考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章 中值定理与导数的应用
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪
⎬⎫必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理
第一节 微分中值定理
极值:设)(x f 在0x 的某一邻域)(0x U 内有定义，若对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤,则称)(x f 在0x 取得极小（大）值，称0x 是)(x f 的极小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。

费马引理：设)(x f 在0x x =取极值，又)(0x f '存在，则0)(0='x f 。

在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。

可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。

定理1（罗尔定理）： 条件：
①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论：
一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。

几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =；
（2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的．
即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
【例1】（96二）设)(x f 在区间[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ和),(b a ∈η使0)(=ξf 及0)(=''ηf .
定理2（拉格朗日中值定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导 结论：一定存在),(b a c ∈，使得
)()
()(c f a
b a f b f '=--
几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线 )(x f y =；
（2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； 则在),(b a 内至少有一点处的切线平行于弦AB ．
与罗尔定理的关系：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。

A
【例2】（90一）设不恒为常数的函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且
)()(b f a f =，证明在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(>'ξf .
【例3】（95三）设)
(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使
【例4】 设)(x f 在0x 连续，在)(0x U
内可导，且A x f x x ='→)(lim 0
，则 )(x f 在0x 可导，且 A x f =')(0
【例5】 证明不等式x x x
x <+<+)1ln(1，对一切0>x 成立
推论1：若)
(x
f在f在区间I上导数恒为零，则)
(x
区间I上为常数．
'，则
推论2：若)
∀，有)
x∈
,
a
(b
f'
=
x
(x
(
)
g
(
(。

=)
)
g
C
x
x
f+
定理3（柯西中值定理）：
条件：①)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续；②在),(b a 可导；③0)(≠'x g
结论：一定存在),(b a c ∈，使得)
()()()()()(c g c f a g b g a f b f ''=-- （设曲线参数方程为⎩
⎨⎧==)()(t f y t g x ，则)()(c g c f k ''=）
f f f
【例6】设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，0>>a b ，证明：存在),(,,b a ∈τηξ，使得)(ln ln 4)()(2)(22322ττηηξξf a
b a b f a b f '--='+='
费马定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理柯西中值定理
定理4（泰勒定理——带拉格朗日余项）
条件：)(x f 在含有0x 的某开区间),(b a 内具有直到1+n 阶的导数
结论：对任意),(b a x ∈，至少存在一点ξ介于0x 与x 之间，使得
+-''+-'+=200000)(!
2)())(()()(x x x f x x x f x f x f
10)
(00)()()!
1()()(!)(++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ 该式为)(x f 在点0x 处的泰勒展开式， 其中10)1()()!1()
()(++-+=n
n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余
项。

条件：①)(x f 在含有0x 的某邻域)(0x U 内具有直到
1-n 阶的导数;②)(0)
(x f
n 存在
结论：对任意)(0x U x ∈，有
+-''+-'+=200000)(!
2)())(()()(x x x f x x x f x f x f
))(()(!
)(000)
(n
n n x x O x x n x f -+-+，其中)(0x U x ∈。

该式中余项))((0n
x x o -称为皮亚诺余项。

泰勒公式中，当00=x 时，称为麦克劳林公式，即
)
(!
)0(!2)0()0()0()()
(2x R x n f x f x f f x f n n
n ++''+'+= 其中)10()!
1()()(1
)1(<<+=++θθn n n x n x f x R
或)()(n
n x o x R =
常用的麦克劳林展开式：
)
(!.......!3!2132x R n x x x x e n n x
++++++=)(!
0x R k x n n k k +=∑= )()!
12()1(.......!3sin 121213x R n x x x x n n n ---+--++-= )()!
12()
1(121
1
21x R k x n n k k k -∑=--+--=
)()!
2()1(.......!21cos 222x R n x x x n n
n +-++-= )()!
2()1(20
2x R k x
n n k k
k +-=
∑= )
()1()()1( (1110)
32x R x x R x x x x x
n n k k
k n n
n +-=
+-++-+-=+∑=
)
()( (1110)
32x R x x R x x x x x
n n k k n n
+=
++++++=-∑=
)()1()()1(.......432)1ln(1
114
3
2
x R k
x
x R n
x x x x x x n n k k
k n n
n +-=
+-++-+-=+∑=--
泰勒公式的应用——求极限，确定无穷小的阶数1、求极限
【答案】1
1【答案】
2
2、确定无穷小的阶
【例10】（92二）当0
-是2x的
x sin
→
x时，x
（A）低阶无穷小. （B）高阶无穷小.
（C）等价无穷小. （D）同阶但非等价无穷小. 【答案】（B）
【例11】（96二）设当0→x 时，
)1(2
++-bx ax e x 是比2
x 高阶的无穷小，则
【答案】（A ）
第二节 洛必达法则
两种基本未定式：
)()
(lim x g x f x □→:
（1）00:0)(lim =→x f x □，0)(lim =→x g x □ （2） ∞∞:∞=→)(lim x f x □，∞=→)(lim x g x □
洛必达法则：
条件：
（1）满足基本未定式
（2）)(x f 与)(x g 在□的附近内可导，且
0)(≠'x g ；
（3）)()
(lim x g x f x ''→□存在（或为∞）， 结论：)()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=→→□□
注1：
注2：在用洛必达法则时，只要满足其条件，那么可以连续使用；
注3：我们在使用洛必达法则时，可以与求解极限的其它方法联合使用；
注4：在洛必达法则中条件（2）和条件（3），若有一个不成立，都说明此时不可以使用洛必达法则，需要使用其它的方法求解。

【例12】 极限x x x x x sin sin lim -+∞→存在么？能否用洛必达法则求其极限？
【答案】1
【例1
0）
【答案】1
【答案】1
【答案】0
注5：其它类型的未定式（∞⋅0，∞-∞，0∞，00，∞
1）的求解：
000∞⋅∞−−−−−→∞乘法化除法转化或，利用洛必达法则求解 1200000∞⎧−−−−→⎪⎪∞∞-∞⎨∞⎪−−−−−→⋅∞⎪∞⎩
方法：通分方法：提无穷大或利用洛必达法则求解再化成或利用洛必达法则求解 ()()ln ()()000000g x g x f x f x e =∞∞−−−−−−→⋅∞∞
，再化成或利用洛必达法则求解
()()ln ()1(()1)()()()1()()[1(()1)]0001000g x g x f x f x g x g x f x f x e f x f x ⋅-⋅-=∞=+-∞⎧−−−−−−→⋅∞⎪∞⎨⎪−−−−−−−−−−−
→⋅∞⎩∞∞
再化成或利用洛必达法则求解
利用重要极限转化为再化成或利用洛必达法则求解
【例5
【答案】0
【答案】50
－
【例7】（99一）2011
lim()tan x x x x
→-=
.
【例9
【答案】1
【例11
【答案】e
第三节函数的单调性和极值一、函数单调性的判别法
设()
f x在[,]
a b连续，在(,)
a b上可导，
结论1：()
f x在[,]
a b上严格单调上升
（下降）
⇔
在(,)
a b上
()
(0)
f x
≥
'
≤
，且在(,)
a b的任意小区间上
()
f x
'不恒等于零。

结论2：()f x 在[,]a b 上单调上升
（下降）
⇔在(,)a b 上
()
(0)
f x ≥'≤ 结论3：在(,)a b 上0
()()(0)
f x f x >'⇒<在[,]a b 上单调
上升
（下降）。

【例1】（95二）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12,x x ，当12x x >时，都有12()()f x f x >，则（ ） （A ）对任意x ，()0f x '>. （B ）对任意x ，()0f x '-≤.
（C ）函数()f x -单调增加. （D ）函数()f x --单调增加. 【答案】（D ）。