高三数学上学期第四次月考试题 理 新人教版

2019学年上学期高三（理科）
第四次月考数学试题
（考试时长：120分钟；满分：150分）
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1.已知,m n R ∈，集合
，集合{},B m n =，若{}1A B =I ,则m n +=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2．若0a >，且1a ≠，则“函数x
y a =在R 上是减函数”是“函数3
(2)y a x =- 在R 上
是增函数 ”的
A ． 充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
3.函数()f x x α
=满足()24f =，那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致是
4. 下列各点中，能作为函数tan()5
y x π
=+（x ∈R 且310
x k π
π≠+
，k ∈Z ）的一个对称中心的点是（ ） A .(0,0)
B .(,0)5
π
C .(,0)π
D .3(
,0)10
π 5. 将函数x y 2sin =的图象向右平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为
A.1)4
2sin(+-=π
x y B.x y 2cos 2= C.x y 2sin 2= D.x y 2cos -=
6．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =u u u r
，4AC =u u u r ,AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD u u u r 的值为
A ．
72
B ．3
C ．
52
D ．
125
7.定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有0x -x x f -x f 1
212<）
（）（，
则( )
A ．f (3)<f (－2)<f (1)
B ．f (1)<f (－2)<f (3)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2)
8. 已知x>0，y>0，2lg 8lg 2lg y
x
=+，则1x ＋1
3y
的最小值是( )
A ．2
B ．2
2 C ．4 D ．2
3
9.已知向量()1,0,2,a b a ==r r r 与b r 的夹角为45o
，若,c a b d a b =+=-r r r u r r r ，则c r 在d u r 方向
的投影为 A.
55 B. 55
- C. 1 D.1- 10、函数()sin()(0,0,||)2
f x A x k A π
ωϕωϕ=++>><的图象如图所示，
则()f x 的表达式是()f x =（ ）
A ．3sin(2)123x π++
B ．32sin(2)123x π
++ C ．3sin()123x π++ D ．33sin(2)232
x π++
11、已知函数
，实数a 满足
(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为( )
（A ）1或2 （B ）2 （C ）1 （D ）1或22
12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
g x ，若f x ≥g x ，
f x ，若f x <
g x .则F (x )的
最值是( )
A ．最大值为3，最小值－1
B ．最大值为7－2
7，无最小值
C ．最大值为3，无最小值
D ．既无最大值，又无最小值
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.由曲线y=2x 与直线y=1围成的封闭图形的面积为 ． 14．在△ABC 中，已知45,2B AC BC ∠=︒=
，则C ∠=
15. AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则
AP OP ⋅u u u r u u u r
的最小值为
16．若定义在R 上的函数y =()f x 满足(1)f x +=
1
()
f x ，且当x ∈(0,1]时，()f x =x ，函数()
g x =3+1log (>0)
2 (0)
x x x x ⎧⎨≤⎩，则函数()h x =()()f x g x -在区间[－4,4]内的零点的个数
为 .
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分)
17．已知函数2
()23cos 2cos 1f x x x x =+-．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值和最小值．
18．已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
19.(本小题满分12分) 已知△ABC 中，A,B,C 的对边分别为c b a ,,，且B B
sin 32
cos 22
=，1=b
（1）若12
5π
=
A ，求边c 的大小； （2）若c a 2=，求△ABC 的面积.
20．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x －3|．
（1）求不等式f （x ）≤6的解集；
（2）若关于x 的不等式f （x ）< |a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围.
21、设2()ln(1)f x x x ax =+--.
（1）当1x =时，()f x 取到极值，求a 的值；
（2）当a 满足什么条件时，()f x 在区间[－12，－1
3]上有单调递增区间？
22．设函数2
()ln(1)1f x x ax x =-+++，2
()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；
2019学年上学期高三（理科） 第四次月考数学试题答案
一、
选择题
CACDC CACDA AB 二、填空题
13. 34
14．105° 15. 81- 16．5
三、解答题
17．(本小题满分10分)已知函数2
()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值和最小值． 【
解
析
】
（
Ⅰ
）
因
为
所以的最小正周期为．
（Ⅱ）因为
当时，
取得最大值；当
取得
最小值
．
18．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 【解】(1)将45cos ,
55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,
sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由2222
810160,20
x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
19.(本小题满分12分) 已知△ABC 中，A,B,C 的对边分别为c b a ,,，且B B
sin 32
cos 22
=，1=b
（1）若12
5π
=
A ，求边c 的大小； （2）若c a 2=，求△ABC 的面积. 解：（1）∵
B B sin 3cos 1=+, ∴1)6
sin(2=-π
B ,所以6
6
π
π
=
-
B 或
65π（舍），得3
π=B 12
5π=
A ,则4π=C ，由正弦定理
B b
C c sin sin =
,得36=c ……………………6分 （2）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= 将3
,2,1π
===B c a b 代入解得：3
3
=
c ,从而3
3
2=
a 6
3
3sin 3333221sin 21=
⋅⋅==
∆πB ac S ABC ……………………………12分 20．(本小题满分12分)
已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x －3|．
（1）求不等式f （x ）≤6的解集；
（2）若关于x 的不等式f （x ）< |a －1 |的解集非空，求实数a 的取值范围.
【解】（Ⅰ）原不等式等价于
31
3222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-⎪⎪⎨
⎨⎪⎪++-+--⎩⎩，≤≤，
或≤≤或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪
-+--⎩，≤， 解之得
3131
212222
x x x <--<-≤或≤≤或≤， 即不等式的解集为{|12}x x -≤≤.……………………………………………………（5分） （Ⅱ）()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--=Q ≥，
14a ∴->，解此不等式得35a a <->或.…………………………………………（10分）
21、（满分12分）设2()ln(1)f x x x ax =+--. (1) 当1x =时，()f x 取到极值，求a 的值；
(2) 当a 满足什么条件时，()f x 在区间[－12，－1
3
]上有单调递增区间？
【解】(1)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝11＋x
－2ax －1＝
－2ax 2－2a ＋1x
1＋x
，
由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得14
a =-. …4分
又当1
4
a =-时，f ′(x )＝
1
2x 2－
1
2
x
1＋x
＝
12x x －1
1＋x
，
当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极大值，所以1
4
a =- . (2)要使f (x )在区间[－12，－1
3]上有单调递增区间，
即2
(21)0ax a x -2-+>在区间[－12，－1
3
]上有解
即要求2ax ＋(2a ＋1)>0在区间[－12，－1
3]上有解，
即在区间[－12，－13]上，min
121a x -⎡⎤
>⎢⎥+⎣⎦ 而11x -+在区间[－12，－13]单调递增，所以1a >-
综上所述，(1,)a ∈- +∞． 22．(本小题满分12分)
设函数2
()ln(1)1f x x ax x =-+++，2
()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； 【解析】（Ⅰ）函数的定义域是
，
．
当
时，
，
．
所以函数
在点
处的切线方程为
．
即．
（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得．
①当时，函数只有一个零点；
②当，因为，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
因为，所以，所以，所以
取，显然且
所以，．
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．
③当时，由，得，或．
ⅰ) 当，则．
当变化时，变化情况如下表：
+－+
↗↘↗
注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．
ⅱ) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．
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灿若寒星 若，则． 当变化时，
变化情况如下表：
+ － +
↗ ↘ ↗ 注意到当时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，的取值范围是。