利用非负巧解题
走进中考-----巧用“非负性解题”
走进中考--------巧用“非负性解题”非负性的含义是指大于或等于零。
在初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性；平方的非负性；二次根式的双重非负性，即它的被开方数和它的值都是非负的；一元二次方程有实根的条件，即根的判别式为非负；以及方差的非负性。
下面从六个方面举例说明它们的运用：一、利用绝对值的非负性解题【例1】的值。
求已知32,012y x y x -=+++解析 由绝对值的非负性知，.01,02≥+≥+y x 要这两个非负数之和为0，只有每一个非负数都为0，即，.01,02=+=+y x 从而01,02=+=+y x ，所以1,2-=-=y x ，所以()().514123232=+=---=-y x 练习1： ()的值。
求已知2017,0201712017ab b a =+++ 二、利用平方的非负性解题【例2】若()0542=-++-y x x ，计算：=++4322y xy y x ________________。
解析 根据绝对值和平方的非负性质，得⎩⎨⎧=-+=-0504y x x ，解得⎩⎨⎧==14y x ， 所以294114144322322=+⨯+⨯=++y xy y x 。
练习2：已知(),012,2=++-y x y x 满足则=-y x三、利用二次方根的被开方数的非负性解题【例3】已知2133+-+-x x y ，化简144122+---y y y 。
解析 因为2133+-+-x x y ，由二次根式的被开方数为非负性知：0-303≥≥-x x 且，从而x=3，所以21 y 。
故有()()021211212144122=---=---=+---y y y y y y y 。
练习3：若a,b 为实数，且()2015,011ab b a 求=-++的值。
四、利用算术平方根的非负性解题【例4】设x 、y 为实数，且0742=++-y x ，求y x -的值。
解析 根据算术平方根的非负性知，07,042≥+≥-y x ，又因为它们的和为0。
例谈绝对值问题的求解方法
例谈绝对值问题的求解方法在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。
一、定义法----- x —X—1597 = 0例1 若方程^7' 只有负数解，则实数a的取值范围是：。
分析与解因为方程只有负数解，故'-■"!'，原方程可化为：-一+1 x = -199711997 丿+1> 0, ■ a >-1997即-厂说明绝对值的意义有两点。
其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。
利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的二、利用非负性例2 方程刪+1工7 + 1卜°的图象是((A)三条直线：■「―|■工.-f ；(B) ................................. 两条直线：「:■'(C)一点和一条直线：(0, 0), - 1 1 1(D)两个点：(0, 1), (- 1, 0)=叶闵啊-炖十血啊-问）=（同-01）（1 必 1+亦）=（卜卜怦）（70+处）=0说明 本题根据公式1I = H ，将原式化为含有同 的式子，再根据绝对值的定义求值。
四、分类讨论法分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 矽二0.兀一尹+1 =解之得: 故原方程的图象为两个点(0, 1),(- 1 说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符 题转化为其它的问题来解决。
0)。
去掉，从而将问 三、公式法例3 已知必V 。
，求邢卜『同+必也卜购分析与解 丫宀涉同牯圈， ...原式*冲|-甘巾|+必(同-同)的值或小” -1例4 实数a满足同+ "°且"-1，那么"1分析与解由1'1_，'可得心且】。
当-1 时，*卜1. ”1*+1| 一口十］一说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号, 这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。
巧用非负数解题
２０ 年第 １ ０８ 期
◇ 能力 培 养◇
巧 用 非 负 数 解 题
夏 坤 学
（ 贵州省余庆县城关 中学 ，６４０ ５４０ ）
初 中阶段 常 见 的非 负 数 的 形式 有 三 种 ：
实数的偶次方为非负数 ； 实数 的绝对值 为非
数根 ． ２ 解 方 程 ．
一
则有
ｌ＋ ｌ＝０．
例２ 当口ｂ 、 为何值时 ， 方程 ＋ （ ＋口 ＋（口 ＋４ ｂ＋ ６ ＋２ ＝ ） ３２ ａ ４２ ） ０ Ｘ２ ２１
有实数 根 ？
解｛ 得７ １
３判 别方 程的根 ．
例 ５ 已知关于 的一元二次方程
＋２ ｘ—ｍ ＋１ ＝０ ① ②
解： 因为方程有实数根 ， 所以， Ａ ２ １ ） ４×１ ３ ４ ｂ＋ ＝［ （ ＋口 ］ 一 ×（ ａ ＋ ａ
负数 ； 算术根亦为非负数 ． 常用的非负数 的性 质有三个 ： 如果几个非负数的和为零 ， 则每个 非负数必为零 ； 非负数的和、 商（ 积、 除数不能
为零） 仍为非 负数 ； 最小 的非负数是零 ， 最 无
大非 负数 ．
例 ３ 解方程 ：
＋２ｌ ＋３ ｙｌ＝０．
解： 由非负数的性质得
４ 证明等 式或不 等式 ． 例 ６ 已知
（３ 一 口＋ ＋（ 口＋ １ ＝ ０
．
例 ８ 三角形的三边 口 ｂ Ｃ 、 、 适合
口 ＋ ｂ ＋ Ｃ ＋３ ８＝ １ ３ ０ａ ＋２ ４ｂ＋２ ６ｃ．
则此三 角形 是 （
） ．
求证 ：（ ） ． Ｃ Ｃ 一３ ＝ｂ
中学 教与学
对 于方程 ②
２ ｃ＋ １ ）＋丁一３ ｃ
巧妙构造二元一次方程组解题
巧妙构造二元一次方程组解题学习了二元一次方程组以后，可以利用构造二元一次方程组的方法解决许多问题，现举几例加以说明。
一 利用二元一次方程组的解构造例1方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩ 求ａ＋ｂ的值 解题思路：根据已知条件把方程组的解代入方程组中，即可以转化得到新方程组，解新方程组可得ａ、ｂ的值。
解：把21x y =⎧⎨=⎩代入45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩中，得⎧⎨⎩2a+b=4 ①2b+a=5 ②由①得 ｂ＝2a －4 ③把③代入②，得2（4－2ａ）＋ａ＝5 解，得ａ＝1把ａ＝1代入③得ｂ＝2所以 ａ＋ｂ＝3另解为：把21x y =⎧⎨=⎩代入45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩中，得⎧⎨⎩2a+b=4 ①2b+a=5 ②①＋②，得 3ａ＋3ｂ＝9 所以ａ＋ｂ＝3练习：1、已知,12⎩⎨⎧==y x 是方程,513⎩⎨⎧=+=-by x y ax 的解，求b a ,的值 2、若方程3x a+3b-3+2y 2a+b-2=6 是关于x 、y 的二元一次方程，求a 、b 的值3、已知方程组52ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，求a ，b 的值． 二 利用同类项的定义构造例2 已知4313x a -ｙ＋ｂ和123y a --2x-2ｂ是同类项，求ｘ、ｙ的值解题思路：根据同类项的定义ｙ＋4＝2ｘ－2，3ｘ－1＝1－2ｙ，将这两个二元一次方程一起组成方程组即可求出ｘ、ｙ的值。
解：∵4313x a -ｙ＋ｂ和123y a --2x-2ｂ是同类项∴ｙ＋4＝2ｘ－2，3ｘ－1＝1－2ｙ将这两个将这两个二元一次方程一起组成方程组，得4223112y x x y +=-⎧⎨-=-⎩ ① ② ①×2＋②，得 7ｘ＝14，ｘ＝2把ｘ＝2代入①，得ｙ＝－2∴ｘ＝2，ｙ＝－2练习：1、若y x x ba 323+-与63b a y +是同类项，求y x +的值. 2、已知a b y x 352+与b a y x 4223--是同类项，求a b 的值三 利用方程组同解构造例3已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求ａ、ｂ的值。
利用基本不等式巧解数学竞赛题
48 福建中学数学 2020年第8期利用基本不等式巧解数学竞赛题方志平广东省惠州市第一中学（516007）基本不等式是高中数学的一个难点，一些复杂的最值问题或不等式证明问题，可通过适当的技巧处理，创造性地使用基本不等式．巧妙地运用基本不等式常能使一些问题得到漂亮的解决，且产生意想不到的效果．基本不等式也是历年来高中数学竞赛中必不可少的内容，下面通过几例说明基本不等式在高中数学竞赛中的奇思与妙用．1 巧解与根式有关的问题例1 （2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题）设非负实数a b c，，满足ab bc ca a b c++=++0 >的最小值为（）．A．2 B．3 CD．解不妨设a b c≥≥，由均值不等式得：(a b c++(((a b b c c a=+++(++(((a b b c c a≥++++≥+2()ab bc ca=++．又0ab bc ca a b c++=++>，2≥，当且仅当0c=且a b=时，等号成立．由0c=，a b=，ab bc ca a b c++=++，得2a b==，0c=．故当a b c，，中有两个为2，一个为0时，取得最小值为2．故选A．评注由于0ab bc ca a b c++=++>，乘上a b c++，经适当组合、放缩，并用均值不等式，产生因式ab bc ca++，问题很快得到解决．其构思巧妙，解法新颖，独辟蹊径！例2 （2015年全国高中数学联赛山西省预赛试题）设a=，其中x y++ 1z=，0x y z≥，，，则[]a=．解由2(31)(31)(31)a x y z=+++++++3[(31)(31)(31)]18x y z≤+++++=，则5a≤<．又[01]x y z∈，，，，2x x∴≥，2y y≥，2z z≥，于是a≥(1)(1)(1)4x y z=+++++=，45a∴≤<，故[]4a=．评注本题先将a平方，再用均值不等式将根式化为整式，充分利用条件1x y z++=得出a的上限．条件中隐含[01]x y z∈，，，，即2x x≥，2y y≥，2z z≥，再放缩变形得出a的下限，问题顺利解决．2 巧解与整式有关的问题例3 （2017年全国高中数学联赛四川省预赛试题）已知实数123x x x，，满足：22212312x x x x x++++ 232x x=，则2||x的最大值是．解由22212312232x x x x x x x++++=，得2221231223222224x x x x x x x++++=，即2222112233()()4x x x x x x+++++=，由222()2a ba b++≥，得22221122334()()x x x x x x=+++++2222112233[()()][()()]x x x x x x=−+++++−222222x x≥+，224x∴≤，即2||2x≤，当131x x==−，22x=时，取等号．所以2||x的最大值是2．评注由于本题是求2||x的最大值，所以在运用基本不等式的变形公式时，巧妙变形、放缩，消去13x x，并保留2x，从而使问题获解．例4 （2011年全国高中数学联赛河北省预赛试题）已知2221a b c++=，则ab bc ca++的取值范围是．解222222222a b b c c aab bc ca+++++≤++2221a b c=++=，2222()()|()|22a b c a b ca b c+++++≤⇔−22()()2a b ca b c++≤+≤，2020年第8期 福建中学数学 49当且仅当a b c =+时，右边等号成立； ()a b c =−+时，左边等号成立．22()()2a b c ab bc ca a b c bc bc++∴++=++≥−+ 222122a b c ++=−=−，当且仅当0a b c ++=且2221a b c ++=时取等号． 故1[1]2ab bc ca ++∈−，．评注 在运用基本不等式解题时，我们常遇到某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件．此时，基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能．以基本不等式的取等条件为出发点，通过恰当凑配、组合，常常能将问题得到有效的解决．例5 （2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题）实数x y z ，，满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值为 ．解 2222222111()()22x y z x y y z =++=+++≥|||)|xy yz xy yz =+≥+，xy yz ∴+≤． 当12x =，y =12z =，或12x =−，y =，12z =−时取等号． 故xy yz +的最大值为2． 评注 依条件与结论的结构形式，不难想到将2y 等份拆分，利用基本不等式问题迎刃而解． 3 巧解与分式有关的问题例6 （2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题）若x y z ，，均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z S xyz+=的最小值为 ．解 22221xy x y z ≤+=− ，0x y z >，，，222(1)(1)12(1)(1)z z z S xyz z zz z +++∴=≥=−− 1[2(1)][(1)1]z z z +=−++−123[(1)]1z z =−+++3≥+．当且仅当1z =，x y ==时，上式等号成立，min 3S =+评注 求2(1)2z S xyz +=的最小值，就是将2(1)2z xyz+缩小，即分母放大，利用基本不等式2221xy x y ≤+= 2z −代换，达到消元目的，为解决本题创造了条件． 例7 （2018年全国高中数学联赛湖南省预赛试题）设1a b +=，0b >，0a ≠，则12||||a a b+的最小值为 ．解12||2||||||a a b a a b a b++=+2||()||||||a b a a a a b a =++≥+||aa + 其中等号成立的条件是2||||b a a b=，即222b a =． 当0a >时，12||1||||a aa b a +≥+=，当且仅当1(0)a b b b +=>=，，即1a =，2b =时， 12||||a a b+取最小值1． 当0a <时，12||1||||a aa b a +≥+=，当且仅当1(0)a b b b +=>= ，，即1)a −，2b −时， 12||||a a b+取最小值1． 评注 本题中的a 是正负不定的，不能直接运用基本不等式，必须要分类讨论．综上，利用基本不等式求最值，要把握三个条件，即“一正——各项都是正数； 二定——和或积为定值； 三相等——等号能取得”，这三个条件缺一不可．有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过凑项、拆项、变系数等方法使之能运用基本不等式．。
巧用算术平方根的非负性解题
巧用算术平方根的非负性解题
我们知道,当a≥0时，式子叫做a的算术平方根，由此可知，在式子中就有两个非负整数：①a≥0；②这两个非负性有着极为广泛的应用。
一、单独得用中a≥0解题
例1：要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（）
（A）、（B）、（C）、（D）、
解：根据算术平方根的被开方数的非负性，有2x+3≥0, ;故选（A）。
例2：已知a,b是有理数，且则a·b的值是（）
（A）、0 （B）、1‘（C）、-1 （D）、12
解：由算术平方根的被开方数的非负性，等式成立的条件是：
即：所以a=4把a=4代入已知等式得：
b=3故a·b=4×3=12应选（D）
二、单独应用≥0解题
例3：已知，则x-y的值为。
解：根据算术平方根的非负性及任何数和式子的平方的非负性有；又结合已知条件得所以x=-3，y=1所以x-y=-3-1=-4
三、同时利用a≥0和≥0解题
例4：若m·n≠0，则式子成立的条件是：
（A）、m>0,n>0（B）、m0 （C）、m0,n0故选（B）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
中考数学复习指导：巧用二次根式两个非负性解题
巧用二次根式两个非负性解题一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.注意到a 表示非负数a 的算术平方根，那么二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a 的值，另一个是二次根式a 的值.解答某些与二次根式有关的问题时，要注意灵活巧用这两个非负数.一、确定取值范围问题例1如果2211a a a ，那么a 的取值范围是（）（A ）a ＝0（B ）a ＝1（C ）a ＝0或a ＝1（D ）a ≤1 .解：已知等式即为2211a a a .因为221a a ≥0，所以1a ≥0，a ≤1，应选D .例2已知3233x x x x ，那么（）（A ）x ≤０（B ）x ≥－3（C ）０＜x ＜3（D ）－3≤x ≤０．解：由323x x ≥０，得3x x ≥０．因为3x ≥０，x ＋3≥０，所以－x ≥０，x ≥－3．所以－3≤x ≤０，应选D ．二、化简问题例3当ab ＜0时，化简2ab ，得（）（A ）b a （B ）b a （C ）b a （D ）b a .解：在2ab 中，因为2ab ≥0，所以ab b ≥0 .因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0 .原式＝2b a b a ，应选 A .三、求值问题例4若x 、y 都为实数，且21124x x y ，则xy 的值为（）（A ）0 （B ）12（C ）2（D ）不能确定.解：由21x ≥0，12x ≥0，得2x ≥1，2x ≤1 .所以2x ＝1，x ＝12 .所以y ＝4, xy ＝2，应选 C .例5已知5260x y x ，则31x y ______ .解：在5260x y x 中，因为5x ≥0，26y x ≥0，所以5x ＝0，260y x .所以5x ，16y ，31x y 0 .。
二次根式全章教案(8课时)
初二数学二次根式全章教案授课时间：年月日第周星期课时序号一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的，记为x =，（2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的，记为x =， （3）计算下列各式的值：=，=，=，=，=，2)9(=，2．一般地我们把形如（）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34， )0(3≥a a ， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）， 5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？ （3）当0≥a 时，a 是什么数？教 学 过 程 设 计2)3(________)(2=a【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）； （2）x 322- （3）2)2(-x （4）x--21 3.若，则= ，4．已知，求xy的值．【收获感悟】：， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（）， A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115a 的值为___________． 6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________. 7．已知+3，求y x 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值．四、小结：1．二次根式的概念：； 2.二次根式的性质：（1），（2）； 3．巧用非负数解题． 五、作业：《作业本》第1页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 43-x 20a -2a b -一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题 1.计算：=24=23.0=2)52(=20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时2．计算：=-2)4(=-2)3.0(=-2)52(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a = 4．化简下列各式：（1）=22.0（2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a =（0<a ）5．代数式：用基本运算符号把连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质： （1）双重非负性：a 0（） （2）()=2a （） （3） =2a2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？教 学 过 程 设 计3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________； 4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值.四、小结：1.二次根式的性质：，，；2．灵活运用二次根式的性质解题. 五、作业：《作业本》第2页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①×=______ ，=_______ ② × =_______ ，=_______ ③ × =_______ ， =_______ ⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想b a ∙＝()0,0≥≥b a (二次根式乘法法则)再例举两个例子验证你的猜想：； 2、计算× ＝；×＝ ；274∙＝ ；123∙＝3、乘法公式反过来得到：=ab ()0,0≥≥b a ，4、填空：⑴=∙=⨯=24248；=∙=⨯=292918；⑵请你用上述方法化简下列二次根式： 12＝； 27＝； 48＝； 72＝； 98＝； 250x ＝；二、合作、交流、展示：1.二次根式的乘法法则：b a ∙＝，注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？）2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）=ab 注意：⑴性质成立的条件是：（为什么？） ⑵如何化简：()()94-⨯-？4994⨯16252516⨯1003636100⨯23563、例题1 计算：⑴3127⨯ ⑵4510152⨯ ⑶1531372⨯-例题2 化简：⑴()()8116-⨯- ⑵3225b a ⑶4499ab ⑷【收获感悟】：如何进行二次根式的化简，例题3 计算：⑴714⨯ ⑵10253⨯ ⑶ xy x 31122⨯-三、巩固与应用 1、等式成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-12、下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8B ．5×4=20 C.5×2=10 D ．y x y x +=+224、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面： ⑴=32 ； ⑵313＝；⑶ －=62 5、比较下列两数的大小：⑴227 ⑵347 ⑶23-32-6、已知一个三角形的一条边长为502，这条边上的高为83，求这个三角形的面积.7、计算：（1）6×（-2）； （28、（拓展）化简⑴a a 1 ⑵aa 1-四、小结：1．二次根式的乘法法则：； 2.积的算术平方根的性质：， 五、作业：《作业本》第3页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 2212b a 1112-=-∙+x x x 55532532686一、课前导学：学生自学课本第8-9页内容，并完成下列问题 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质b a ∙＝，=ab2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1；（2； （3；（4．你能发现什么规律呢？一般地，对二次根式的除法规定：二次根式的除法法则商的算术平方根的性质 4、计算：（1）312（2）16141÷5、化简：（1）257（2）932（3）)0,0(42522≥>b a a b 二、合作、交流、展示：仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目1、计算：（1（2（3）52154【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，教 学 过 程 设 计被开方数之商为被开方数。
数学学习的奇技淫巧解决数学难题的技巧分享
数学学习的奇技淫巧解决数学难题的技巧分享数学学习一直以来都是让人头疼的问题，尤其是面对那些复杂的数学难题时，更是令人望而生畏。
然而，正因为数学的复杂性，也促使了人们不断探索各种技巧和方法，以便更好地解决数学难题。
本文将分享一些奇技淫巧，帮助你更有效地解决数学难题。
一、抽象化思维在解决数学难题时，抽象化思维是非常重要的一步。
抽象化思维指的是将问题中的具体概念和实体抽象化，找到问题背后的本质规律。
例如，在解决代数方程时，可以将未知数用字母代替，从而将问题抽象化为一个方程，更加便于分析和求解。
二、利用模式数学中存在许多模式和规律，善于利用这些模式可以帮助我们更快地解决难题。
例如，在解决数列问题时，可以观察数列中的数值之间的关系，寻找规律并推断下一个数的值。
又如，在解决几何问题时，可以利用图形的对称性、相似性等特点，简化问题的求解过程。
三、分解与归纳将复杂的问题分解为更简单的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终达到解决整个问题的目标。
这种分解与归纳的思维方式有助于我们理清问题的思路，避免陷入思维的混乱。
例如，在解决数论问题时，可以将问题分解为证明某个命题的多个步骤，然后逐个证明每个步骤的正确性，最终得到整个问题的解答。
四、假设与推导在解决一些复杂的数学难题时，可以通过假设和推导的方式来分析和求解。
假设一个条件成立，然后根据已知条件进行推导，最终得出结论。
如果得出的结论与问题相符，则假设成立；如果不符，则进行修正并重新假设。
通过不断的假设与推导，最终可以得到解决问题的答案。
五、与他人合作数学并不是个人的修炼，与他人的合作与交流对于解决数学难题非常重要。
和同学或老师进行讨论，分享彼此的思路和方法，相互帮助和启发。
在合作中，我们可以从其他人的角度和思维方式中汲取灵感，从而提高解题的效率和准确性。
六、勤于实践数学学习需要不断的实践和训练，只有通过大量的练习才能熟练掌握解题技巧。
每日坚持做一些数学习题，通过实际操作来加深对数学知识的理解和掌握。
非负数的性质专项训练(含答案)-
非负数的性质专项训练一、选择题1．一个数的相反数与该数的倒数的和等于0，则这个数的绝对值等于（） A．2 B．-2 C．1 D．-12．若│x-12│+（2y+1）2=0，则x2+y2等于（）A．38B．12C．-18D．-383．一个有理数和它的相反数之积（）A．一定大于0 B．一定小于0 C．一定不大于0 D．一定不小于0 4．两个不为0的数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么（）A．两个数相等 B．两个数互为相反数C．两个数互为倒数 D．两个数相等或互为相反数5．若│a│=2，-b=3，则a+b的值是（）A．-1 B．5 C．-1或-5 D．1或-56．-27的倒数与绝对值等于23的数的和等于（）A．251725208 (666212121)B C D8或-或-7．若│x│=5，│y│=3，则│x+y│等于（）A．8 B．±8 C．8或2 D．±8或±28．负16与正21的和的相反数可以列式为（）A．-16+21 B．-（16-21） C．-（-16+21） D．16+21 二、填空题9．-23的相反数与-4的绝对值的差是_______．10．若两个数的差为0，且这两个数互为相反数，则这两个数是_____．11．一个数与它的倒数相等，这个数是________．12．一个数的倒数的相反数是315，这个数是_______．13．平方得64的数是_______，立方得64的数是_______．三、解答题14．已知a ，b 互为相反数，且都不为0，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是5，求2007（a+b ）+cdx+2a b的值．15．已知（x-1）2+│y-2│+│z-3│=0，求x 2+y 2+z 2的值．16．已知x 是最小的正整数，y ，z 是有理数，且有│2+y │+（3x+2z ）=0， 求式子2244xy z x y +-++ 的值．17．设M=（12005）2005×（-2005）2006，N=（-5）10×（-6）11×（-130）10=-1998， 求（M+N ）2007的值．答案:1．C [提示：±1的相反数与该数的倒数的和等于0，但±1的绝对值都是1，故选C．]2．B [提示：可根据x-12=0，2y+1=0得x=12，y=-12，所以x2+y2=（12）2+（-12）2=14+14=12．]3．C [提示：0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，所以一个有理数和它的相反数之积一定不大于0，故选C．]4．D [提示：相等两个数的商为1，互为相反数的商为-1，交换了分子、•分母的位置，商仍为1或-1，故选D．]5．C [提示：│a│=2，-b=3，所以a=±2，b=-3，所以当a=2时，a+b=2+（-3）=-1；当a=-2时，a+b=-2+（-3）=-5，故选C．]6．B [提示：-27的倒数是-72，绝对值等于23的数是±23．所以它们的和是-72+23或-72+（-23），即-172566或-，故选B．]7．C [提示：因为│x│=5，│y│=3，所以x=±5，y=±3．当x=5，y=3时，│x+y│=│5+3│=8；当x=5，y=-3时，│x+y│=│5-3│=2；当x=-5，y=3时，│x+y│=│-5+3│=2；•当x=-5，y=-3时，│x+y│=│-5-3│=8，所以│x+y│=8，2，故选C．]8．C [提示：认真读题即可，故选C．]9．-103[提示：根据题意得-（-23）-│-4│=23-4=-103．]10．011．±1 [提示：0不能作除数，所以要除掉0．]12．-516[提示：315=165，它的相反数是-165，-165的倒数是-516，所以这个数是-516．]13．±8 414．解：因为a，b互为相反数，且都不为0，所以a+b=0，ab=-1．又因为c，d互为倒数，│x│=5，所以cd=1，x=±5．所以当x=5时，2007（a+b）+cdx+2ab=2007×0+1×5+2×（-1）=•5-2=3．当x=-5时，2007（a+b）+cdx+2ab=2007×0+1×（-5）+2×（-1）=-5-2=-7．15．解：因为（x-1）2+│y-2│+│z-3│=0，且（x-1）2≥0，│y-2│≥0，│z-3│≥0，•所以x-1=0，y-2=0，z-3=0，所以x=1，y=2，z=3，所以x 2+y 2+z 2=12+22+32=1+4+9=14．16．解：因为x 是最小的正整数，所以x=1，又因为│2+y │+（3x+2z ）2=0，且│2+y │≥0，（3x+2z ）2≥0， 所以2+y=0，3x+2z=0．所以y=-2，3×1+2z=0，z=-32． 所以2244xy z x y +-++=22341(2)()1921(2)414⨯⨯-+-=--+-+． 17．解：M=（12005）2005（-2005）2006=（12005）2005×（2005）2005×2005 =（12005×2005）2005×2005=12005×2005=1×2005=2005． N=（-5）10×（-6）11×（-130）10-1998=510×（-6）11×（130）10-1998 =510×（-6）×610×（130）10-1998=（5×6）10×（-6）×（130）10-1998 =（30×130）10×（-6）-1998=-6-1998=-2004． 所以（M+N ）2007=（2005-2004）2007=12007=1．。
湘教版八上数学-巧用二次根式的非负性解题
巧用二次根式的非负性解题
曹经富 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0；（２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、求解字母的取值范围
例1 使式子211
x x +-有意义的x 取值范围是（ ） A. 12x ≥-，且1x ≠ B. 1x ≠ C. 12x ≥- D. 12
x >-，且1x ≠ 解析：由题意知210,10,
x x +≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥-，且1x ≠．故选A ． 点评：本题考查了二次根式、分式有意义的理解与运用.一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，进而构建不等式（组）求解.
二、求解相关字母的值 例2 已知实数x ，y ，m 满足 2x ++|3x+y+m|=0，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞6
B ．m ＜6
C ．m ＞-6
D ．m ＜-6
解析：根据题意，结合非负数的性质，得2x +=0，|3x+y+m|=0.
所以x 203x y m 0.+=⎧⎨++=⎩，解得26.x y m =-⎧⎨=-⎩
， 所以6-m ＜0，解得m ＞6．故选A. 点评：两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，本质上是解方程（不等式）与代数式求值. 这类题型一般有如下形式：,0||,0=+=+b a b a 0||,022=++=+c b a b a 等.。
七年级数学巧用非负性专题练习(含答案)
七年级数学巧用非负性专题练习
试卷简介:全卷共3道选择题，主要考察的是学生们非负性的应用，题目虽然简单，但是考察的范围确实非常广泛的，而且非负性在学生的月考中占有很大的分量，是非常重要的一部分。
学习建议:熟练掌握非负性在绝对值和偶次幂的概念，从而明白非负性在题目中的应用。
一、单选题(共3道，每道10分)
1.已知（a+b）2+|b-5|=5-b，且|2a-b-1|=0，那么ab为（）
A.
B.
C.
D.1
答案：A
解题思路：由绝对值和偶次幂的非负性可以判断出a+b=0，再由|2a-b-1|=0可以判读出a=，
而b=从而可以判断出ab=；
易错点：不能由非负性判断出a、b的值进而不能求解
试题难度：三颗星知识点：绝对值
2.已知x，y满足|y-1|+（x-4）2=0，求x+y的值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：C
解题思路：由绝对值和偶次幂的非负性判断出y=1，x=4，进而判断出x+y=5；
易错点：不能由绝对值和偶次幂的非负性判断出x、y的值进而不能算出结果
试题难度：二颗星知识点：绝对值
3.如果|ab-2|+|b-1|=0，求式子的值为（）．
A.
B.
C.
D.
答案：A
解题思路：由绝对值的非负性可以判断出ab-2=0，b-1=0，从而得出b=1，a=2代入代数式可
得，裂项得=。
易错点：不能由绝对值的非负性判断出a、b的值，进而利用裂项相消的办法算出代数式的值
试题难度：三颗星知识点：绝对值。
根式的运算技巧
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4）31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
√a的两个非负性及其应用
√a的两个非负性及其应用
于莹;张洪绪
【期刊名称】《现代中学生：初中学习版》
【年(卷),期】2010()6
【摘要】同学们知道，√a具有两个非负性：①a是非负数，即a≥0；②√a是非负数，即√a≥0．灵活应用这两个非负性，可以巧妙地解决许多问题．
【总页数】2页(P32-33)
【关键词】灵活应用;非负性;非负数;同学
【作者】于莹;张洪绪
【作者单位】山东
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.巧用算术平方根的两个非负性 [J], 吴建英
2.用算术平方根的两个非负性解题（初一） [J], 杨再发;
3.用算术平方根的两个“非负性”求值 [J], 孟坤
4.广义Choquard-Pekar方程两个非负解的存在性 [J], 李金菊;张正杰
5.RN拟线性椭圆型方程两个非负解的存在性 [J], 张正杰;张莹
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
解方程的十五种技巧
解方程（组）的十五种技巧王永会在数学竞赛中，常遇到一些特殊形式的方程，它们结构巧妙而富有规律性，解题时应仔细的观察题目的特点，联想一些解题方法和技巧，寻找简捷的解法。
一、利用裂项例1.解方程分析：若把每项展开求解，将会带来繁杂的运算，但是我们仔细观察发现，左边两底数之和正好等于右边底数，因此可用拆项的方法求解。
解：原方程可化为由于故有解得：二、利用方差公式例2.解方程分析：方程含有四个无理数，平方是不可能的，因此我们可以用方差的性质：当S＝0时，。
解：因为所以所以解得，经检验是方程的解。
三、利用放缩性例3. 解方程解：显然是方程的一个解。
当时，左边＞右边，这时方程无实根，因此方程的根为x＝0。
四、利用对称性例4. 解方程分析：观察特点，发现方程中各项系数关于中间项对称。
解：由方程可知，则原方程变化为：即所以由得：解得：由得：解得：所以原方程的解为：，五、三角函数法例5. 解方程解：设则两式相减，得：所以，解得：所以即解这个方程，得：经检验都是方程的解。
六、配方法例6. 解方程解：原方程可变为配方得：再利用非负性得：从而求出七、构造法例7.解方程解：由题意知，由原方程得：因为<2>÷<1>得：<1>＋<3>得：解这个方程得：经检验是方程的解。
八、利用判别式例8. 求方程的实数解。
解：视y为常数，整理成关于x的一元二次方程因为x，y为实数，所以则只有解得：将代入原方程整理得：，得故原方程的实数解是。
说明：解二次方程时，若未知数的个数多余方程的个数时，常用此法。
九、利用韦达定理例9. 解方程解：原方程可变形为又由<1><2>两式及韦达定理可知是方程的两根，解得。
所以或分别解得：经检验它们都是方程的根。
十、换元法例10. 解方程解：原方程等价于设将代入<1>得：解得：（舍去）则，解得：十一、增元法例11. 解方程解：设，则所以<1>＋<2>×2整理得：解得：或所以或解第一个方程组无解，第二方程组的解为，经检验它们都是方程的根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，
２ 叶 ３ ６ １ ３ 。
解 得
．
ｆ ａ ＝ ２ ，
ｌ ｂ ＝ ３ ．
・ ．
．
【 分析 】 先 由算 术 平 方 根 和完 全 平 方 式
非负得 到关于 ０ 、 ｂ的 二 元 一 次 方 程 组 ， 解
的周 长 ．
、 ｂ的值 ， 进 而 求 出等 腰 三 角形 １０ ＞ ．运 用 算 术 平 方 根 的这 两 个 非 负 性 ， 可 方 程组 得 到 ｎ
新 题 来袭 如 何 面 对
求 出 的解 集 ， 即可 得 到 的最 大 （ ， Ｊ 、 ） 值． 方法 ２ ： 根据算术平方根 是非负数 ， 可
Ｄ．ｘ ＞－１ 且 ≠ ３
【 分析 】 由俪
取 值 范 围．
有 ｘ ＋ ｌ ＞０， Ｉ 由（ 一 ３ ） ｚ
在分母 上有 （ 一 ３ ） ｚ ≠０ ． 由此 可 得 实 数 的
的数的整数 部分 ， 进 而 得 到 这 个 数 的 大 致 【 分析 】 根 据 特 殊 有 理数 找 出 与 、 ／ 最 范 围 ．
●
＜ ＞ ●０
●０
●＜ ＞ ●＜ ＞ ●０
●０
●＜＞ ● ＜＞ ●ｏ
●０
●＜ ＞ ●＜ ＞ ●０
●０
●＜＞ ●－ ＜＞ ●＜ ＞ ●＜＞ ● ＜＞ ●０
１ 一＇
方法 ２ ： 由、 ／
＞０ ｉ ， 可知 、 ／
得 ＝ ÷． 所以 的 最大 值为÷， 故选Ａ ．
Ｊ Ｉ 】
Ａ． ７或 ８
Ｃ． ６或 ７
Ｂ． ６或 １ ０
Ｄ． ７或 １ Ｏ
由算 术 平 方 根 的 概 念 可 知 ， 式子 、 ／ （ ０ ≥０ ） 包含 两 个非 负 数 ： ①０ ≥０ ； ②＼ ／ 解 决 许 多 中考 题 ．
・
一
解： ‘ ． ‘ 、 ／４＜ ｘ ／５＜ ｘ ／９ ， 即２ ＜ 、 ／５＜ ３ ，
． ．
、
估 算 夹 逼 型
３ ＜ 、 ／ 了 ＋ １ ＜ ４ ． ｘ ＝ ３ ， ｙ ＝ ４＇ ． ． ． ｘ ＋ ｙ ＝ ３ ＋ ４ ＝ ７ ．
例 １ （ ２ ０ １ ５ ・ 四 川 自贡 ） 若 两 个 连 续
知、 ／
＞０ Ｉ ， 其 有最小 值 ０ ， 此 时 取 最
大值 ， 由２ — ３ ｘ ＝ ０解 出 即可 ．
解： 方法 １ ： 由、 ／ 二 有意 义 ， 可知 ２ 一
， ’ ，、
解 ： ‘ ． 。 代 数 式 笺 有 意 义 ．
３ ｘ ＞ ￣ ０ ， 解得 ≤÷ ， 所以 的最大值为÷ ，
李 慧祥
在 每 一 份 中考 试 题 中 ， 都 会 出 现 许 多 接近 的完 全 平 方 数 ， 进 而判 断 出 、 ／ 了＋ １的 新题 型． 新 题 型 不 断来 袭 ， 我 们 应 该 如 何 去 值 是 在 哪 两 个 连 续 整 数 之 间．
应 对 ？现 以与实 数相 关 的典 型试 题 来说 明， 供 同学 们 参 考 ．
０ ， 、 ／ 孟
＝
＋ （ ２ 叶３ ６ — １ ３ ） ２ － ＝ ０ ． Ｖ＇ — ２ ａ － ３ — ｂ ＋ ５
＝
ａ－ ３ ｂ＋５ 。Ｅ Ｌ （ ２ ａ ＋ ３ ｂ － １ ３ ） ＝ 。 ． １ ２
一
Ｏ
：
根 据 算 术 平 方 根 非 负 和非 负 数 性 质 ， 得 到 关 于 、 Ｙ和 ｍ 的方 程 组 ， 即可 求 出 ｍ 的值 ． 解： 根 据 算 术 平 方 根 的 被 开 方 数 非 负
Ａ ． 最 大 值 为 Ｃ ． 最 大值 为
３
Ｂ ． 最 小 值 为
笔 ｝ 有 意 义 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 （ ） ．
Ａ． ≥ 一１
３
Ｄ． 最 小 值 为
２
Ｂ． ≥ 一ｌ且 ≠ ３
Ｃ． ｘ＞－ｉ
２
【 分析 】 方法 １ ： 根 据 算 术 平 方 根 的 被 开方数是非负数 ， 可知 ２ — ３ ≥０ ， 解 不 等 式
ｊ
｛ ｘ （ ＋ 一 ｌ ３ ＞ Ｉ ） ０ ≠ ， 。 ． 解 得 ｘ ￣ ＞ － Ｉ 且 ≠ ３ ， 故 选 Ｂ ．
二 、利 用 。 ＞ １０解 题
故 选 Ａ．
例 ２ （ ２ ０ １ ４・ 贵 州安 顺 ） 已 知 等 腰 三
的 角 形 的 两 边 ０ 、 ｂ满 足 、 ／ ２ ３ ６ ＋ ５＋ （ ２ ａ ＋ ３ ｂ 一 最小值 为 ０ ， 此 时 取 最 大 值 ． 由２ — ３ ｘ ＝ ０解 １ ３ ） ＝ ０ ， 则 此 等 腰 三 角形 的 周 长 为 （ ） ．
●＜＞ ●＜ ＞ ●◇
●０
●＜＞ ●＜＞ ●０
●０
●＜＞ ●（＞ ●＜ ＞ ●０
●＜＞ ●＜＞ ●＜ ＞ ●＜＞ ●＜＞ ●＜＞ ●
解 ： ‘ ． ’ Ｖ＇ — ２ ａ － ３ — ｂ ＋ ５≥０ ， （ ２ ａ ＋ ３ ｂ 一 １ ３ ） ≥
代 入原 式后 得 到两个 算术 平方 根 为 ０ ， 再
【 点评 】 无理 数估算 的一般 步骤是首先
将 原数平 方 ， 看其在 哪两个 相邻 的平方数
之间， 运 用 这 种 方 法 可 以估 计 一 个 带 根 号
整数 、 Ｙ满 足 ＜ 、 ／５＋ １ ＜ ， 则ｘ ＋ ｙ的值 是
．． ．．．．． ．．．．． ．．．．． ．．．．． ．．． 一
Ｓ 鞋
《 Ｊ《 驻
利 用非 负 巧 解题
卢 加 月
２ ０ １ ５年 四 川 省 绵 阳 市 中 考 题 中 有 这
样 （ ） ．
一 ＇ １
一
、
利 用
中的 ａ ≥０解 题
例 １ （ ２ ０ １ ４・ 山 东潍坊 ） 若 代 数 式