(部编版)2020高中数学第二章2.3.1平面向量基本定理同步优化训练新人教A版必修159

2.3.1平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,=b ，则AM 等于( ) A.
21(a -b ) B.21(b -a ) C.21(a +b ) D.2
1
-(a +b ) 答案：C
2.如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，这里λ1、λ2是实数
C.对实数λ1、λ2，λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对
解析：平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；C 中的向量λ1e 1+λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的. 答案：A
3.如图2-3-1，D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下列命题： ①AD =21-
a -
b ;②BE =a +21b ;③CF =21-a +2
1
b ;④CF BE AD ++=0. 其中正确命题的序号为_______________________.
图2-3-1
解析：如图所示，+==-b +
21=-b 2
1
-a ,
+==a +
2
1
b ,+==-b -a , =+21=b +21(-b -a )=21b 2
1
-a ,
CF BE AD ++=-b 21-a +a +21b +21b 21
-a =0.
所以应填①②③④.
答案：①②③④ 4.如图2-3-2，
ABCD 的两条对角线相交于点M ，且=a ，=b ，用a 、b 表示、、和.
图2-3-2
解：在
ABCD 中，
∵AD AB AC +==a +b ,AD AB DB -==a -b , ∴MA =-
21AC=-21(a +b )=-21a -2
1b , MB =
21DB =21(a -b )=21a -21b ,
=
21=21a +21b ,-==-21a +2
1b .
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.向量,,的终点A,B,C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )
A.r =21-
p +23
q B.r =-p +2q C.r =23p 2
1
-q D.r =-q +2p
解析：由3-=，得)(3OC OB OA OC --=-， 即32+-=.∴=21-+23，即r=21-p +2
3
q . 答案：A
2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则用,表示为( ) A.=+λ B.=λ+(1-λ)
C.OP =
λλ++1 D.OP =λ1OA +
λ
-11
OB 解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)，即=λ
λ++1.
答案：C
3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A,C)，则AP 等于( ) A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,
22) C.λ(AD AB -),λ∈(0,1) D.λ(BC AB -),λ∈(0,
2
2)
解析：∵点P 在对角线AC 上，∴与共线. 又+=,
∴=λ(+).当P 与A 重合时,λ=0;当P 与C 重合时,λ=1. 答案：A
4.(2006高考安徽卷，理14)在
ABCD 中，=a ，=b ,3=,M 为BC 的中点，则
=_________________(用a 、b 表示).
解析：+==21+41=21+4
1
(+) =
21b +41[-b +(-a )]=4
1
(b -a ). 答案：4
1
(b -a )
5.如图2-3-3所示，四边形ABCD 为矩形，且AD=2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 中点，=e 1,=e 2,以e 1、e 2为基底，表示向量、、及.
图2-3-3
解：∵=e 1,=e 2,∴=e 2-e 1. 依题意有:AD=2AB=DE,且F 为ED 中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形. ∴AF BD ==e 2-e 1,EF AB ==e 2. ∴+==e 2-e 1+e 2=2e 2-e 1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△ABC 中，设AB =m,=n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______________,
=_____________________.
解析：由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得=31,BE=3
2
，转化为已知向量即可. 答案：
32m+3
1
n 31m+32n
2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C 满足=α+β，其中，α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为________________________________.
解析：将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案：x+2y-5=0
3.如图2-3-4所示，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM =c ,=d ,试用c ,d 表示和
.
图2-3-4
解：设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得
=
21b ,DM =2
1a . 从△ABN 和△ADM 中可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+=+c a b d b a 21,2
1解之，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=),2(3
2
),2(3
2
d c b c d a
即=
32(2d -c ),=3
2
(2c -d ). 4.如图2-3-5所示，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是线段CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，MH∥AF.求证：
==
.
图2-3-5
证明：M 为AB 中点，MH∥AF，则==x .
设=a ，=b ,=
2a
+x ，=a +2x . 又E 为CM 的中点，=21=2
4x
a +.
=2a b -,=2
1
=42a b -.
又EF AF AE -==(a +2x)-(2
4x
a +).
由=+,(a +2x)-(24x a +)+(4
2a b -)=b ,
2a +23x +2
b
=b ,3x =b -a ,x =31(b -a ).
==31(b -a ),而=(b -a )3
2
-(b -a )=31(b -a ).
∴FC HF BH ==.
5.如图2-3-6所示的△OAB 中，OA =a ，OB =b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM =31a ，ON =2
1
b ，设AN 与BM 相交于点P ，用向量a 、b 表示
.
图2-3-6
解：OM +=,+=. 设m =,m =，则
m OM +==31
a +m(
b 31-a )=3
1(1-m)a +m b ,
NA n ON OP +==
21b +n(a 21-b )=2
1
(1-n)b +n a . ∵a ,b 不共线，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-m n n m )1(21)1(31
⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.52,5
1m n ∴=
51a +5
2
b . 6.如图2-3-7,已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E ，O 是任意一点.求证：
4=+++
.
图2-3-7
证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点，∴CE EC AE -==,DE ED BE -==. 在△OAE 中，=+,
同理，=+,=+,=+ 以上各式相加，得4=+++. 7.证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，令AB =a ,AC =b 为基底，则BC =b -a ,AD =
21a +21b ,BE =2
1
b -a
.
设AD 与BE 交于点G 1，并设1AG =λAD ,1BG =μBE , 则有BG CG -=11=
2λa +2λb -b =2
λa +22
-λb ,
AG CG -=11=a -b -μa +2
μ
b =(1-μ)a +22-μb ,
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.222
2,12μλμλ
解之，得λ=μ=3
2
. ∴1AG =
3
2
AD . 设AD 与CF 交于点G 2，同理可得1AG =
3
2
. ∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF 相交于同一点. ∴三角形的三条中线交于一点. 快乐时光
感 想
A ：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？
B ：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高. A ：何以见得呢？
B ：人家大人小孩都会说英语.。