎧++-<=⎨--+>⎩，
a ∈R ． （1）若函数()y f x =在1x =处取得极值，求a 的值；
第19题图
（2）若函数()y f x =的图象上存在两点关于原点对称，求a 的范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．
如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知5,10BC DB ==． （1）求AB 的长； （2）求
CF
DE
． 23．（本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上
的点按坐标变换1
3
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．
（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨
迹方程．
24．（本小题满分10
已知函数()f x =
．
（1）求()f x (4)f 的解集；
（2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求k 的取
值范围．
长春三模文科数学参考答案及评分参考
1．【答案】A
【解析】由(1i)2i z +=得，2i 2i(1i)2i+2
1i 1i (1i)(1i)2
z -=
===+++-，则复数z 在复平 面内对应的点为(1,1)Z ，该点在第一象限，故选A ．
2．【答案】C
【解析】∵,,a A b B x a b ∈∈=+，所以2,3,4,5,6,8x =，∴B 中有6个元素，故 选C ．
3．【答案】C
【解析】四个函数中，是偶函数的有A C ，，又2y x =在(0,)+∞内单调递增，故选C ． 4．【答案】D
【解析】在频率等高条形图中，
a a
b +与c
c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量 有关系，四个选项中，即等高的条形图中1
2,x x 所占比例相差越大，则分类
第22题图
≥
变量,x y 关系越强，故选D ．
5．【答案】C
【解析】初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入
循环体时：011222S =+++，3k =，…，给定正整数n ，当k n =时， 最后一次进入循环体，则有：011222S =++++…12n n -++，1k n =+， 退出循环体，输出S =(123+++…)n +012(222++++…12)n -+，故选C ．
6．【答案】D
【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为
2c ，即2
c
b =，又222b
c a =-，代入得
2243a c =，解得2
43e =
，即e =D ． 7．【答案】A 【解析】由
1b c
a c a b
+≥++得：()()()()b a b c a c a c a b +++≥++，化简得：2
2
2
b c a bc +-≥，同除以2bc 得，
2221
22
b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥
(0)A π<<，所以03
A π
<≤，故选A ． 8．【答案】A
【解析】函数()sin(2)f x x ϕ=+向左平移
6
π
个单位得
sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，又其为奇函数，故则3
k π
ϕπ+=，
Z k ∈，解得=3
k π
ϕπ-
，又||2
π
ϕ<
，令0k =，得3
π
ϕ=-
，
∴()sin(2)3f x x π
=-
，又∵[0,]2x π∈，∴ sin(2)[3x π-∈，
即当0x =时，min ()f x =，故选A ． 9．【答案】C
【解析】画出,x y 约束条件限定的可行
域为如图阴影区域，令
221u x y =--，则1
2
u y x +=-
，先 画出直线y x =，再平移直线y x =，
当经过点(2,1)A -，12(,)33
B 时，代入
u ，可知5
53
u -≤<，∴||[0,5)z u =∈，
故选C ．
10．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r h
h r
π=
，则2h =
S 侧=2r h π
⋅4r π=S
全242r r ππ=+，故圆柱的侧面积与
=，故选B ． 11．【答案】D
【解析】由题，22
1122(,),(,)A x x B x x ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率
112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即121
4
x x =-.
两条切线方程分别为2
2
111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=-，联立得
1212()[2()]0x x x x x --+=，∵12x x ≠，∴12
2
x x x +=
，代入1l ， 解得121
4
y x x ==-
，故选D ． 12．【答案】B
【解析】PQ 中点组成的区域为M 如图所示，
那么在C 内部任取一点落在M 内 的概率为
25169
2525
πππ-=
，故选B ． 13．【答案】3
4
-
【解析】1sin()cos()sin cos 2x x x x ππ+++=--=
,∴1
cos sin 2
x x +=-，平方得 1
1sin 24
x +=
，∴3sin 24x =-．
14．【答案】5
【解析】∵()()f x f x +-=1
2222sin sin 221212112
x x x x x
x x +-++-=+=++++， 且(0)1f =，∴(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f -+-+++=．
15．【答案】3π
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆
1O 和外切圆2O ，
且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形， 由题意
1O 的半径为1r =，∴△ABC
的边长为∴圆锥的底面半
，高为3，∴1
3333
V ππ=
⨯⨯⨯=． 16．【答案】24
【解析】点A 的坐标为(3,)a ，则||3OA ≥，又OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，
||||72OA OP =，则72
||||
OP OA =
，设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴 上的投影长度为||cos OP θ=2
3216
||||||
OP OA OA =24≤，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．
17．【解析】（1）1n =时，112a S ==， ………2分
122n n S +=-，∴122n n S -=-(2)n ≥
∴12n n n n a S S -=-=(2)n ≥，
∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =． ………6分 （2）21
(1)log 2n n b n =
+111(1)1
n n n n ==-
++ ………9分 1111223n T =-+-+…111n n +-+1111
n
n n =-=
++． ………12分 18．【解析】（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)
之间的频数为2，所以全班人数为2
250.08
=， ………2分 ∴分数在[80,90)之间的人数
为25214-=人. 则对应的频率为
4
0.1625
=， ………3分 所以[80,90)间的矩形的高为
4
100.01625
÷=． ………4分 （2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数 编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． ………6分
其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事
件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是
9
0.615
=．……8分
………10分
所以估计这次测试的平均分为：
550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分
19．【解析】
（1）取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分 ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11A C ，
∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N = 又DE Ì平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，
∴E 是CN 的中点， ………5分 ∴
1
3
CE EB =． ………6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ，
又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A
设122AB AA ==，又三角形11A MC 是等腰三角形，所以111A M AC ==.
如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F -
∴几何体11AA M CC N -的体积为：
1111111111111232232V AM AA AC CF CC NF =
⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯-⨯⨯⨯=
………9分 又直三棱柱111ABC A B C -
体积为：1
212
V =
⨯= ………11分 故剩余的几何体棱台111BMN B AC -
的体积为：21V V V =-=
∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：
125
7
V V =． ………12分 20．【解析】（1）由题可知(
,0)2p F ，则该直线方程为：2
p
y x =-，………1分 代入2
2(0)y px p =>
得：2
2
304
p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分
∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2 ∴抛物线的方程为：2
4y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入
24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，
因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，
解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =
设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+
所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+
2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++
126x x +=，121x x =，
21212()1616y y x x ==，124y y =-，
2212124()y y x x -=-，∴12
1212
4
4x x y y y y -+==-
221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分
222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-
当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 21.【解析】
（1）当0x >时，()f x =2
2()3x
e x a --+，()2()x
f x e x a '=-+………2分
∵()y f x =在1x =处取得极值 ∴(1)0f '=，即2(1)0e a -+=
解得：1a e =-，经验证满足题意，∴1a e =-． ………5分 （2）()y f x =的图象上存在两点关于原点对称，
即存在y =22()3x
e x a --+图象上一点00(,)x y 0(0)x >， 使得00(,)x y --在2
2
33y x ax a =++-的图象上
则有020022
0002()333
x y e x a y x ax a ⎧=--+⎨-=-+-⎩ 02220002()333x e x a x ax a --+=-+-+ ………8分
化简得：0
2x e a x =，即关于0x 的方程在(0,)+∞内有解 ………9分
设2()x e h x x =(0)x >，则2
2(1)
()x e x h x x
-'= ∵0x >
∴当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '< 即()h x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数
∴()(1)2h x h e ≥=，且x →+∞时，()h x →+∞；0x →时，()h x →+∞
即()h x 值域为[2,)e +∞ ………11分
∴2a e ≥时，方程0
2x e a x =在(0,)+∞内有解 ∴2a e ≥时，()y f x =的图象上存在两点关于原点对称．
………12分
22.【解析】（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，
ACB DAB ∠=∠，
∴△ABC ∽△DBA ，则
AB BC DB
BA
=， 故250,AB BC BD AB =⋅==…5分
（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，
2DA DB DE =⋅，
两式相除，得22CA CB CF DA DB DE =⋅（*） 由△ABC ∽△
DBA
，得AC AB DA DB ===，2212CA DA =， 又51102CB DB ==，由（*）得1CF DE
=． ………10分 23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴曲线C '的普通方程为221x y +=． ………5分
（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P
所以有：00
232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得
22(23)(2)1x y -+=
∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=
． ………10分
24.【解析】（1
）()f x =
|3||4|x x =+=-++
∴()(4)f x f ≥即|3||4
|x x -++9≥
∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349
x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③
解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥
所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥．………5分
（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方
21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,
其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-
由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方
∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。