河南省信阳市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学学业水平测试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当
[]2,0x ∈-时， ()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好
有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(
D ．
)
2
2．实数数列21,,4,a b 为等比数列，则a =（ ）
A ．-2
B ．2
C ．2±
D ．±
3．若向量,,a b c 满足：a 与b 的夹角为23π
，且()()0c a c b -⋅-=，则||||||
a b a b c ++-的最小值是（ ）
A ．1
B
C D ．2
4．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( ) A ．[0,5]
B ．[1,5]-
C ．[1,3]
D ．[3,5]
5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin sin ()sin a A b B c b C =+-，则角A 的值为（ ） A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 6．下列表达式正确的是（ ）
①min 2
(sin )sin x x
+=(0,)x π∈ ②若0a b ->，则220a b -> ③若22ac bc >，则a b > ④若0a b >>，则ln 0b
a
<
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
7．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有
sin sin )22
A C A C -+
-=
，则三角形的面积为（ ）
A B C D S 7n
a
A．7 B ．21
4
C．
37
8
D．
2
3
9．设向量a12
=-
（，），b m1,,
m
=+-
（）且a b
⊥，则实数的值为（）
A．2-B．2C．
1
3
D．
1
3
-
10．设向量(1,1),(2,)
a b m
==,若()
//2
a a b
+,则实数m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知实数x，y满足约束条件
20
10
3
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪≤
⎩
，那么目标函数2
z x y
=-的最大值是（）
A．0 B．1 C．
7
2
D．10
12．若
4
sin cos
3
αα
+=，且(0,)
4
π
α∈，则sin cos
αα
-的值是（）
A．
2
3
-B．3
2
-C．
3
2
D．
2
3
±
二、填空题：本题共4小题
13．已知等差数列{}n a，*
n N
∈，12339
a a a
++=，
456
33
a a a
++=，则
789
a a a
++=______. 14．已知x、y、z∈R,且2331
x y z
++=，则222
x y z
++的最小值为.
15．若直线l：-3
y kx
=与直线23-60
x y
+=的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是___________.
16．等差数列中，123181920
24,78,
a a a a a a
++=-++=则此数列的前项和_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
225
,
18．已知()()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及值域； （2）求方程()0f x =的解.
19．（6分）已知等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和； （1）若11a =，1q ≥，求lim n
n n
a S →∞
的值； （2）若11a =，||1q <，n S 有无最值？说明理由；
（3）设1
q t
=，若首项1a 和t 都是正整数，t 满足不等式|63|62t -<，且对于任意正整数n 有912n S <<成立，问：这样的数列{}n a 有几个？
20．（6分）已知圆22
:9C x y +=，点(50)A -，
，直线:20l x y -=.
（1）求与直线l 垂直，且与圆C 相切的直线方程；
（2）在x 轴上是否存在定点B （不同于点A ），使得对于圆C 上任一点P ，PB PA
为常数？若存在，试求这
个常数值及所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（6分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足55a =，410S =，0n b >，24b a =，416b a =.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令()()
1211n a n n n c b b +=--，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．（8分）已知向量m =3，1），n =（sinx ，3
2
），函数()f x n m =⋅． （1）若f （θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；
（2）求函数f （x ）的最小正周期T 及单调递增区间．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
∵对于任意的x ∈R,都有f(x−2)=f(2+x),∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4.
又∵当x ∈[−2,0]时,f(x)=1 2x
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
−1,且函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y=f(x)与y=()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：
又f(−2)=f(2)=3，
则对于函数y=()log 2a x +，由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3， 即4
a log <3,且8
a log >3,34<a<2， 故答案为34,2).
点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解 2．B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质计算，注意项与项之间的关系即可． 【详解】
由题意2144a =⨯=，2a =±，又a 与2b 同号，∴2a =． 故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题时要注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号．
设,,OA a OB b OC c ===作图，由()()c a c b -⊥-可知点C 在以线段AB 为直径的圆上，由图可知
c OD ≤，=2
2a b a b OE BE ++-+，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.
【详解】
如图，设,,OA a OB b OC c ===，取线段AB 的中点为E ，连接OE 交圆于点D ， 因为()()0c a c b -⋅-=即()()c a c b -⊥-，
所以点C 在以线段AB 为直径的圆上(E 为圆心)，且c OD ≤，
于是
22a b a b
OE BE
c
OD
++-+≥
222OE ED
OD
+=
=.
故选：D 【点睛】
本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题. 4．A 【解析】 【分析】
由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数的值域即可. 【详解】
偶函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则函数在[](]
3,1,0--⊆-∞上单调递减， 且()()()335,10f f f -==-=， 故函数的值域为[]0,5. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
利用正弦定理，求得222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得1
cos 2
A =，即可求解． 【详解】
在ABC ∆，因为sin sin ()sin a A b B c b C =+-，
由正弦定理可化简得2
2
2
2
()a b c c b b c bc +-=+=-，即222b c a bc +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为(0,)A π∈，所以3
A π
=，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】
根据基本不等式、不等式的性质即可 【详解】
对于①2sin sin x x
+
≥(0,)x π∈.当2sin sin x x =，即sin x ==，而sin (0,1]x ∈，
min 2
(sin )3sin x x
+
=>即①不成立。

对于②若0a b ->，则220a b ->，若0a =，1b =-显然不成立。

对于③若22ac bc >，则20c >，则a b >正确。

对于④若0a b >>，则01b a <<，则ln 0b
a
<，正确。

所以选择D 【点睛】
本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。

属于中等题。

7．C
ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，可得角A 、C
的关系，将已知条件
(
)sin sin cos 22
A C A C -+
-=
中角C 消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A 的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积. 【详解】
ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，则2A C B +=，解得23
A C π
+=
，
所以(
)2,sin sin 322
C A A C A C π=
--+-=
，
所以
21sin 12sin 23A A A π⎤⎛⎫+--= ⎪⎥⎝
⎭⎣⎦，
整理得sin 1033A A ππ⎡
⎤⎛⎫⎛
⎫-
⋅-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦，则sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
或103A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，解得3A π=或
712π. ①当3A π
=
时，211sin 4sin sin 2233ABC S ac B R ππ
∆=
=⋅⋅=
②当A = 712π
时，2
117sin 4sin
sin sin 2212123
ABC S ac B R πππ∆==⋅⋅⋅=，故选C. 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A 的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把5
5a b 转化为99
S T 求解.
【详解】
因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921
==9934
a a S
b b T ⨯==+,选B. 【点睛】
本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.
【分析】
根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m 的值． 【详解】
向量()12a =-，，b =（m+1，﹣m ），
当a ⊥b 时，a •b =0， 即﹣（m+1）﹣2m ＝0， 解得m 13
=-． 故选D ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题． 10．B 【解析】 【分析】
首先求出2a b +的坐标，再根据平面向量共线定理解答. 【详解】 解：
(1,1),(2,)a b m ==
()25,21a b m ∴+=+,
因为()
//2a a b +,所以2150m +-=,解得2m =. 故选：B 【点睛】
本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】
根据约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求最值. 【详解】
画出可行域（如图），
平移直线2z x y =-，当目标直线过点(3,4)-时，目标函数取得最大值，()max 23410=⨯--=z ． 故选：D 【点睛】
本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】 对4sin cos 3αα+=
两边平方，可得72sin cos =9αα，进而可得()2
2sin cos =9
αα-，再根据(0,)4πα∈，可知sin cos αα<，由此即可求出结果. 【详解】
因为4sin cos 3αα+=，所以()2
16sin cos 1+2sin cos =9αααα+=， 所以72sin cos =9αα，所以()2
2sin cos =12sin cos =9
αααα--，
又(0,
)4
π
α∈，所以sin cos αα<
所以sin co 2
s =3
αα--故选：A. 【点睛】
本题主要考查了同角的基本关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．27 【解析】 【分析】
利用等差中项的基本性质求得213a =，511a =，并利用等差中项的性质求出8a 的值，由此可得出
由等差中项的性质可得1232233913a a a a a ++==⇒=， 同理4565533311a a a a a ++==⇒=，
由于2a 、5a 、8a 成等差数列，所以5282a a a =+，则852*******a a a =-=⨯-=， 因此，7898327a a a a ++==. 故答案为：27. 【点睛】
本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题. 14．
122
【解析】
试题分析：由柯西不等式，2
2
2
2
2
2
2
(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以
222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥
，当且仅当233x y z ==，即13,1122
x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为
1
22
. 考点：柯西不等式 15．(,)62
ππ 【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2
π
，当交点为()3,0B 时，斜率(
03330
3
k -=
=
-，直线l 的倾斜角为6
π
∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
． ππ⎛⎫
【解析】
由181920123()7824102,173102,a a a a a a d ++-++=+=∴⨯=,
212,8,10d a a ∴==-∴=-,可知20201920(10)21802S ⨯=⨯-+
⨯=. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）tan()3αβ+=-
（2）324
παβ+=
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos α 与cos β的值，进而可得出sin α与sin β的值，从而可求tan α与tan β的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan 2tan αβαββ⎡⎤+=++⎣⎦ 的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.
由条件得cosα＝
，cosβ＝. ∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝
18． (1) 最小正周期为π,值域为221⎡⎤-⎣⎦；
(2) 2x k ππ=+
,或34
x k ππ=+,()k ∈Z 【解析】
【分析】 先用降幂公式,再用辅助角公式将()f x 化简成()sin()f x A ωx φB =++的形式,再求最小正周期,值域与()0f x =的解.
【详解】
(1)()()2
2cos sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos21f x x x x x x x x x =+=+=++
)14x π=+
+故最小正周期为22T ππ==,又1sin(2)14x π-≤+≤,
故1)114
x π≤++≤,所以()f x 值域为1⎡⎤⎣⎦.
故最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦.
(2)由(1)())14f x x π=++,故()0f x =)10,4
x π++=化简得
sin(2)42x π
+=-,所以52244x k πππ+=+或72244x k πππ+=+,()k ∈Z . 即2x k π
π=+,或34
x k ππ=+,()k ∈Z . 故方程()0f x =的解为：2x k ππ=+
,或34
x k ππ=+,()k ∈Z 【点睛】 本题主要考查三角函数公式,一般方法是先将三角函数化简为()sin()f x A ωx φB =++的形式,再根据题意求解相关内容.
19．（1）11q -
；（2）10q -<<，最小值1q +，最大值1；01q <<，最小值1，无最大值；（3）232个 【解析】
【分析】
（1）由1q ≥，分类讨论，分别求得,n n a S ，结合极限的运算，即可求解；
（2）由等比数列{}n a 的前n 项和公式，求得1111n n S q q q
=
-⋅--，再分()0,1q ∈和()1,0q ∈-两种情况讨论，即可求解，得到结论；
（3）由不等式|63|62t -<，求得1125t <<，在由等比数列{}n a 的前n 项和公式，得到
1
1111n n a S t t ⎡⎤⎛⎫=⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，根据不等式912n S <<成立，可得11911211n a t t ⎡⎤⎛⎫<⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，结合数列的单调性，即可求解.
【详解】
（1）由题意，等比数列{}n a ，且11a =，
①当1q =时，可得1n a =，n S n =，所以1lim lim 0n n n n a S n
→∞→∞==， ②当1q >时，可得11,1n
n n n q a q S q
--==-， 所以()11
11111lim lim lim lim lim 1111111n n n n n n n
n n n n n n n n q q a q q q q q S q q q q q
---→∞→∞→∞→∞→∞---=====------， 综上所述，当11a =，1q ≥时，1lim 1n n n a S q
→∞=-. （2）由等比数列{}n a 的前n 项和公式，可得111111n n n q S q q q q
-==-⋅---， 因为||1q <且0q ≠，所以11,12q ⎛⎫-∈-∞- ⎪-⎝⎭
， ①当()0,1q ∈时，()11n f n q q
=-⋅-单调递增，此时n S 有最小值11S =，无最大值； ②当()1,0q ∈-时，()11n f n q q =-
⋅-中， 当n 为偶数时，()f n 单调递增，且()0f n <；
当n 为奇数时，()f n 单调递减，且()0f n >；
分析可得：n S 有最大值11S =，最小值为21S q =+；
综上述，① 当10q -<<时，n S 的最小值为1q +，最大值为1；
② 当01q <<时，n S 的最小值为1，无最大值；
（3）由不等式|63|62t -<，可得1125t <<，
又由等比数列{}n a 的前n 项和公式，可得1111111111n n n a t a S t t t
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--， 因为首项1a 和t 都是正整数，所以11111a a t
≥≥-， 又由对于任意正整数n 有912n S <<成立，可得11911211n a t t
⎡⎤⎛⎫<⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 联立可得111119121111n n t t a t t -
-⋅<<⋅⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()1
111n t f t t -
=⎛⎫- ⎪⎝⎭，由t 为正整数，可得11n y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，所以函数()f t 单调递减， 所以min 1111212111n t t t ⎡⎤⎢⎥-⎛⎫⎢⎥⋅=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，且max 119911n t t ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⋅>⎢⎥⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦ 所以119121a t ⎛
⎫<≤- ⎪⎝⎭
， 当110a =时，112110t ⎛
⎫-≥ ⎪⎝⎭，即116
t ≤，解得6t ≥，此时有12461119-+=个， 当111a =时，112111t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即1112
t ≤
，解得12t ≥，此时有124121113-+=个， 所以共有232个.
【点睛】 本题主要考查了等比数列的前n 项和公式，数列的极限的计算，以及数列的单调性的综合应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，极限的运算法则，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于难题.
20．（1
）20x y ++=
或20x y +=
（2）存在，9
(,0)5B -，
PB PA 35= 【解析】
【分析】
（1）先设与直线l 垂直的直线方程为20x y m ++=，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）先设存在，利用都有
PB PA 为常数及P 在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.
【详解】 解：（1）由直线:20l x y -=.
则可设与直线l 垂直的直线方程为20x y m ++=，
又该直线与圆22
:9C x y +=相切，
3=
，则m =
故所求直线方程为20x y ++=
或20x y +-=；
（2）假设存在定点(,0)B t 使得对于圆C 上任一点P ，
PB
PA 为常数， 则222PB PA λ=,
所以22222
()[(5)]x t y x y λ-+=++，
将229y x =-代入上式化简整理得： 2222(5)3490t x t λλ++--=对[]3,3x ∈-恒成立，
所以222503490t t λλ⎧+=⎨--=⎩
， 解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或15t λ=⎧⎨=-⎩， 又5t ≠-， 即3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以存在定点9(,0)5
B -使得对于圆
C 上任一点P ，PB PA 为常数35. 【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.
21．（1）n a n =，2n
n b =；（2）112221n n ++-- 【解析】
【分析】
（1）由{}n a 是等差数列，55a =，410S =，可求出n a n =，由{}n b 是等比数列，
0n b >，24b a =，416b a =，可求出2n n b =；（2）将{}n a 和{}n b 的通项公式代入n c ，则()()
122121n n n n c +=-- 1112121n n +=---，利用裂项相消求和法可求出n T .
【详解】
(1)55a =，410S =，1145,43410,2a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩
，解得11,1,a d =⎧⎨=⎩ n a n ∴=.
又24b =，416b =，
1314,16,0,n
b q b q b =⎧⎪∴=⎨⎪>⎩ 12,2,b q =⎧∴⎨=⎩ 2n n b ∴=. （2）由（1），得()()
122121n n n n c +=-- 1112121n n +=--- 12n n T c c c ∴=++⋅⋅⋅+
12112121⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭ 231111*********n n +⎛⎫⎛⎫-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 1111
2212121n n n +++-=-=-- 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前n 项和，属于中档题． 22．（1）θ3π=
（2）最小正周期为π；单调递增区间为[6π-+kπ，3
π+kπ]，k ∈Z 【解析】
【分析】
（1）计算平面向量的数量积得出函数f （x ）的解析式，求出f （θ）＝3时θ的值；
（2）根据函数f （x ）的解析式，求出它的最小正周期和单调递增区间．
【详解】
（1）向量m =，1），n =（sinx ，
32）， 函数()f x n m =⋅
＝sinx cosx+sinx ）32
+
=2x 32+
=12-cos2x+2 ＝sin （2x 6
π-）+2， f （θ）＝3时，sin （2θ6π-
）＝1， 解得2θ62ππ-
=+2kπ，k ∈Z ， 即θ3π
=+kπ，k ∈Z ；
又θ∈（0，π），所以θ3π
=；
（2）函数f （x ）＝sin （2x 6π-
）+2， 它的最小正周期为T 22π=
=π； 令2π
-+2kπ≤2x 62π
π
-≤+2kπ，k ∈Z ，
6π
-+kπ≤x 3π
≤+kπ，k ∈Z ，
所以f （x ）的单调递增区间为[6π-
+kπ，3
π+kπ]，k ∈Z ． 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤<．下列四个命题中不正确的是（ ） A ．存在一个圆与所有直线相交
B ．存在一个圆与所有直线不相交
C ．存在一个圆与所有直线相切
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
2．已知等差数列{}n a 中，34568a a a a +-+=, 则7S =（ ）
A ．8
B ．21
C ．28
D ．35
3．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ） A ． B ． C ．
D ．
4．若直线1l ：10ax y +-=与直线2l ：10x ay ++=平行，则a 的值为( )
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．-1或1
5． “1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ）
A ．{4,5}
B ．{4}
C ．{3,4}
D ．{5,6}
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ）
A ．32
B ．64
C ．65
D ．130
8．已知a ，b 为非零实数，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．22a b <
B ．22ab a b >
C ．2211ab a b <
D ．b a a b
< 9．已知,a b 是平面内两个互相垂直的向量，且||1,||3a b ==，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．10 10．已知实数满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为( )
A ．5
B ．5
C ．25
D ．55
11．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ） A ．33 B ．1
C ．3
D ．2 12．已知等比数列的公比为，且
，数列满足，若数列有连续四项在集合
中，则（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题：本题共4小题
13．函数276y x x =+-_____.
14．已知等边三角形ABC 的边长为2,点P 在边AB 上,点Q 在边AC 的延长线上,若CQ BP =,则PC PQ ⋅的最小值为______.
15．不等式()()120x x -+<的解集是 ．
16．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1
102 1.072≈） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设12,e e 是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=--=- （Ⅰ）若a b ，求λ的值； （Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值． 18．（1）设1＜x ＜
3
2
，求函数y ＝x （3﹣2x ）的最大值； （2）解关于x 的不等式x 2-（a+1）x+a ＜1．
19．（6分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.
20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若E 为BC 的中点，60ABC ︒∠=，求证：平面PAD ⊥平面PAE . 21．（6分）已知
ABC 的三个顶点为(4,0),(8,10),(4,6)A B C .
（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.
22．（8分）如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点， 已知2AB =， 22AD =，
2PA =，求：
（1）直线PC 与平面 PAD 所成角的正切值； （2）三棱锥 P ABE -的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解 【详解】
因为cos (2)sin 1x y θθ+-=
所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离221cos sin d θθ
=
=+即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切
线组成的集合，所以存在圆心在(0,2)， 半径大于1的圆与M 中所有直线相交, A 正确 也存在圆心在(0,2)，半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交，B 正确 也存在圆心在(0,2)半径等于1的圆与M 中所有直线相切，C 正确 故ABC 正确
因为M 中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切,所以M 中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 ABC △与 ADE 均为等边三角形而面积不等,
故D 错误，答案选D. 【点睛】
本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化. 2．C 【解析】
【分析】 【详解】
53456353528a a a a a a a a a +-++-=+==,
173********
a a a a
S ++=
⋅=⋅=. 故选C. 3．B 【解析】
因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；
对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ． 4．C 【解析】 【分析】
两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案． 【详解】 显然0a ≠，
1:1l y ax =-+，21:(1)l y x a =-+．所以1
a a
-=-，解得1a =±，又1a =-时两直线重合，所以1a =．
故选C 【点睛】
此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题． 5．A 【解析】
试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．
考点：两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定． 6．A 【解析】 【分析】
先分析出540,0a a =<，即得k 的值. 【详解】
因为9550,90,0.S a a =∴=∴=
因为818458
0,()0,02
S a a a a <∴+<∴+< 所以40a <.
所以()45min n S S S ==,
所以正整数k 构成的集合是{4,5}. 故选A 【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．C 【解析】
程序运行循环时变量值为：2,6,3x v n ===；2,15,2x v n ===；2,32,1x v n ===；
2,65,0x v n ===，退出循环，输出65v =，故选C ．
8．C 【解析】 【分析】
1a =-，1b =时，A 、B 、D 不成立；利用作差比较，即可求出C ．
【详解】
解： 1a =-，1b =时，22a b =，22ab a b <，b a a b
= 故A 、B 、D 不成立；
a b <，∴
2222110a b
ab a b a b --=<，∴2211ab a b
<．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】
设出平面向量,a c 的夹角，求出,b c 的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式
()()0a c b c -⋅-=，最后利用辅助角公式求出||c 的最大值.
【详解】
设平面向量,a c 的夹角为θ，因为,a b 是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量,b c 的夹角为
2
π
θ±，
因为,a b 是平面内两个互相垂直的向量，所以0a b ⋅=.
2
()()00a c b c a b a c b c c -⋅-=⇒⋅-⋅-⋅-=，
2
cos cos(
)02
a c
b
c c π
θθ⇒-⋅⋅-⋅⋅±+=，
cos 3cos(
)cos 3sin )2
c π
θθθθθϕ⇒=+±=±=±，其中tan 3ϕ=，显然当
2()2
k k Z π
θϕπ±=+
∈时，||c 有最大值，即max 10c =故选：D 【点睛】
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】
.
【详解】
= A.
【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
根据ABC ∆的周长为20，求得()11
2022
ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=
再利用正弦定理1sin 2ABC S AB AC A ∆=
⨯=，得到sin AB AC A
⨯=，然后代入余弦定理
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，化简得到3sin cos 1A A +=求解.
【详解】
因为ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3， 所以()11
20310322ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯⨯=， 又因为1
sin 1032ABC
S AB AC A ∆=⨯=， 所以203
AB AC ⨯=
. 由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，()()2
21cos AB AC AB AC A =+-⨯⨯+， 所以()203
491692
1cos A =-⨯+ ， 所以3sin cos 1A A +=，
即1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
因为A 为内角， 所以,6
6
3
A A π
π
π
-
=
∴=
，
所以tan 3A =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】 由题可知数列的连续四项，从而可判断
，再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公
比. 【详解】 因为数列有连续四项在集合
中，
，所以数列有连续四项在集合
中，所以数列
的连续四项不同号，即
.因为
，所以
，
按此要求在集合
中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，
18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列
的连续四项
为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.
【点睛】
本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大. 二、填空题：本题共4小题 13．[1,7]-. 【解析】 【分析】
由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】
由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-. 【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 14．
236
【解析】 【分析】
以,OC OA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(02)BP CQ t t ==≤≤，PC PQ ⋅用t 表示，求其最小值即可得到本题答案. 【详解】
过点A 作BC 的垂线，垂足为O ，以,OC OA 为,x y 轴建立平面直角坐标系. 作PM 垂直BC 交于点M ，QH 垂直y 轴交于点H ，CN 垂直HQ 交于点N.
设(02)BP CQ t t ==≤≤，则13131,,1,2222P t t Q t t ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有
132,,(2,3)2PC t t PQ t ⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝
⎭
所以，2
233123
42236
PC PQ t t t ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，取最小值236.
故答案为：236
【点睛】
本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题. 15．{|21}x x -<< 【解析】 【详解】
因为()()1201,2x x x x -+=⇒==-,且抛物线开口方向向上， 所以(1)(2)0x x -+<21x ⇔-<<，
不等式()()120x x -+<的解集是{|21}x x -<<. 16．7.2% 【解析】 【分析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，结合题意可得10(1)2a r a +=，解可得r 的值，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ， 则有10(1)2a r a +=， 即10(1)2r +=， 解可得：0.072r ≈， 故答案为：7.2%． 【点睛】
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r 的方程，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）1
2
λ=-（Ⅱ）2λ= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）a b ，则存在唯一的μ使b μ=，解得所求参数的值； （Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，解得所求参数的值． 【详解】
解：（Ⅰ）若a b ，则存在唯一的μ，使b μ=，∴1212(2)e e e e λμ-=--
1212μλμλμ
=-⎧∴⇒==-⎨-=-⎩，
∴当1
2
λ=-时a b ，；
（Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，
1212(2)()0e e e e λ--⋅-= 22
11222(21)0e e e e λλ⇒-+-⋅+=
因为12,e e 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=
∴当2λ=时，a b ⊥.
【点睛】
本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用． 18．（1）max 9
8
y =（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值． （2）不等式即（x ﹣1）（x ﹣a ）＜1，分类讨论求得它的解集． 【详解】
（1）设1＜x 32＜，∵函数y ＝x （3﹣2x ）98=-22
34x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，故当x 34=时，函数取得最大值为98． （2）关于x 的不等式x 2﹣（a+1）x+a ＜1，即（x ﹣1）（x ﹣a ）＜1． 当a ＝1时，不等式即 （x ﹣1）2＜1，不等式无解； 当a ＞1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a}； 当a ＜1时，不等式的解集为{x|a ＜x ＜1}．
综上可得，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a ＞1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a}，当a ＜1时，不等式的解集为{x|a ＜x ＜1}． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】
（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；
（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】
（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴3216
28
b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础. 20．（1）证明见解析，（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据底面ABCD 为菱形得到BD AC ⊥，根据线面垂直的性质得到PA BD ⊥，再根据线面垂直的判定即可得到BD ⊥平面PAC .
（2）首先利用线面垂直的判定证明AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定证明平面PAD ⊥平面PAE 即可. 【详解】
（1）因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥.
BD AC BD PA
BD PA AC A ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAC .
（2）因为底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=
所以ABC 为等边三角形.
因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.
又因为//AD BC ，所以AE AD ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，
所以PA AE ⊥.
AE AD AE PA
AE PA AD A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAD . 因为AE ⊂平面PAE ，所以平面PAD ⊥平面PAE .
【点睛】
本题第一问考查线面垂直的判定和性质，第二问考查面面垂直的判定，属于中档题.
21． (1)
40x y --=；(2)8x =. 【解析】
【分析】
（1）先由两点写出直线BC 的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B 且与直线AC 平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B ，故舍去.
【详解】
（1）由B 、C 两点的坐标可得106184
BC k -==-， 因为待求直线与直线BC 平行，故其斜率为1BC k k ==
由点斜式方程可得目标直线方程为4y x =-
整理得40x y --=.
（2）由A 、C 点的坐标可知，其中点坐标为()4,3
又直线AC 没有斜率，故其垂直平分线为3y =，此直线不经过点B ，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC 平行的直线，即8x =.
综上所述，满足题意的直线方程为8x =.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，属基础题.
22．（1
）
3
；（2
）3 【解析】
【分析】
（1）要求直线PC 与平面PAD 所成角的正切值，先要找到直线PC 在平面PAD 上的射影，即在直线PC 上找一点作平面PAD 的垂线，结合已知与图形，转化为证明CD ⊥平面PAD 再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以PAB 为底，E 与PB 的中点H 的连线HE 为高计算更为快速，从而转化为证明EH ⊥平面PAB 再求解.
【详解】
（1）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面ABCD CD PA ∴⊥
又CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD
所以CD ⊥平面PAD ，所以CPD ∠为直线PC 与平面PAD 所成角。

易证PCD ∆是一个直角三角形， 所以3tan 3
23CD CPD PD ∠===. （2）如图，设PB 的中点为H ，则//EH BC ，
PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD BC PA ∴⊥, 又//EH BC ，
EH PA ∴⊥，BC BA ⊥, 又//EH BC ，EH BA ∴⊥，PA BA A ⋂=，
所以EH ⊥平面PAB ， 所以HE 为三棱锥的高.
因此可求22P ABE E PAB V V --==
【点睛】
本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.。