阳泉市2019年中考一轮复习导学案(专题16二次函数的应用)

16.二次函数的应用
题组练习一（问题习题化）
1．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．
2.已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=
的图象可能是（）
C
A
．B ．
C
．D
．
3. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= 0 ．
◆知识梳理
知识技能要求
握
题组练习二（知识络化）
4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（）B
A．①② B．①④ C．①③④D．②③④
5．对于二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．
其中所有正确的结论是___ ．
6．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．
7．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．
8．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是___________________．
9．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
题组练习三（中考考点链接）
10．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_________ ．
11．如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y=ax2+bx﹣3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q 与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．
答案：
1. y=﹣（x+6）2+4．
2.C;
3.0;
4.B
5. ①③④;
6.;
7.25;
8. y=﹣（x+2）2等
9. 解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴=（）2=（）2=．
10.﹣1＜x＜3
11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0），
∴，
解得：；
（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，
则新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k，
∵A（﹣1，0）、C（3，0），
∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4，
∵∠ACB=90°，∴点B的坐标为（3，4）．
∵点B（3，4）在抛物线y=x2﹣2x﹣3+k上，
∴9﹣6﹣3+k=4，
解得：k=4，
∴新抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；
（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，
∴四边形QECD是矩形．
∵QD=QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD=DC．
设点Q的横坐标为t，
则有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，
∴点Q的坐标为（t，3﹣t）．
∵点Q在抛物线y=x2﹣2x+1上，
∴t2﹣2t+1=3﹣t，
解得：t1=2，t2=﹣1．
∵Q为抛物线y=x2﹣2x+1上P点至B点之间的一点，
∴t=2，点Q的坐标为（2，1），
∴OD=2，QD=CD=1．
由y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2得顶点P的坐标为（1，0），
∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，
∴S四边形ABQP=S△ACB﹣S△PDQ﹣S梯形DQ BC
=AC•BC﹣PD•QD﹣（QD+BC）•DC
=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1
=5，
∴四边形ABQP的面积为5．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．甲，乙工程队分别承接600米，800米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建12米，结果甲比乙提早1天完成，问甲每天修建多少米？设甲每天修建x 米，根据题意可列出方程是（ ） A ．
x 600＝80012x -﹣1 B ．
x 600
＝80012x -+1 C ．x 600＝80012
x +﹣1 D ．
x 600＝80012
x ++1 2．下列说法正确的是
A ．一组数据1，2，5，5，5，3，3，这组数据的中位数和众数都是5
B ．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C ．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件
D ．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
3．某超市四月份赢利a 万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x ，那么该超市第二季度共赢利（ ） A ．a （1+x ）万元
B ．a （1+x ）2
万元
C ．a （1+x ）+a （1+x ）2万元
D ．a+a （1+x ）+a （1+x ）2万元
4．如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值（ ）
A ．
B 2
C ．
D ．
5．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A ．平移
B ．旋转
C ．轴对称
D ．位似
6．下列等式，错误的是（ ） A ．（x 2y 3）2＝x 4y 6
B ．（﹣xy ）3＝﹣xy 3
C ．（3m 2n 2）2＝9m 4n 4
D ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 6
7．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”，规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，用电量超过200度，超过200度的部分按第二阶梯电价收费.图是李博家2018年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为（ ）
A ．0.4元，0.8元
B ．0.5元，0.6元
C ．0.4元，0.6元
D ．0.5元，0.8元
8．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( ) A ．众数
B ．方差
C ．中位数
D ．平均数
9．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为（ ） A ．44×106
B ．4.4×107
C ．4.4×108
D ．0.44×108
10．规定以下两种变换：：①f(m,n)=(m,−n),如f(2,1)=(2,−1)；②(,)(,)g m n m n =-- ，如
(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()2,3g f -⎡
⎤⎣⎦等于（ ） A ．（2-，3-）
B ．（2，3-）
C ．（2-，3）
D ．（2，3）
11．在下列各组条件中，不能说明△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F B ．AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D C ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E
D ．AB ＝D
E ，BC ＝E
F ，AC ＝DF
12．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）
A ．S
B ．2S
C ．3S
D ．4S
二、填空题 13．分式方程
35
12
x x =++的解为_____．
14．在函数y =
x 的取值范围是__________． 15．如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，BE ＝4，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD ，CD 于点G ，F 两点，若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN 的长是_____．
16．如图所示，长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，将长方形向上、下、左、右各扩大1得到长方形A 1B 1C 1D 1，…，依此类推，则长方形A n B n ∁n D n 的周长可以表示为_____．
17．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第 个三角形数是55，第n 个三角形 数是 ．
18．如果a 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根，那么代数式3a 2﹣6a 的值是_____． 三、解答题
19．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2与x 轴交于两点A （﹣1，0）和B （4，0），与Y 轴交于点C ，连接AC 、BC 、AB ，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC
3
5
DBC S S ∆=
，求点D 的坐标；
（3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由． 20．已知二次函数y=ax 2
+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16). (1)求该二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x 轴的交点为A ．B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积。

21．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．
（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？ （2）如何定价才能使利润最大？
22．从共享单车，共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速的普及，根据国家信息中心发布的中国分享经济发展报告2017显示，参与共享经济活动超6 亿人，比上一年增加约1亿人．
（1）为获得北京市市民参与共享经济活动信息，下列调查方式中比较合理的是 ； A ．对某学校的全体同学进行问卷调查 B ．对某小区的住户进行问卷调查
C ．在全市里的不同区县，选取部分市民进行问卷调查
（2）调查小组随机调查了延庆区市民骑共享单车情况，某社区年龄在12～36岁的人有1000人，从中随机抽取了100人，统计了他们骑共享单车的人数，并绘制了如下不完整的统计图表．如图所示．骑共享单车的人数统计表
根据以上信息解答下列问题：
①统计表中的a＝；b＝；
②补全频数分布直方图；
③试估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有多少人？
23．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+k．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）求该函数的图象顶点M的坐标（用k的代数式表示）；
（3）当﹣3≤k＜3时，求顶点M的纵坐标的取值范围．
24．对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．
（1）点C在原点O时.
①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝；
②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝；
③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；
（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t
的值．
25．已知：二次函数C 1：y 1＝ax 2+2ax+a ﹣1(a≠0)
(1)把二次函数C 1的表达式化成y ＝a(x ﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数C 1的图象经过点A(﹣3，1)． ①求a 的值；
②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：y 2＝kx 2
+kx(k≠0)的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．
12
14．13
x ≥-且2x ≠
1516．8n+6． 17．
1
(1)2
n n + . 18．3 三、解答题
19．（1）213
y x x 222=--；（2）D 的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，122⎛++ ⎝⎭
，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55⎛⎫
-
⎪⎝⎭，（2，﹣1）或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
【解析】
【分析】
（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2+BC 2＝25＝AB 2可得出∠ACB ＝90°，过点D 作DM ∥BC ，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB ，利用相似三角形的性质结合S △DBC ＝35S ABC ∆ ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；
（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC ，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE ，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC ∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，12
x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．
【详解】
（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：
2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1232
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝
12 x 2﹣32
x ﹣2． （2）当x ＝0时，y ＝12x 2﹣32x ﹣2＝﹣2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2）．
∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），
∴AC
，BC
＝
AB ＝5．
∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2，
∴∠ACB ＝90°．
过点D 作DM ∥BC ，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示．
∵D 1M 1∥BC ，
∴△AD 1M 1∽△ACB ．
∵S △DBC ＝35
S ABC ∆， ∴125AM AB =, ∴AM 1＝2，
∴点M 1的坐标为（1，0），
∴BM 1＝BM 2＝3，
∴点M 2的坐标为（7，0）．
设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0），
将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得：
402k c c +=⎧⎨=-⎩ ，解得：122
k c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 的解析式为y ＝12
x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC ∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12x ﹣72
． 联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：2112213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
或2172213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，
解得：112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3313x y =⎧⎨=-⎩ ，4432x y =⎧⎨=-⎩， ∴点D 的坐标为（2
），（
），（1，﹣3）或（3，﹣2）． （3）分两种情况考虑，如图2所示．
①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC ，
设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0），
将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：
-02m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：22
m n =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2．
∵AC ⊥BC ，OF 1⊥BC ，
∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．
连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：2122
y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 解得：458
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点F 1的坐标为（45 ，﹣85
）； ②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE ，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC ∽△CF 3E ．
∵EC ＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2，
∴点F 2为线段BC 的中点，
∴点F 2的坐标为（2，﹣1）；
∵BC ＝，
∴CF 2＝12 BC ，EF 2＝12 CF 2＝，F 2F 3＝12 EF 2＝4
，
∴CF 3 ． 设点F 3的坐标为（x ，12
x ﹣2），
∵CF 3，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[12
x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516， 解得：x 1＝﹣52 （舍去），x 2＝52， ∴点F 3的坐标为（52，﹣34
）． 综上所述：存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，点F 的坐标为（
45 ，﹣85 ），（2，﹣1）或（52 ，﹣34
）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距
离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D 且与直线BC 平行的直线的解析式；（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F 的坐标．
20．（1）y= -x 2+2x+8； （2）24．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）由题意可知：A 、B 、C 三点坐标，根据面积公式求△ABC 的面积为8．
【详解】
（1）∵y=ax 2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16)
∴{a b 89
36a 6b 8-16++=++=
解得，{a -1
b 2==
∴y= -x 2+2x+8
（2）∵y= -x 2+2x+8与x 轴的交点为A. B
∴A （-2，0） B （4，0）
∵y= -x 2+2x+8与y 轴的交点为C
∴C （0，8）
∴S △ABC =1-2-48242
⨯⨯= 【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式；可以直接列三元一次方程组求解，也可以利用对称性求出抛物线与x 轴另一交点坐标，利用交点式求解析式；求三角形面积时，先求对应点的坐标，再表示底边和高，利用面积公式代入求解．
21．（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．
【解析】
【分析】
1）设商品的定价为x 元，根据“获得总利润=（实际售价-进价）×销售量”列出关于x 的方程，解之可得；
（2）依据以上所得相等关系列出总利润w 关于x 的函数解析式，再将其配方成顶点式，利用二次函数的性质，结合x 为整数可得答案．
【详解】
（1）设商品的涨价x 元，由题意得：（30+x-10）（160-2x ）=4200，
整理得：x 2-60x+500=0，
解得：x=10或50，
故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x 的值为10，
所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；
（2）由题意得：
y=（30+x-10）（160-2x）
=-2x2+120x+3200，
=-2（x-30）2+5000
∵-2＜0，
∴当x=30时，y取得最大值，
此时y=5000（元），
即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．
【点睛】
该题主要考查了二次函数的性质及其应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出函数关系式来分析、解答．
22．（1）C；（2）①0.15，30；②见解析；③估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．
【解析】
【分析】
（1）根据抽样调查的定义可得；
（2）①根据“频率＝频数÷总数”可分别求得a、b的值；
②由①中所求数据可补全图形；
③总人数乘以样本中第3、4、5组的频率之和可得答案．
【详解】
解：（1）调查方式中比较合理的是C，
故答案为：C；
（2）①a＝15÷100＝0.15，b＝100×0.3＝30，
故答案为：0.15，30；
②补全图形如下：
③1000×（0.15+0.25+0.3）＝700（人），
答：估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．
【点睛】
本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率＝频数÷总数，频率之和为
1，属于中考常考题型．
23．（1）1个或2个（2）（12k -，2
(1)4
k +）（3）当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t ＜4
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值得到△＝（k+1）2≥0，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x 轴的交点的个数；
（2）利用配方法，把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点M 的坐标；
（3）设顶点M 的纵坐标为t ，利用（2）的结论得到t ＝
14
（k+1）2，则t 为k 的二次函数，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】
解：（1）∵△＝（k ﹣1）2﹣4×（﹣1）×k＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴该函数的图象与x 轴的交点的个数为1个或2个；
（2）∵y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x+k
222k 1k 1x (k 1)x k 22--⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22
1(1)=24k k x -+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴该函数的图象顶点M 的坐标为2k 1(k 1),24⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； （3）设顶点M 的纵坐标为t ，
则t ＝14
（k+1）2， 当k ＝﹣1时，t 有最小值0；
当﹣3≤k＜﹣1，t 随k 的增大而减小，则0＜t≤1；
当﹣1＜k ＜3时，t 随k 的增大而减小，则0＜t ＜4，
∴t 的范围为0≤t＜4，
即当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t＜4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．△＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数（△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点）．也考查了二次函数的性质．
24．（1）① 4，② 3，③k ≥
（2）t ＝2或103
． 【解析】
【分析】
（1）①点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ，即可求解；②由题意得：d（M﹣O）＝PQ；③P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，则∠P′DO＝30°，即可求解,
（2）①分点为角的顶点O（P）、点P在射线OA两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，
d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，
故答案为4,
②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3，
③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，
则d（M﹣O）＝P′Q′，
当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，
∴∠P′DO＝30°，
∴k
故
（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，
则PQ＝1，则OC＝2，
即：t＝2，
②如图3，当点P在射线OA时，
tan∠AOC＝3
4
，则sin∠AOC＝
3
5
，
CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，
t＝OC＝
sin CP
AOC
＝
10
3
，
故：t＝2或10
3
．
【点睛】
本题为新定义类型的题目，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，通常按照题设的顺序，逐次求解即可．
25．(1)y1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①1
2
；②k的取值范围是
1
6
≤k≤
1
2
或k＝﹣4．
【解析】
【分析】
(1)化成顶点式即可求得；
(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；
②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
【详解】
(1)y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a(x+1)2﹣1，
∴顶点为(﹣1，﹣1)；
(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)，
∴a(﹣3+1)2﹣1＝1，
∴a＝1
2
；
②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x＝﹣1，∴B(1，1)，
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k﹣3k，解得k＝1
6
，
二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k，解得k＝1
2
，
∴1
6
≤k≤
1
2
，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k(x+1
2
)2﹣
1
4
k，
∴﹣1
4
k＝1，
∴k＝﹣4，
综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是1
6
≤k≤
1
2
或k
＝﹣4．
【点睛】
本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A
． B
． C ． D ．
2．若关于x 的不等式组()3223212x x x m x --⎧<⎪⎨⎪+≥-⎩
有且仅有三个整数解，且关于x 的分式方程
2333
m x x x x x -+=--+的解为整数，则符合条件的整数m 的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．已知点P （a+1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A.﹣1＜a ＜
B.﹣＜a ＜1
C.a ＜﹣1
D.a>
4．已知a 是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的根，则代数式﹣2a 2+6a+2019的值为（ ）
A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017
5．sin45°的值是（ ）
A ．12 B
C
D
6．如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是
( )
A ．2
B ．1 C
D
7．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示养心殿的点的坐标为(-2，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(2，3)；②当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示养心殿的点的坐标为(-1，1)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，1. 5)；③当表示保和殿的点的坐标为(1，-1)，表示养心殿的点的坐标为(0，0)时，表示景仁宫的点的坐标为(2，0. 5)；④当表示保和殿的点的坐标为(0，1)，表示养心殿的点的标为(-1，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，3).上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①④
D ．①②③④
8．如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点(C 与点A 、B 不重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE ＝x ，AP ＝y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1＝36°，那么∠2＝（ ）
A ．54°
B ．56°
C ．44°
D ．46°
10．已知AB ＝10，C 是射线AB 上一点，且AC ＝3BC ，则BC 的长为（ ）
A.2.5
B.103
C.2.5或5
D.103
或5 11．如图将一把直尺，含有60°的直角三角板和光盘如图摆放，已知点A 为60°角与直尺交点，AB ＝2，则光盘的直径是（ ）
A.2 C.4 12．如图，在二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③02a b c a b
++<-；④b 2＝4a(c ﹣1)；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8 第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24…
在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第_____层．
14．如图，以正六边形ABCDEF 的中心O 为原点建立平面直角坐标系，过点A 作1AP OB ⊥于点1P ，再过1P 作12PP OC ⊥于点2P ，再过2P 作23P P OD ⊥于点3P
，依次进行……若正六边形的边长为1，则点2019P 的横坐标为__________．
15．世界文化遗产长城总长约为6700000m ，将6700000用科学记数法表示应为_____．
16．不透明袋子中装有17个球，其中有8个红球、6个黄球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是____________.
17．若分式2
x -有意义，则x 的取值范围为_____． 18．如图，直线a 、b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1＝32°，那么∠2＝_____°．
三、解答题
19．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+1
1
()2- （2）解方程：3+1
x x x x -= 20．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB=∠DCE ．
（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan ∠ACB=12
，BC=4，求⊙O 的半径． 21．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A 、B 、C 、D 中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．
(1)小明随机选的这个答案，答对的概率是 ；
(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？
(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是 ．
22．已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，D 是AB 的中点，以CD 为直径的⊙Q 分别交BC 、BA 于点F 、E ，点E 位于点D 下方，连接EF 交CD 于点G ．
（1）如图1，如果BC ＝2，求DE 的长；
（2）如图2，设BC ＝x ，GD GQ
＝y ，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）如图3，连接CE ，如果CG ＝CE ，求BC 的长．
23．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB 的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F 处竖立了一根标杆EF ，小华走到C 处时，站立在C 处看到标杆顶端E 和树的顶端B 在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC ＝16米；然后，小华在C 处蹲下，小康平移标杆到H 处时，小华恰好看到标杆顶端G 和树的顶端B 在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC ＝0.8米．已知EF ＝GH ＝2.4米，CF ＝2米，FH ＝1.6米，点C 、F 、H 、A 在一条直线上，点M 在CD 上，CD ⊥AC ，EF ⊥AC ，CH ⊥AC ，AB ⊥AC ，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB 的高度．
24．已知一元二次方程x 2+4x+m ＝0，其中m 的值满足不等式组2(3)4113
2m m m +⎧⎪-⎨>-⎪⎩…，请判断一元二次方程x 2+4x+m ＝0根的情况．
25．随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到C 地开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58︒方向行驶8km 至B 地，再沿北偏西37︒方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离（结果取整数）.（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，sin580.85︒≈，cos580.53︒≈）
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．44
14．20201
2-
15．7×107
16．317
17．x≥﹣1且x≠2．
18．
三、解答题
19．（1）；（2）x ＝﹣1.5．
【解析】
【分析】
（1）根据0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值及负整数指数幂即可解答.
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）原式＝13221+-++=+（2）去分母得：x 2＝x 2﹣2x ﹣3，
移项合并得：﹣2x ＝3，
解得：x ＝﹣1.5，
经检验x ＝﹣1.5是原方程的解．
【点睛】
本题考查了0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值、负整数指数幂及解分式方程，掌握各种运算的法则是关键，解分式方程必须检验.
20．（1）直线CE 与⊙O 相切，理由详见解析；（2【解析】
【分析】
（1）连接OE ，由四边形ABCD 是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE ，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE 是⊙O 的切线；
（2）作OG ⊥AE 交线段AE 于G 点，根据tan ∠ACB=12
先求出AB 的长度和DE 的长度，然后分别求出AG 和OG 的长度，利用勾股定理求出OA 的长度即可解答.
【详解】
（1）直线CE与⊙O相切．
证明：如图，连接OE，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴∠1=∠3．
又∠1=∠2，∴∠2=∠3．
则∠3=∠4．
∴∠2=∠4．
∵∠2+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°．
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE，∴直线CE与⊙O相切．
（2）解：∵ tan ∠ACB=AB
BC
=
1
2
， BC=4．
∴AB=BC·tan ∠ACB=2．
又∠1=∠2．
∴DE=DC·tan ∠DCE= DC·t an ∠ACB= 1．
过点O作OG⊥AE于点G，则 AG=1
2
AE=
3
2
．
∵OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =3
2
×
1
2
=
3
4
，
∴．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和圆与直线的位置关系，准确识图是解题的关键.
21．(1)1
4
；(2)
1
16
；(3)
10
1
4
.
【解析】
【分析】
（1）错误答有3个，除以答案总数4即可
（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答
（3）由（2）可知两题都对的概率为(1
4
)2，10道选择题全对的概率是10个
1
4
的乘积
【详解】
(1)∵只有四个选项A、B、C、D，对的只有一项，
∴答对的概率是
14 ； 故答案为：14
； (2)根据题意画图如下：
共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是116
； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(
14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014． 故答案为：
10
14． 【点睛】 此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据
22．（1）DE ＝10
；（2）y ＝22221x x -+（x ＞1）．（3）BC ＝． 【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接CE ．在Rt △CDE 中，求出CD ，CE 即可解决问题．
（2）如图2中，连接CE ，设AC 交⊙Q 于K ，连接FK ，DF ，DK ．想办法用x 表示CD ，DE ，证明FK ∥AB ，推出DG DE GQ FQ
=，延长构建关系式即可解决问题．根据点E 位于点D 下方，确定x 的取值范围即可． （3）如图3中，连接FK ．证明ED ＝EC ，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，连接CE ．
在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，
∴AB =
∵CD 是⊙Q 的直径，
∴∠CED ＝90°，
∴CE ⊥AB ，
∵BD ＝AD ，
∴CD ＝12AB = ∵12•AB•CE＝12
•BC•AC，
∴CE ，
在Rt △CDE 中，DE 10==． （2）如图2中，连接CE ，设AC 交⊙Q 于K ，连接FK ，DF ，DK ．
∵∠FCK ＝90°，
∴FK 是⊙Q 的直径，
∴直线FK 经过点Q ，
∵CD 是⊙Q 的直径，
∴∠CFD ＝∠CKD ＝90°，
∴DF ⊥BC ，DK ⊥AC ，
∵DC ＝DB ＝DA ，
∴BF ＝CF ，CK ＝AK ，
∴FK ∥AB ， ∴DG DE GQ FQ
=， ∵BC ＝x ，AC ＝1，
∴AB ，
∴DC ＝DB ＝DA ，。