一节“用含30°的直角三角板拼多边形”的活动课

一节“用含30°的直角三角板拼多边形”的活动课
潘小梅（浙江省宁波市江东区教研室）
《义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，“课题学习”（综合与实践）通过问题的解决，使学生经历数学化的过程，体验数学知识间的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，使学生的思维能力、自主探究与合作交流的意识得到发展，获得成功的体验，增加学习数学的兴趣和信心.数学活动课作为课题学习的一种表现形式，成为教师共同关注的话题.以下是笔者在浙江大学高级研修班学习期间，借助三角板开展数学活动课的一次教学尝试，现撰文和各位同行交流.
1问题背景
三角板是学生熟悉的学习用品，常常被广大数学教师作为数学问题的探究工具，以三角板为载体的中考题更是层出不穷，如：以三角板为背景来考查特殊角的构造、特殊三角形的边角关系，全等、相似、旋转等几何变换.三角板问题不仅考查平面图形的位置关系和数量关系等数学知识，而且关注了学生由操作到数学思考的活动经验，引导学生用数学的眼光看待周围的事物.尽管三角板问题屡见不鲜，但借助三角板考查平面图形的镶嵌相关知识几乎未见过.本文正是基于这样的问题驱动，进行如下的教学尝试.
2教学过程
2.1提出问题
出示三角板教具，启发学生回顾三角板的功能，从中导出用三角板拼角（约定“拼”的含义是既不重叠也不留空隙），归纳用若干个全等的含30°的直角三角板能拼出5个特殊角，即30°、60°、90°、120°、150°，接着让学生开始探索活动.（本文中所指的含30°的三角板都是全等的直角三角板，以下不再赘述）
活动一：用含30°的直角三角板拼150°的角.
观察拼150°角的过程中出现的凸多边形，从而提出问题：
“用若干块全等的含30°的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的凸多边形？
【教学说明】先让学生动手实验拼150°的角，再让学生观察拼成的图形，通过分类，找出用含30°的直角三角板拼成的凸多边形，唤起学生对凸多边形概念的回顾，让学生初步感性地认识到用含30°的直角三角板可以拼成多边形这样的事实，并顺势提出本节活动课探究的主题.同时也让学生积累了一些“拼图”的经验，为后续问题“用含30°的直角三角板能拼成最大边数为12的凸多边形”埋下伏笔，做好充分的铺垫.
2.2 问题分解
问题引发学生思考，为了帮助学生找到解决问题的突破口，笔者鼓励学生积极思考、交流、探讨，通过不断地否定和修正，把上述的复杂问题有序地分解为以下简单的问题：
问题1：用若干块全等的含30°的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的三角形？ 问题2：用若干块全等的含30°的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的四边形？
【教学说明】用含30°的三角板拼成的多边形种类繁多，引导学生先从最简单的拼三角形问题入手探究规律，再把这种规律推广到边数更多的多边形问题.让学生在问题分解的过程中获得解决问题的基本策略和经验，感悟转化的数学思想.
2.3解决问题：从实验到论证
活动二：用含30°的三角板拼三角形.（要求：使用的三角板块数尽可能少） 教学片断回顾：
（教师巡视课堂，示意学生把使用最少块数拼成的三角形展示在黑板上.）
师：只有这3种内角度数不同的三角形吗？如果使用更多的三角板是否可能拼出其他内角
度数的三角形呢？
生1：（很肯定地）不可能有其他内角度数的三角形了！因为用含30°的三角板能拼成的不
小于平角的角只有30°、60°、90°、120°、150°这5种.但150°不可能作为三角形的内角，否则另两个内角的和为30°.所以，拼成的三角形的内角度数只能是30°、60°、90°、120°中的角度.如果选定120°为最大内角，那么其他2个角都是30°；如果选定90°为最大内角，那么其他2个角是60°和30°；如果选定60°为最大内角，那么其他2个角都是60°，所以只有这3种情况.
师：很好！刚才生1用列举法把所有可能的情况都一一列举，说明肯定只有3种情况！ （这时，另一个女学生举手，老师示意她站起来发言）
生2：因为三角形的每一个内角度数都是30°的整数倍，且最小角为30°，最大角为
120°，所以可以设∠A=30a,∠B=30b,∠C=30c,(14,,,a b c a b c ≤≤≤≤为整数),则30a+30b+30c=180,a+b+c=6,所以符合条件的整数解共有3组，分别为（1，1，4），（1，2，
3），（2，2，2），对应的内角度数为（30°、30°、120°），（30°、60°、90°），
（60°、60°、60°）！
（无懈可击！学生的掌声自发地响了起来）
师：太棒了！用方程和不等式为工具，非常完整地说明了只有3种情况！在这里，我们先用三角板实验，然后运用数学知识和方法进行严格论证，这种从实验到论证的方法正是我们研究数学常用的方法！
【教学说明】在探索拼三角形的过程中，先让学生实验，再运用方程、三角形内角和、平面图形镶嵌等知识论证，感受从实验到论证的解决问题策略，同时为后续拼四边形问题的解决提供方法.
2.4方法引领：从猜想到验证
活动三：用含30°的直角三角板拼四边形。

（要求：使用的三角板块数尽可能少）
教学片断回顾：
在学生小组合作交流讨论的基础上，教师提出问题.
师：用含30°的三角板能拼成哪些内角度数不同的四边形呢？
生1：（笑）我代表我们组的同学认为，用含30°的三角板，能拼成的最小角是30°，最大角是150°，且内角和为360°，所以可以设四边形的4个角依次为∠1、∠2、∠3、∠4，且∠1=30a、∠2=30b、∠3=30c、∠4=30d(1≤a≤b≤c≤d≤5，a,b,c,d为整数).
∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴30a+30b+30c+30d=360°,即a+b+c+d=12.
∵1≤a≤b≤c≤d≤5,
∴符合条件的整数解和对应内角度数有以下8组：（整理如下）
师：（惊喜地）你是怎样想到的？
生2：受刚才拼三角形问题的启迪，我就试了试！
师：看来，数学确实能使人聪明！因为我们学过数学，所以我们不会盲目地拼，而是先进行了类比分析，然后有目的地去执行！现在，我们通过理论分析猜想出内角度数不同的四边形有8种！那么，是不是这8种四边形都能拼出来呢？请大家以小组为单位，合作拼图.
生众：（拼图，并展示结果.）
（
（2
（3
（4）（5）
（6）
（7）
（8）
师：刚才，我们运用拼三角形得到的方法，先猜想了拼四边形的可能情况，并对猜想进行验证，从猜想到验证，体现数学作为工具的魅力！
【教学说明】从拼三角形到四边形，学生自主探索、合作交流，经历了实验---论证---猜想—验证等过程，积累了活动的经验，获得了成功的体验.
2.5问题拓展
在经历了以上的数学活动后，学生思维高涨，很自然地进行了问题联想：还能拼成哪些内角度数不同的多边形呢？
活动四：用含30°的直角三角板拼成边数最大的凸多边形.
30°，30°，150°，150°30°，60°，120°，150°30°，90°，90°，150°60°，60°，90°，150°
30°，90°，120°，120°
60°，90°，90°，120°90°，90°，90°，90°
60°，60°，120°，120°
教学片断回顾：
生1：（不假思索地）既然能拼成三角形、四边形，也应该能拼成五边形、六边形、七边
形，---
师：那是不是能拼成任意边数的多边形呢？
生2：我们可以设n 边形的内角分别为1230,30,,30n x x x ---，根据多边形的内角和公
式得， 1212303030(2)180.(,,n n x x x n x x x ++---+=-⋅︒都是整数） （1）
化简得12126(2).(,,n n x x x n x x x ++---+=-都是整数）， （2）
方程（2）中，n 每取一个值，只要找到一组整数解就可以了！比如n 取10，那么
12101248.(,,n x x x x x x ++---+=⋅⋅⋅都是整数）
，可取121035x x x ==⋅⋅⋅==，！ 生3：虽然方程（2）的右边可以无限大，但左边每个数最大是5，方程的解不一定存在！ 师：那我们不妨再取n=20试试看！12201220108.(,,x x x x x x ++---+=都是整数）（3） 生4：（恍然大悟地）等式（3）左边的最大值是100（20乘以5），右边是108，方程（3）
不存在正整数解了.所以不能拼成任意边数的凸多边形！
师：这个反例说明用含30°的直角三角板不能拼成任意边数的凸多边形！那么，我们能
拼出的凸多边形最大边数是多少呢？
生5：等式（2）中，左边最大值是5n ，因此56(2)12.n n n ≥-≥，解得所以，我猜测能
拼成的边数最大的凸多边形是12边形.
师：如果n=12 ，则等式（2）中12,,n x x x ⋅⋅⋅的值都是5，那么12边形的每个内角度数是
多少呢？
生众：此时12边形的每个内角度数都是150°.
生6：150°正是我们刚开始时用含30°的三角板拼出的小于平角的最大内角！
生7：（意味深长地）这正是说明我们能拼成的凸多边形最大边数是12边形！因为能拼出
的最大角是150°，说明外角最小为30°，要使边数最大，外角的个数也要达到最多，所以要让每个外角都是30°，此时有360÷30=12个外角，所以理论上应该能拼成12边形！
(全场响起了热烈的掌声，我也为学生的发现喝彩！)
师：好，刚才我们综合运用数学知识用两种不同的方法分析可拼成12边形.右图是老师
用66块全等的含30°的直角三角板拼出的12边形，虽
然它的各边并不相等，但它的每一个内角都是150°！
生众：哇！（全班不约而同地齐声赞叹着------）
下课铃声响起，学生还意犹未尽------
【教学说明】学生不仅运用方程、不等式、多边形外角和及
举反例等知识解决问题，体验数学知识的交织与融合，
而且经历了问题、困难、挑战、挫折、取胜的过程，获得了成功的体验.
3.教学反思
美国教育家布鲁纳指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程.学习是一种过程，而不是结果.”本节活动课，以问题为载体，创设民主、宽松的教学氛围，让学生经历实验--猜想--探究--分析--验证的全过程，在解决问题的过程中，获取知识，学会研究，发展创新能力.反思活动课的实施过程，有以下体会：
3.1教师要精心安排活动内容.
数学活动课不是系统学习数学知识，而是在实践活动中获得亲身体验与直接经验，更重要的是培养学生善于思考、勤于动脑的好习惯，掌握分析问题和解决问题的策略和方法.因此，教师在安排活动内容时，不仅要考虑知识性，还要侧重于内容的思考性.本节课以“含30°的直角三角板拼多边形”为问题载体展开探究，在整个探究活动中，学生实验有实物（三角板），探究有问题（拼成内角度数不同的多边形），思考有基础（学生已学过多边形概念、平面镶嵌、方程、不等式等相关知识），促使学生在活动中有价值地思考，主动构建知识，积累解决问题的经验，体验数学思想，提升数学素养.更可喜的是，活动还激发了学生新的探索欲望：在课外，学生继续用类似的方法研究了含45°的直角三角板拼多边形，用两种直角三角板拼多边形，达到了“在活动中获取知识，在活动中学会研究”的目的.那么，什么样的活动内容才具有思考性呢？一是活动内容能让学生动手操作.学生在操作中动手动脑，探索知识，发现规律，掌握探索方法，发展探索能力.二是在灵活运用知识中，培养学生的分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理等能力，以及思维的灵活性与敏捷性.三是内容没有现成的公式、方法可以套用，需要学生自行探索才能解决问题.
3.2 教师要灵活驾驭活动课的教学.
学生的数学知识是外来信息与学生原有的认知结构相互作用的结果，学生的数学能力是在这种过程中形成和发展的.活动中，应让学生作为活动的主体，以问题激发学生思考，以
活动引发学生动手操作，以评价促进学生积极思考.本节课在活动过程中，学生在探索“拼内角为60°，60°，90°，150°的四边形”时受挫，在解决“能不能用三角板拼成任意边数的凸多边形”问题时先后用两种不同的方法解决都出乎意料，教师自始自终围绕学生的思维，通过类比、举反例等手段不断地鼓励和修正，教师驾驭课堂使学生在探索的过程中学会了运用结果性的知识经验，获得了过程性的策略经验，积累了丰富的数学活动经验，养成严谨思维的习惯.
3.3 教师要善于研究数学问题.
由于活动课的内容往往不是现成的研究成果，所以问题本身对教师也是一种极大的挑战.事实上，笔者在组织本节活动课前，对三角板问题进行了大量的研究和尝试，再从自己的研究中整理出较成熟的一部分内容作为学生活动课题内容，并根据学生的认知能力设计组织教学过程，为活动课的顺利开展提供保障.所以，实施活动课教学，也掘深拓宽了教师的知识、能力体系，促进了教师的专业化发展.
参考文献：
1 章飞刘黔昉.初中数学课题学习的实践与探索[M].北京：北京师范大学出版社，2008.8 2李兴贵陈出. 新课标数学教材课题学习教学设计[M].上海：华东师范大学出版社，2009.3 3 李士元.数学活动课内容的思考性 . 湖南教育[J], 2001年第5期。