河北省邯郸市县第三中学2021年高二数学文月考试题含解析

河北省邯郸市县第三中学2021年高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
如图所示，在棱长为2的正方体中，点A,B,C为正方体的顶点，
点D,E为所在棱的中点，
由三视图换元后的几何体为四棱锥，且四棱锥的侧面底面，
点A到直线BE的距离为棱锥的高，解得高为，
所以四棱锥的体积为，故选B．
2. 点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且，，，若球O的表面积是24π，则异面直线PB和AC所成角余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：C
【分析】
首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线和所成角，通过余弦定理即可得到答案.
【详解】
设球的半径为,则，故，如图所示：分别取PA,PB,BC的中点M,N,E，连接MN,NE,ME,AE，易知，平面，由于，所以，所以
，因为E为BC的中点，则，由于M,N分别为PA,AB的中点，则，且，同理，且
，所以，异面直线和所成角为或其补角，且
,在中，，由余弦定理得：
，因此异面直线和所成角余弦值为，故选C. 【点睛】本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转化能力，难度较大.
3. 如果输入n＝3，那么执行右图中算法的结果是()。

A 输出3
B 输出
4
C 输出5
D 程序出错，输不出任何结果
参考答案：
C
略
4. 1﹣90C101+902C102﹣903C103+…+（﹣1）k90k C10k+…+9010C1010除以88的余数是（）
A．﹣87 B．87 C．﹣1 D．1
参考答案：
D
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用二项式定理的展开式将展开式转化为二项式形式，将二项式中的底数写出用88为一项的和形式，再利用二项式定理展开，即得到余数．
【解答】解：1﹣90C101+902C102﹣903C103+…+（﹣1）k90k C10k+…+9010C1010
=（1﹣90）10
=8910
=（1+88）10
=C100+C10188+…+C109×889+C10108810
=1+C10188+…+C109×889+C10108810
所以除以88的余数为1
故选D
5. 要得到函数的图像，只要将函数的图像 ( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
参考答案：
A
6. 定义运算：例如，则的零点是
A. B. C. 1 D. 参考答案：
A
7. 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
（）
A．B．6 C．12 D．7
参考答案：
C
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=，
所以|AB|=x1++x2+=++=12
故选：C
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．
8. 已知垂直竖在水平地面上相距米的两根旗杆的高分别为米和米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是
（A）椭圆（B）圆（C）双曲线
（D）抛物线
参考答案：
B
9. 已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是
A. B．C．D．
参考答案：
A
10. 抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标是（）
A．（，） B.（，） C.(2,4) D.(1,1)
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）设函数f（x）=lnx．给出下列命题：
①对?0＜x1＜x2，?x0∈（x1，x2），使得=；
②对?x1＞0，x2＞0，都有f（）＜；
③当x1＞1，x2＞1时，都有0＜＜1；
④若a＜﹣1，则f（x）＞（x＞0）．
其中正确命题的序号是_________ （填上所有正确命题序号）
参考答案：
①③④
12. f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
参考答案：
略
13. ．下图是选修1－2中《推理与证明》一章的知识结构图, 请把
“①合情推理”，“② 类比推理”，“③综合法”，“④反证法”填入适当的方框内.（填序号即可）A填___ _B填_____ _C填_____ _D填________
参考答案：
略
14. 已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值
为．
参考答案：
－1
由复数是纯虚数，
得，解得.
15. 抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为．
参考答案：
2
【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．
【分析】先求出抛物线y2=16x的焦点，再求出双曲线的渐进线，由此利用点到直线的距离
公式能求出抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离．
【解答】解：抛物线y2=16x的焦点（4，0），
双曲线的渐进线：，
∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为：
d=．
故答案为：2．
16. 已知则
为 .
参考答案：
17. 不等式的解集为____________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球
的概率是.
（1
）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
参考答案：
（1）5个；（2）见解析.
【分析】
（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为
事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可
能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个
白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.
（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.
于是可得其分布列为:
是解题的关键，属于中档题．
19. （16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），离
心率e=，F1、F2为椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P为椭圆C上的一动点，PQ
与圆T相切于点Q．
①当Q（﹣，﹣）时，求直线PQ的方程；
②当PQ取得最大值为时，求圆T方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线和圆的方程的应用；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设圆T方程为x2+（y﹣t）2=1+t2，①把Q的坐标代入圆的方程，解得t，由切线的性质，可得所求直线的斜率，进而得到PQ的方程；
②设P（x0，y0）（﹣1≤y0≤1），运用勾股定理求得切线长，讨论t的范围，即可得到最大值，进而得到圆的方程．
【解答】解：（1）∵e==，即a=c，
∴b==c，
∵椭圆C过点M（1，），
∴+=1，
∴a=，b=1，
∴椭圆C的标准方程为+y2=1；
（2）圆T半径r=，圆T方程为x2+（y﹣t）2=1+t2，
∵PQ与圆T相切于点Q，∴QT⊥PQ，
①把Q（﹣，﹣）代入圆T方程，解得t=，
求得k QT=2，
∴直线PQ的方程为y=﹣x﹣；
②设P（x0，y0）（﹣1≤y0≤1），
∵QT⊥PQ，
∴PQ2=PT2﹣QT2=x02+（y0﹣t）2﹣（1+t2），
又+y02=1，∴PQ2=﹣（y0+1）2+（1+t2），
当t≥1时，且当y0=﹣1时，PQ2的最大值为2t，
则2t=（）2=，解得t=（舍），
当0＜t＜1时，且当y0=t时，PQ2的最大值为1+t2，则t2+1=解得t=（合）
综上t=，圆T方程为x2+（y﹣）2=．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，及圆的方程的求法，注意圆的性质和勾股定理，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
20. 设直线y=x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=1时，求．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）由直线y=x+b 与由2个交点可得方程有2个不同的解，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0有2个解△=16b2﹣12（2b2﹣2）＞0，解不等式可求
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，可求A，B的坐标，代入公式
=可求或利用弦长公式
【解答】解：（1）将y=x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0．①…
因为直线y=x+b 与椭圆相交于A，B 两个不同的点，
∴△=16b2﹣12（2b2﹣2）=24﹣8b2＞0
∴
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．…
解得．
此时
∴==
（利用弦长公式也可以）
21. 已知是等差数列，其中
（Ⅰ）数列从哪一项开始小于0 ；
（Ⅱ）求值.
参考答案：
略
22. 已知直线（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|?|FB|的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】椭圆的参数方程；直线的参数方程．
【分析】（Ⅰ）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第I问即可求得．
（Ⅱ）直线与曲线交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．
【解答】解：（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得+=1．
a=2，b=，c=1，则点F坐标为（﹣1，0）．
l是经过点（m，0）的直线，故m=﹣1．…
（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得
（3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|?|FB|=|t1t2|==．
当sinα=0时，|FA|?|FB|取最大值3；
当sinα=±1时，|FA|?|FB|取最小值．…。