高考数学普通高等学校招生全国统一考试湖南卷7

高考数学普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 设M N ，是两个集合，则“M N =∅”是“M N ≠∅”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
2．不等式
2
01
x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，，
B ．[12]-，
C ．(1)[2)-∞-+∞，，
D ．(12]-，
3．复数2
2i 1+i ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950
D ．0.975 6．函数2
441()431
x x f x x x x -⎧=⎨
-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是
（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→
B ．函数2
2
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
D
．1
1
2
x =→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱
1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A
B ．1 C
．1
D
9．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在
,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．02⎛ ⎝⎦，
B ．03⎛ ⎝⎦，
C
．12⎫
⎪⎪⎣⎭ D
．13⎫
⎪⎪⎣⎭
10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大
值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是．
12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，
，c =π
3
C =
，则B =． 13．函数3
()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．
14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，
A B =∅，
（1）b 的取值范围是；
（2）若()x y A
B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…………………………………………… 图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2
π()cos 12f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭，1()1sin 22
g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）
如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将
GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平
面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．
图2
图3
（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；
（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在
的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O
到山
1G
2G
D F
C
B
A
E
脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为
2
a
万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2
(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥，
1.5(km)AB =，3(km)OA =．
（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于
A B ，两点．
（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；
（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·
CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x
y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，
且满足222
13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，
…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．
Ｏ
A
E
D
B
H
P
参考答案
1．【答案】C
【解析】2
22
2i 4i 42i.1+i (1+i)
2i -⎛⎫
=== ⎪⎝⎭ 2．【答案】D 【解析】由
2
01x x -+≤得(2)(1)010
x x x -+⎧⎨+≠⎩≤，所以解集为(12]-，.
3．【答案】B
【解析】由韦恩图知M N ≠∅⇒/M
N ≠∅;反之，M
N ≠∅.M N ⇒≠∅
4． 【答案】A
【解析】2
2
2
()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0， ⇒⊥a b.
5．【答案】C
【解析】ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<=
(1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯=
6．【答案】B.
【解析】由图像易知交点共有3个。

7【答案】C.
【解析】lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
→→与必须都存在！
8．【答案】D.
【解析】正方体对角线为球直径，所以4
3
2
=
R ，在过点E 、F 、O 的球的大圆中， 由已知得d=
23,21=R ，2
2
4143=-=r ，所以。

9． 【答案】D
【解析】由已知P 2(,)a y c ，所以1F P 的中点Q 的坐标为2(,)22b y
c ，由
1212422
2222,,1,2.2F P
QF F P QF cy cy b k k k k y b b b c c
==⋅=-⇒=--
2222211()(3)0(3)0,13
y a c e e e ∴=--
>⇒->>>
当10F P
k =时，2QF k 不存在，此时2F 为中点，223
a c c e c -=⇒=
综上得
1.3
e ≤< 10．【答案】B
【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；
{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个。

11．【答案】2
2
(1)(1)2x y -+-= 【解析】半径R=
22
|
411|=-+，所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=
12．【答案】
5π6
【解析】由正弦定理得cos
B ==，所以5π.6B =
13．【答案】–16 【解析】
2()12302,f x x x '=-=⇒=±检验
(2)16,(3)9,f f ⇒-=-=min ()(2)16.f x f ∴=-=-
14．【答案】（1）[1
)+∞， （2）9
2
【解析】（1）由图象可知b 的取值范围是[1).+∞，
（2）若(),,x y A B ∈⋂令t=2x y +，则在（0，b ）处取得最大值，
所以0+2b=9，所以b=
9
2
. 15．【答案】21n
-，32
【解析】由不完全归纳法知，全行都为1的是第21n
-行；
662163,n =⇒-=
故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1。

16．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26
f x x =
++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π
26
x +πk =， 即0 π
2π6
x k =-
（k ∈Z ）．
所以0011π()1sin 21sin(π)226
g x x k =+
=+-． 当k 为偶数时，01π13()1sin 12644
g x ⎛⎫
=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644
g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1π311
3cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． 当πππ2π22π232k x k -
++≤≤，即5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机
培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，
()0.75P B =．
（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=
所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=
该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．
（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布
(30.9)B ，，33()0.90.1k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是
ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面
ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平
面12G ADG ，
所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．
（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ， 所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角． 因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．
因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12
EO G G =， 又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．
由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，
217G F =，15OF ==，1210G G EO ==．
因为AD ⊥平面1G AB ，
12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面
1G AB ，从而121G G G B ⊥．
故2222222
21126810200BG BE EG G G =++=++=
，2BG =
又110AG ==，由11BH AG G E AB =得
81248
105
BH ⨯=
=． 故2248sin 525
BH BG H BG ∠=
==
． 即直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin
25
． 1G 2G
D
F C
B A
E
O
H
解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面ABCD AB =，
1G E AB ⊥，
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又
AB AD ⊥，
所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ． （II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，， 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题设12AB =，25BC =，8EG =，则6EB =，
25EF =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，， (6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，． 所以(0250)AD =，，，1(608)AG =，，．
设()n x y z =，，是平面12G ADG 的一个法向量，
由100n AD n AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，.得250680
y x z =⎧⎨+=⎩，
故可取(403)n =-，
，． 过点2G 作2G O ⊥平面ABCD 于点O ，因为22G C G D =，所以OC OD =， 于是点O 在y 轴上．
因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．
设2(08)G m ，，
（025m <<），由222
178(25)m =+-，解得10m =， 所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，． 设2BG 和平面12G ADG 所成的角是θ，则
222
22
2sin 25
643
BG n BG n
θ=
=
=
++． 故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin
25
．
19．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥，
y
由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，
1sin PH
PB θ
=
=． 设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
PD ==[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元，
据题设有2
211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-++
2
143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤
⎛⎫=++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则(
)212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭
，由2()0f y '=，得1y =．
当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为
67
16
a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，
12302x y +≤≤
，总造价为S 万元，
则211111224x y S x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭．类似于
（I ）、（II ）讨论知，2
111216x x -
-≥
1322y ≥，当且仅当11
4
x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1
(km)4
BD '=，1(km)AE =，S 取得最
α
A
O
E D
B
H
P
小值
67
16
a ，点D E ''， 分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造
价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
211111224x y S x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
))
2
1111143
3
4416
x a y y a a ⎛
⎫⎡⎤=-++
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
143
416a a ⨯+≥ 67
16
a =． 当且仅当114x =
且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，
S 取得最小值67
16
a ，以上同解法一．
20．解：由条件知1(20)F -，
，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1
(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩，即1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212248
22
y
y y y x x x x -==
----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．
所以点M 的轨迹方程是22
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22222222
(1)(42)4(2)
411k k k k m k m k k +++=-++-- 222
22
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2-，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，
． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y
+=-⎧⎨
+=⎩，
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
12241
k x x k +=-．
21212244(4)411k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭
．
由①②③得2
2441
k x k -=-．…………………………………………………④
241
k
y k =
-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
4
x k y
-=，将其代入⑤有 222
2
4
44(4)(4)(4)1x y x y y x x y
y -⨯
-==----．整理得22
(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-．
以上同解法一的（II ）．
21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得222
13n n n S S n a --=． 因为10n n n a S S -=-≠，所以2
13n n S S n -+=． ……① 于是2
13(1)n n S S n ++=+． ……②
由②－①得163n n a a n ++=+． ……③ 于是2169n n a a n +++=+． ……④ 由④－③得26n n a a +-=， ……⑤
所以2
262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
≥是常数数列．
（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，
所以332a a =+，4182a a =-．
而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列，
所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．
12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244
a a a a a ⇔<-<+<-⇔
<<． 即所求a 的取值集合是9154
4M a
a ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭．
（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n
a a n n n n n n n
b b e e k a a a a ++++--==
-- 任取0x ，设函数0
0()x x e e f x x x -=-，则002
0()()()()
x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x
x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x
g x e x x e e e x x '=-+-=-，
当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，
上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数， 所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，
所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，
上都是增函数． 由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，
取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n
a a n n e e a a ++-<
-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2
2
n n a a n n e e a a ++->
-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．
解法二：设函数1
1
()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，
()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，
上都是增函数， 所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，2111
11211
lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++
+++++--=>=--→．
故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）
18．若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，
解得==3a b -0，。

……2分 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，
∴()()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，
解得123==1=2x x x -，。

……2分
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

……2分
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

……2分 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-
当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和2 ， ∵()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为1和2。

……2分
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <-----， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，
时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，
无实根。

②当()1 2
x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d <时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

……3分
现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

……3分
【典型错误】（2）∵
3()3f x x x =-，
∴()
()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

所以，极值点为1，2。

（丢分情况严重）
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若12
6
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得 2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒
……2分
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

……2分
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴
设
1
AF 、
2
BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴()
2
22122
11112
11
221221=0=22=1
x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩。

……2分 ∴()()
()
)22222
2
22
1111122112210==12
m m m m m AF x y my y m m +++++++-++=+。

①
同理，
)2221=
2
m BF m +-+。

②
（i ）
由①②得，12AF BF -=
……2分
得2m =2。

∵0m >
，∴m ，∴直线1AF
的斜率为
1m 。

……2分 （ii ）
证明：∵1AF ∥2BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =
， 即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。

∴(
)(
)
122
1221121
212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，
)21
21=2
m
AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，……4分
∴12+2PF PF 12PF PF +
是定值。

……2分 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上列式求解。

计算错误严重。

（2）（ⅰ）根据已知条件12AF BF -= 含参式子的运算能力低。

十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：
设2
1BF λ=，则⎩⎨⎧=-=+2
121)1(1y y x x λλ，由122
121=+y x ，得 12
)1(2
222=++-y x λλλ。

又122
222=+y x ，故λλ2132-=x ，2
31-=λx ，而321=+x x ， 得23+=
λ，于是2131-=
x ，4
)
13(22+=x 。

所以，2
21111=
+=
x y k AF 。

（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。

20．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11
，∴1n a +。

∴11n n b
a ++=
∴()2
2
2
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴
1
1n
<a+=≤
设等比数列{}
n
a的公比为q，由0
n
a>知0
q>，下面用反证法证明=1
q 若1,
q>
则2
12
=
a
a<a
q
≤
，∴当
1
log q
n>
时，11n
n
a a q
+
=，与（﹡）矛盾。

若01,
<q<则2
12
=1
a
a>a>
q
，∴当
1
1
log q
n>
a
时，111
n
n
a a q<
+
=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1
q。

∴()
1
*
n
a a n N
=∈
，∴1
1<a≤
又∵1
1
n
n n
n
b
b b
a
+
=()*
n N
∈，∴{}
n
b
1
的等比数列。

若1a≠
1
1，于是123
b<b<b。

又由
2
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
+
=
+
即
1
a=
，得
1
1
n
b
a-。

∴
123
b b b
，，中至少有两项相同，与123
b<b<b
矛盾。

∴1a。

∴
1
n
b
-
12
=
a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【典型状况】（1）①写出
22
1
1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
而不知道给出结论。

②写出了
2
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
=
+
+
，不能进行下一步的变换。

③根据前三项成等差，说明结论，不给分。

④罗列几个条件下结论，不给分。

（2）根据基本不等式得到
1
1n
<a+≤{}
n
a
的公比=1
q。

凭感觉下结论。

第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错
误；③做成了
22
n
n b a ，导致错误.
第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由n n
n a b b 2
1=+利用累
乘得出
n b ，2分；得出{}n a 的范围，3分.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．
证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到
B C ∠=∠。

从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

B ．[选修4 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值．
解：∵1-A A =E ，∴()
1
1
--A =A 。

∵1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。

∴矩阵A 的特征多项式为()2
2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。

令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C 经过点(
)
24
P
π
，
，圆心为直线3
sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭与极轴的交点，。