2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(六)(原卷版)

2020年高考金榜冲刺卷（六）
数学（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B C A B ===⋂，则C 的子集共有（ ）
A ．6个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
2．若a ，b 均为实数，且3i
2i 1i
a b +=+-，则ab =（ ） A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
3．已知2020
1log πa =，2020
1πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1π2020c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b a c << D ．a b c <<
4．已知tan 3α=，0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则()sin2cos απα+-的值为（ ）
A B C D 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ）
A ．
π238+ B ．π+3
8
C ．π24+
D ．π+4 6．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意
一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，
则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值b
C ．定值c
D ．不确定，随P 点位置变化而变化
8．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155A
B A
C +u u u
v u u u v
B ．2155AB A
C +u u u
v u u u v
C ．481515
AB AC +u u u v u u u v
D ．841515
AB AC +u u u v u u u v
9．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）
A ．
2
3
B ．
13
C ．
16
D ．
112
10．将函数2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得
图像向左平移12
π
个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
（ ） A ．24
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．524
x π
=
D ．12
x π
=
11．已知过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2220x y x +-=于M ,N 两点,其
中P , M 位于第一象限,则14
||||
PM QN +的值不可能为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知函数()()32,12ln ,11x x x f x a e x x x x ⎧-+<⎪
=⎨-≥⎪
+⎩
，若曲线()y f x =上始终存在两点,P Q ，使得OP OQ ⊥，且
PQ 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）
A ．()0,+∞
B ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[
),e +∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设0m >，:0p x m <<，
:01
x
q x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是____________．（只需填写一个满足条件的m 即可）
14
．
2
22
(sin 3x x dx -++=⎰
____________．
15．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的
取值范围是____________．
16．如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=o ，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为____________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设(1)n
n n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18．（12分）如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形，
//AB CD ，
AB = BC DC ⊥，
BC DC AM DM ====BDMN 为矩形.
（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；
（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4
π
？若存在，确定点H 的位置并加以证明.
19．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验. （1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？
20．（12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>将圆22
8:5O x y +=的圆周分为四等份，且椭圆C 的离心率为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且MN 的中点为01,4P x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，线段MN 的垂直平分线为l '，直线l '与x 轴交于点(),0Q m ，求m 的取值范围.
21．（12分）已知函数()x f x e ax =-，()ln g x x ax =-，a R ∈.
（1）当a e <时，讨论函数()x
f x e ax =-的零点个数．
（2）()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln x m G x e e x =-的最小值．
(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为cos sin 2
x y θθθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程;
（2）若直线1l 、2l 的极坐标方程分别为()6
R π
θρ=
∈，()23
R π
θρ=
∈，设直线1l 、2l 与曲线C 的交点分别为M 、N （除极点外），求OMN ∆的面积. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知a b c R ∈，，，2221a b c ++=． （1）求a b c ++的取值范围；
（2）若不等式2
|1||1|()x x a b c -++≥-+对一切实数a b c ，，恒成立，求实数x 的取值范围．。