2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

解析：如图，设 l∩α＝A，α 内直线若经过 A 点，则与直线 l 相
交；若不经过点 A，则与直线 l 异面．
答案：B
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第二十五页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[典例] (2013·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂
直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面
结束
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
作用：可用来证明点、直线在平面内． 公理2：过 不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面． 作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[类题通法] 1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三 条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可 以利用公理 3 证明． 2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件 要完善．
[试一试]
1．下列说法正确的是
()
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解析：由异面直线的定义可知选 D.
答案：D
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C．平行或异面
D．相交、平行或异面
[解析] 依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断
b，c相交、平行或异面均可． [答案] D
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中
结束
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系
是
()
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析： b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以．
答案：D
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
②如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF ∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．
又EG，FH是▱EFGH的对角线， 所以EG与HF相交．
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点，F，G分别是边BC，CD的中点． ①求证：BC与AD是异面直线； ②求证：EG与FH相交．
证明两直线是异面直 线的方法有哪些？
如何转化证明两直 线相交？
[证明] ①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，
则B，C，A，D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间 四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[典例] (1)(2013·江西省七校联考)已知直线a和平面α，
β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和
c，则直线b和c的位置关系是
()
A．相交或平行
B．相交或异面
D．3
解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对
于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个
平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可
能相交，故④错误．
答案：C
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
3．(2013·南京模拟)如图，已知：E，F，G，H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB，BC，CC1，C1D1 的中点，证明： EF，HG，DC 三线共点．
两个平面重合．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
3．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 4．证明共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系
图形语言
符号语言 公共点
直线 与平
面
相交
平行 在平面内
平面 与平 面
平行
相交
a∩α＝A a∥α a⊂α α∥β
1个 0个 无数 个 0个
α∩β＝l 无数 个
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线A1B与AD1所成角的余弦值为
()
1
2
A.5
B.5
C.35
D.45
想想
作异面直线所成的 角有哪些方法？
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[解析] 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面 直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2， A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，故cos∠A1BC1＝2×5＋55×－2 5＝45.
2．下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题的个数是
()
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
A．0
B．1
C．2
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中
点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为________． 解析：如图连接BA1.
∵BA1∥CD1，
∴∠A1BE为所求．
在△A1BE中，
设AB＝1，则AA1＝2，
∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点 共线；③判断或证明多线共点．
公理4：平行于同一条直线的两条直线 互相平行 ． 作用：判断空间两条直线平行的依据．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．求异面直线所成角的方法 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平
面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他
线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[练一练]
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，
则这四个点不共面的一个图是
()
解析： A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
答案：D
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[针对训练] 若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则
()
A．α 内的所有直线与 l 异面
B．α 内不存在与 l 平行的直线
C．α 内存在唯一的直线与 l 平行
D．α 内的直线与 l 都相交
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第二十八页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[类题通法] 用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或 直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才 是要求的角．
第二十三页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[类题通法] 1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的 推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直 线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点 的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
∴GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG与EF相交，设交点为K，则K∈HG. 又HG⊂平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面ABCD， ∴K∈平面ABCD. ∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC， ∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点．
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第十七页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
证明：连接C1B，HE，GF，如图所示．由题意知HC1綊EB， ∴四边形HC1BE是平行四边形， ∴HE∥C1B. 又C1G＝GC，CF＝BF， 故GF綊12C1B，
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类：
共面直线
平行
相交
异面直线：不同在任何 一个平面内
(2)异面直线所成的角： ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作 直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角) 叫做异
面直线a与b所成的角(或夹角)．
∴cos∠A1BE＝3
10 10 .
答案：3
10 10
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．(2013·安徽高考)在下列命题中，不．是．公理的是 ( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且 只有一条过该点的公共直线
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
②范围： 0，π2 . (3)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
解析：选项 A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的， 而公理是不需要证明的． 答案：A
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为 异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异 面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[答案] D
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第二十七页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
在本例条件下，若点P在平面A1C1内且不在对角线 B1D1上，过点P在平面A1C1内作一直线m，使m与直线 BD成α角，且α∈0，π2.这样的直线可作几条？ 解：在平面A1C1内作m，使m与B1D1相交成α角．∵BD∥ B1D1，∴直线m与BD也成α角．即m为所求．且m与BD是异面直 线，当α＝π2时，m只有一条，当α≠π2时，这样的直线有两条．