由“椭圆与双曲线的第一定义”想到的问题
选修2-1数学课后习题答案(全)
新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章 常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+-- ()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真； （2）假.2、（1）真； （2）假.3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；（31≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0； （3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C ==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形， 利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=.因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c .（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得 直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B）为圆心，以线段2OA （或1OA ） 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x+=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁； （2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5， 因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±. 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.所以，QO QA QO QP OP r +=+==.又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x m x +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF PM d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得 12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''. 直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==. 所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=， 所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a -=.解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =.所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k-=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =； 3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32p x =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得 3x=±则 321y ==±因为OB k ，OA k=所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-=因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a +=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上.而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k的取值范围为k >k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A的坐标为11(,)x y，点B的坐标为22(,)x y，点M的坐标为(,)x y.并设经过点M的直线l的方程为1(2)y k x-=-，即12y kx k=+-.把12y kx k=+-代入双曲线的方程2212yx-=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k------=2(20)k-≠. ……①所以，122(12)22x x k kxk+-==-由题意，得2(12)22k kk-=-，解得4k=当4k=时，方程①成为21456510x x-+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=.2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得a c +=所以 (1c +=+ c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=. 由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……②（第4题）12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3.练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=（第7题）PRS B CAQ O（第3题）所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面， 于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==.向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-， 所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =- 所以2312CM ==，21312D N == 111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19. 11、31(,,3)22- 习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）292247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于292247.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++（第3题）222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅ 222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以 22cos AA d mn θ'=.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，212MN AD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-. 因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-= 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos 2θ===sin θ=点O 到平面ABC 的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，D ，1(0,,0)2B，3(0,,0)2C，A . ∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos θ==因此，二面角A BD C --的余弦cos cos()απθ=-=7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a = 222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅=，10OM BD ⋅=，所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==PQ =22cos 2PQ MNPQ PQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=， ()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==. 184233ABCD V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，,0,1)M -，,0)N .。
高中数学_双曲线的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
《双曲线的标准方程》-教学设计课题:《双曲线的标准方程》一、教学目标【知识与技能】（1）通过画双曲线和分析具体实例，使学生认识双曲线，理解双曲线的定义；（2）会推导双曲线的标准方程, 能根据条件，求双曲线的标准方程.【过程与方法】学生在自主探究、合作交流等活动中提高分析解决问题的能力，提高运算能力,培养观察、类比、分类讨论等数学思想方法.【情感、态度与价值观】通过运用所学知识分析和解决实际问题，体会数学的应用价值.二、教学过程1 以课前思维导学为基础，感悟概念【课前自主学习任务单】【学习目标】（1）通过实例，认识双曲线，并理解双曲线的定义；（2）会推导双曲线的标准方程, 能根据条件，求双曲线的标准方程;（3）在自主探究、合作交流等活动中提高分析解决问题的能力,增强主动学习的意识.【学法指导】圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种美妙线方程息息相关，特别是椭圆和双曲线，有人称之为“情侣曲线”，有很多相似之处，我们可类比椭圆的研究方法研究双曲线. 特别要重视椭圆和双曲线的相同点和不同点.【自主学习任务】动手实践：双曲线是常见的图形，怎样可以得到双曲线呢？小组合作，探寻画出双曲线的方法.自主探索： 导航定位技术在军事、科技、民生等领域有重要作用.有一种定位原理是：F 1、F 2 是两个导航台， 一辆汽车M 上装有定位仪，能接收从导航台发来的无线电信号，因为车M 到导航台的距离不等，因此两处同时发出的信号到达车M 上的时间就有先后，于是定位仪可读出从F 1、F 2发来的信号到达M 上的时间差，就可以知道M 离开各导航台的距离差.假设两个导航台F 1、F 2 距离为10km ，车M 在行驶中，定位仪显示，F 1发来的信号到达时间始终比F 2发来的信号晚5210s -⨯，已知无线电波在空气中传播的速度是5310/km s ⨯.（1）在这个过程中，哪些量是定量？（2）动点M 满足什么条件？思考： 若令F 1、F 2距离为2c ，点P 到F 1、F 2的距离差为2(022)a a c <<，请你求出点P 所在的曲线方程.（提示：类比椭圆标准方程的推导过程）设计意图：课前思维导学任务单包含了两个具体任务。
椭圆的第一定义
椭圆的第一定义tuǒyuǎn平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P的轨迹叫做椭圆。
即：│PF│+│PF'│=2a其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。
[~]椭圆的第二定义平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X= a^2/c)。
椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况[~]标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^ 2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为m x^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。
1椭圆的定义第一定义平面上到两个定点的距离之和等于
1．椭圆的定义:第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+by a x (a>b>0)，参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为ca x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace=，由c 2+b 2=a 2知0<e<1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。
新人教版高中数学选择性必修第一册双曲线及其标准方程
2.利用 a,b,c 之间的关系建立等式求解.
29
【思维提升】
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
2 2
(1)对于方程 + =1,当 mn<0 时表示双曲线,进一步,当 m>0,n<0 时表示焦点在 x 轴
上的双曲线;当 m<0,n>0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.
范围.
30
【即学即练】
“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的 (
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
2 2
2
- 2 =1(a>0,b>0).
由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,
所以
= 2 5,
25
2
-
4
2
2 = 20,
解得 2
= 1,
= 16.
2 2
故所求双曲线的标准方程为 - =1;
20 16
(2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.
因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以 2a=
变,则动点轨迹不存在.
③若常数为0,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
8
2.双曲线的标准方程
焦点所在
的坐标轴
标准方程
x轴
y轴
- =1
________(a>0,b>0)
x2 y2
- 2 =1(a>0,b>0)
2
a b
图形
焦点坐标
a,b,c的关系式
F1(0,-c),F2(0,c)
双曲线(单元教学设计) 高中数学新教材选择性必修第一册
第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。
所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。
这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质
第二讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程常考常用结论1．椭圆的定义与方程：|MF 1|＋|MF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)， 焦点在y 轴上：y 2a 2+x 2b 2＝1(a>b>0)．2．双曲线的定义与方程：||MF 1|－|MF 2||＝2a(2a<|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)，焦点在y 轴上：y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)．3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d 为M 点到准线的距离) y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py(p>0)．保分题1.[2022·山东济南三模]“0<a<12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )A ．2B ．2√2C ．3D ．3√23．[2022·湖南湘潭三模]椭圆E ：x 2a 2+y 2a+2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与E 交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为12，则E 的离心率为( )A ．23 B ．13 C ．19 D ．49提分题例1 (1)[2022·山东济南历城二中模拟]设F 1，F 2分别是双曲线x 24−y 245＝1的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且3|PF 1|＝5|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．14√3B ．7√15C ．15√3D ．5√15(2)[2022·河北石家庄二模]已知，点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为点N ，点M(3，4)，则|PM|＋|PN|的最小值是( )A ．2√5－1B ．√5－1C ．√5＋1D ．2√5＋1技法领悟1．关于圆锥曲线定义的应用：对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．巩固训练11.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．2．[2022·湖南岳阳一模]已知抛物线y ＝14x 2的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF 的周长最小时，点P 的坐标为________．微专题2 圆锥曲线的几何性质常考常用结论1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为2b 2a.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，|AB|＝2b 2a.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，|AB|＝2p.2．双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x. 双曲线y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ab x. 3．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝√1−(b a )2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝√1+(ba )2.4．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(p 2，0)，准线方程x ＝－p2； 抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F(0，p2)，准线方程y ＝－p2.保分题1.[2022·湖北武汉二模]若椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a>0)的离心率为√22，则a 的值为( ) A ．√2B ．12C ．√2或√22D ．√2或122．[2022·河北沧州二模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e 是它的一条渐近线斜率的2倍，则e ＝( )A ．2√33B ．√2C ．√3D ．23．[2022·山东潍坊一模]抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)，则C 的准线方程为________．提分题例2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A ．√32B ．√22C ．12D ．13(2)[2022·河北唐山一模](多选)已知直线l ：x ＝ty ＋4与抛物线C ：y 2＝4x 交于A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2，则( )A ．y 1·y 2为定值B ．k 1·k 2为定值C ．y 1＋y 2为定值D ．k 1＋k 2＋t 为定值 听课笔记：技法领悟1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．巩固训练21.[2022·河北保定一模]已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝() A．3+√52B．3＋√5C．9+√652D．9＋√652．已知椭圆C：x2m2−1+y2m2＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为√3，则椭圆C的短轴长为________．微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1.[2022·山东淄博三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2√3，则p＝()A．1 B．√3C．2 D．42．已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝√52x，且与椭圆x212+y23＝1有公共焦点．则C的方程为()A．x28−y210＝1 B．x24−y25＝1C．x25−y24＝1 D．x24−y23＝13．[2022·全国甲卷]若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．提分题例3 (1)[2022·福建泉州模拟]已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝4b25，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A．(0，2√105) B．(0，√64)C ．[2√105，1) D ．[√64，1)(2)[2022·湖北武汉模拟]已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左支、右支分别交于A 、B 两点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A ．√3B ．2C ．√7D ．3 听课笔记：技法领悟1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．巩固训练31.[2022·山东威海三模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以原点O 为顶点，F 2为焦点的抛物线与双曲线C 在第一象限的交点为P.若∠PF 1F 2＝45°，则C 的离心率为( )A ．√2B ．√2＋1C ．√3D ．√3＋12．[2022·全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 [TX →]·BA 2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218+y 216＝1 B ．x 29+y 28＝1 C ．x 23+y 22＝1D ．x 22＋y 2＝1第二讲 圆锥曲线的方程与性质微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程保分题1．解析：方程x 22a−1+y 2a＝1表示的曲线为双曲线，则a (2a －1)＜0，解得0＜a ＜12，故“0<a <12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的充要条件． 答案：C2．解析：由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2√x 0)．根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝√(1−3)2+(2−0)2＝2√2.故选B.答案：B3．解析：因为△ABF 2的周长为12，根据椭圆的定义可得4a ＝12，解得a ＝3， 则c 2＝a 2－a －2＝4，所以c ＝2，则椭圆E 的离心率为e ＝ca ＝23.答案：A提分题[例1] 解析：(1)设|PF 1|＝5x ，|PF 2|＝3x ，则由双曲线的定义可得：|PF 1|－|PF 2|＝5x －3x ＝2x ＝2a ＝4，所以x ＝2，故|PF 1|＝10，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝14，故cos ∠F 1PF 2＝100+36−1962×10×6＝－12，故sin ∠F 1PF 2＝√32，所以△PF 1F 2的面积为12×10×6×√32＝15√3.(2)由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1， 过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小值为|MF |－1＝√(3−1)2+(4−0)2－1＝2√5－1.答案：(1)C (2)A[巩固训练1]1．解析：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ |＝|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝8，m 2＋n 2＝48， 所以64＝(m ＋n )2＝m 2＋2mn ＋n 2＝48＋2mn, mn ＝8，即四边形PF 1QF 2面积等于8. 答案：82．解析：如图，设l ：y ＝－1是抛物线的准线，过P 作PH ⊥l 于H ，作QN ⊥l 于N ，则|PF |＝|PH |，F (0，1)，|FQ |＝1，|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋|PH |，易知当Q ，P ，H 三点共线时，|PQ |＋|PH |最小，且最小值为1＋1＝2，所以△PQF 的周长最小值为3，此时x P ＝1，y P ＝14， 即P (1，14)． 答案：(1，14)微专题2 圆锥曲线的几何性质保分题1．解析：当a 2>1，即a >1时，则a 2−1a 2＝(√22)2，解得a ＝√2；当a 2<1，即0<a <1时，则1−a 21＝(√22)2，解得a ＝√22，综上：a 的值为√2或√22. 答案：C2．解析：由题意得{c a =2ba a 2+b 2=c2，解得c 2a 2＝43，即e ＝2√33. 答案：A3．解析：因为抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)， 所以C 的准线方程为y ＝－2. 答案：y ＝－2提分题[例2] 解析：(1)设P (x 1，y 1)，则点Q 的坐标为(－x 1，y 1)．由题意，得点A (－a ，0)．又直线AP ，AQ 的斜率之积为14，所以y 1x1+a·y 1−x1+a＝14，即y 12 a2－x 12 ＝14①.又点P 在椭圆C 上，所以x 12 a2＋y 12 b2＝1②.由①②，得b 2a 2＝14，所以a 2＝4b 2，所以a 2＝4(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝√32.故选A.(2)由{x =ty +4y 2=4x 得：y 2－4ty －16＝0，则{y 1+y 2=4t y 1y 2=−16；对于A ，y 1y 2＝－16为定值，A 正确；对于B ，k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 12y 2216＝16y1y 2＝－1，B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，C 错误； 对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1+y2x 2＋t ＝x 2y 1+x 1y 2x 1x 2＋t ＝(ty 2+4)y 1+(ty 1+4)y 2y 12y 22 16＋t ＝2ty 1y 2+4(y 1+y 2)y 12y 22 16＋t ＝−32t+16t16＋t ＝－t ＋t ＝0，则k 1＋k 2＋t 为定值，D 正确．答案：(1)A (2)ABD [巩固训练2]1．解析：由题意，当POQF 为正方形时，点P 的坐标为(c2，c2)，代入x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)可得c 24a 2−c 24b 2＝1，整理得b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2， 即(c 2－a 2)c 2－a 2c 2＝4a 2(c 2－a 2)，整理得c 4－6a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－6e 2＋4＝0，解得e 2＝3＋√5. 答案：B2．解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2√m 2−(m 2−1)＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12|F 1F 2|√m 2−1＝√3，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2√m 2−1＝2√3.答案：2√3微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1．解析：由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有x A2+y A2＝22，y A＝√3，x A<0，解得x A＝－1，故－p2＝－1，得p＝2.答案：C2．解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝√52x，则ba ＝√52①.又因为椭圆x212+y23＝1与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距2c＝6，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝√5，则双曲线C的方程为x24−y25＝1.答案：B3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝xm，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得√m2+1＝1，解得m＝±√33.又因为m＞0，所以m＝√33.答案：√33提分题[例3]解析：(1)由题意，如图，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠APB ≤90°，即α＝∠APO ≤45°，sin α＝2b √5a ≤sin 45°＝√22， 即8b 2≤5a 2，因为a 2＝b 2＋c 2，解得：3a 2≤8c 2.∴e 2≥38，即e ≥√64，而0<e <1， ∴√64≤e <1，即e ∈[√64，1)．(2)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即边BF 2的中线与边BF 2垂直，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|AF|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理可知△ABF 2为正三角形，|BF 1|－|BF 2|＝|BF 1|－|BA |＝|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝4a ，取AB 中点D ，|F 1D |＝4a ，|F 2D |＝2√3a ，|F 1F 2|＝2c ， ∵F 2D ⊥F 1D ，则(2c )2＝(4a )2＋(2√3a )2，整理得c 2a 2＝7， ∴e ＝√7.答案：(1)D (2)C[巩固训练3]1．解析：由题知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则抛物线方程为：y 2＝4cx ，直线PF 1方程为：y ＝x ＋c ， 由{y =x +c y 2=4cx⇒x 2－2cx ＋c 2＝0⇒x ＝c ，∴P (c ，2c )，∴PF 2⊥x 轴，∴|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝2√2c ， ∴双曲线离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF1|−|PF 2|＝2√2−2＝√2−1＝√2＋1. 答案：B2．解析：由椭圆C 的离心率为13，可得e ＝c a ＝√a 2−b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B (0，b )，所以BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组{8a 2=9b 2，−a 2+b 2=−1，解得{a 2=9，b 2=8.所以C 的方程为x 29+y 28＝1.故选B. 答案：B。
《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。
2025届浙江省杭州市余杭中学高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届浙江省杭州市余杭中学高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．4．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C 5D 65．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2B 5C 6D 76．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同8．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51-B ．2C ．3D ．510．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．2411．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．812．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第13讲 双曲线的定义和标准方程学生高一升高二暑假培优讲义
第13讲双曲线的定义和标准方程[玩前必备]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．3．双曲线的性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R[玩转典例]题型一 双曲线定义例1 (1)（2019·辽宁高二月考）已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支(2)（2020·东北育才学校高二月考（理））已知左、右焦点分别为12F F 、的双曲线2216436x y -=上一点P ，且117PF =，则2PF =（ ） A ．1或33B ．1C ．33D ．1或11例2 (1)若F 1，F2分别是双曲线2288x y -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12PF F △是等腰三角形，则12PF F △的周长为（ ） A ．17 B ．16 C ．20D ．16或20(2)（2018·河南高二月考（理））1F 、2F 的双曲线2212511y x -=的两焦点，P 在双曲线上，1290F PF ∠=︒，则12PF F ∆的面积是（ ） A ．11 B ．112C ．112D ．2[玩转跟踪]1．（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））已知双曲线221259x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为18，则点M 到右焦点2F 的距离是__________________.2．（2019·阜阳市第三中学高二月考（文））已知点1F 、2F 分别是双曲线()222109x y a a -=>的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且12216PF PF ==，则12PF F △的周长是________． 3．（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________．4．（2019·湖北高二期中）已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______． 题型二 双曲线的标准方程例3 （2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程 （1）经过两点()()3,0,6,3--；（2）a =()2,5-，焦点在y 轴上.(3)过点(3)，离心率e ； (4)中心在原点，焦点F1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4)．[玩转跟踪]1.（2019·宁夏育才中学高二期末（文））已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C 的标准方程. （1）渐近线方程为53y x =±，且过点()3,10；（2）与双曲线221x y -=的离心率相同，与2215x y +=共焦点.（3）求与双曲线x 22−y 2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．(4)已知焦点()106F -，，()206F ，，双曲线上的一点P 到1F ，2F 的距离差的绝对值等于8；(5)已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点(4P ，题型三 根据双曲线求参数例4 (1)（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在x 轴上，若焦距为4，则a =（ ） A ．212B ．7C ．92D ．12(2)（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））方程221()23x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充要条件是( )A ．2k >或k<-3B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<[玩转跟踪]1．（2019·河北高考模拟（理））若方程x 2m−2+y 26−m=1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A.m <2或m >6B.2<m <6C.m <−6或m >−2D.−6<m <−22．（2019·上海格致中学高三开学考试）如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________题型四 渐近线和离心率例5 (1)（2019·江苏淮阴中学高二月考）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A.x =B.20x y ±=C.20x y ±=D.x =(2)（2019·浙江高三学业考试）已知双曲线22214y x b -=的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．2y x =±例6 (1)（2019·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A B C 2D 2(2)（2019·山东高三月考）若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与直线y =2x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A.√52B.√5C.√62D.2(3)（2019·河北石家庄二中高二月考）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[)2,+∞D ．(4)（2019·广东高三月考（文））已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）．ABC ．2D[玩转跟踪]1．（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y =B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±2．（2019·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（ ） A．y =B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±3（2019·甘肃高二月考（文））经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）4．（2019·内蒙古高二期末（文））已知F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若|FM|=2|OF|，且∠OFM =120°，则C 的离心率为（ ） A.32B.√5−12C.2D.√3+12[玩转练习]一、单选题1．（2019·浙江省高三期中）双曲线的焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线的离心率为2，则实数的值为( )A ．4B ．8C ．12D ．16222=2x y -(1,0)±(0)(0,1)±(0,2214x y m-=m3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ． B ． C ． D ． 5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线的焦距为方程为，则焦点到渐近线的距离为（ ） A ．1 BC ．2D．二、多选题6．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C 的方程为的是( )A ．离心率为B ．双曲线过点C ．渐近线方程为D ．实轴长为47．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 ，则有（ ）A ．渐近线方程为B ．C ．D ．渐近线方程为三、填空题32y x =±22132x y -=22132y x -=22194x y -=22194y x -=()2222:10,0x y C a b a b-=>>2y x =±y =y =±4y x =±2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12y x =±22221(0,0)x y a b a b-=>>1(5,0)F -2(5,0)F 221169x y -=5495,4⎛⎫⎪⎝⎭340±=x y 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A A b A A C M N 60MAN ∠=︒y x =2e =3e =y =8．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线的渐近线方程为9．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．10．（2020·天水市第一中学高二月考）已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题11．（2020·定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.12．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.2214y x -=22145x y -=x l C ()222210,0x ya b a b-=>>P Q O OPQ ∆C 2212736x y +=4)13(。
2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质练习
第1课时 椭圆及简单几何性质[A 级 基础巩固]1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：因为△AF 1B 的周长为43，且△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ， 所以4a ＝43，所以a ＝3， 因为离心率为33，所以c a ＝33，解得c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <－1C ．－1<k <1D ．－1<k <0或0<k <1解析：因为曲线x 21－k ＋y 21＋k＝1表示椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，1＋k >0，1－k ≠1＋k ，解得－1<k <1，且k ≠0，则－1<k <0或0<k <1. 答案：D4．(2020·东营市联考)设F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点，过F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|最大值为5，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.5－12D.32解析：因x 24＋y 2b2＝1，则a ＝2，由0<b <2可知，焦点在x 轴上， 因为过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 则|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8， 所以|BF 2|＋|AF 2|＝8－|AB |，当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|＋|AF 2|值最大， 此时|AB |＝2b 2a＝b 2，则5＝8－b 2，解得b ＝3，则椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝12. 答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 225＋y 210＝1 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24化为x 28＋y 23＝1，它的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设椭圆的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可得：9a 2＋4b2＝1，a 2－b 2＝5，解得a ＝15，b ＝10，故所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3. 答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，如图所示，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝2a ，4c 2＝m 2＋9m 2－2·m ·3m cos 120°， 可得4c 2＝13×a 24，解得e ＝c a ＝134.答案：1349．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围． 解：(1)由题意，因为|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12，所以c ＝1，a ＝2， 所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，A (－2，0)，F 1(－1，0)，所以PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝x 20＋3x 0＋2＋y 20， 因为P 点在椭圆上，所以x 204＋y 203＝1，y 20＝3－34x 20，所以PF 1→·PA →＝14x 20＋3x 0＋5，由椭圆方程得－2≤x 0≤2，二次函数14x 20＋3x 0＋5的开口向上，对称轴x 0＝－6<－2，当x 0＝－2时，取最小值0， 当x 0＝2时，取最大值12.所以PF 1→·PA →的取值范围是[0，12]．[B 级 能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12 B.23 C.32D.22解析：设|BF 1|＝k (k >0)， 则|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，所以|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，因为cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理得：|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 所以(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 所以|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，|AB |＝4k ， 所以|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2， 所以AF 1⊥AF 2，且AF 1＝AF 2＝3k ，所以△AF 1F 2是等腰直角三角形，(2c )2＝2a 2， 所以c ＝22a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 答案：D12．(2020·青岛实验高中测试)方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________________________．解析：因为方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为y 21－m ＋x 22m ＝1，满足1－m >2m >0，解之得0<m <13.答案：0<m <1313.如图所示，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程．(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为AF →·FB →＝1，即(a ＋c )(a －c )＝1＝a 2－c 2， 所以a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ ＝1，于是可设直线l 的方程为y ＝x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.因为MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)， 又y i ＝x i ＋m (i ＝1，2)，得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0， 所以2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)．经检验m ＝－43符合条件，所以直线l 的方程为y ＝x －43.故存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心，此时l 的方程为y ＝x －43.[C 级 素养升华]14．(多选题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 212＋y 29＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．3x 2＋4y 2＝12解析：由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2.由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12. 答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1] 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.33B.32C.22 D.12解析：设|F 1P |＝m ，|F 2P |＝n ，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，即4c 2＝m 2＋n 2－mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，所以m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2，代入上式得4c 2＝3a 22＋a 21，又它们的离心率互为倒数，c a 1·ca 2＝1，即c 2＝a 1a 2，代入4c 2＝3a 22＋a 21得3a 22－4a 1a 2＋a 21＝0，a 1＝3a 2，e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c a 1·3c a 1＝1，即3e 21＝1，所以e 1＝33. 答案：A2．求离心率的取值范围[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D ．[3－1，1)解析：设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA →·FB →＝0，即FA ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在直角三角形AF ′F 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b2.又由|FB |≤|FA |≤2|FB |得1≤|FA ||FB |≤2，则m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52， 又2c2b 2＝2c 2a 2－c 2＝2e 21－e 2，则可得22≤e ≤53，即离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53. 答案：A3．探寻离心率的最值[典例3] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 答案：A。
圆锥曲线结构思想与解题策略---闻杰
圆锥曲线结构思想与解题策略内容简介由于书中的例题都是闻杰老师常年研究的心得，经过了反复筛选，所以极具典型性；书中提供的每一个问题都通过现代信息技术进行探索、归纳、类比而得出，进而还实施了相应的证明，从发现问题到分析问题，再到解决问题，过程完整，所以每一个问题都可以看成是一个研究性学习的课题；《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略》展示的135个课例基本涵盖了圆锥曲线的常见性质，历年全国各省市的解析几何比较有内涵的具有动态背景的试题基本都与此有着密切的相关性，学生如能理解掌握《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略(附光盘)》提供的课例，不但能对解析几何与圆锥曲线在头脑中构建起一个完整的知识系统，而且完全能够顺利地完成高考的解析几何试题，因此《从高考到联赛一试专题讲座丛书·圆锥曲线结构思想与解题策略》具有很好的实用性。
目录第一部分动态结构(案例图示)一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质(准线作法)4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1)9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2)10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质(定值3)11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1(中点共线)12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2(三点共线)13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3(对焦点直张角)14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系(角平分线)16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1(等比中项)22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2(倒数和2倍)23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3(外项积定值)24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4(平行线族)25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5(切点弦过定点)六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值(中点弦的极限状态) 33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积第二部分定理证明一、几个统一定义性质一椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一性质二椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题性质三椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质(准线作法)性质四椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质性质五椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质性质六椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质性质七椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题性质八椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1)性质九椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2)性质十椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质(定值3)性质十一椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1(中点共线)性质十二椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2(三点共线)性质十三椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3(对焦点直张角)性质十四椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系．性质十五椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系(角平分线)性质十六椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系推广性质十七椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值性质十八椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征性质十九椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一性质二十椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题性质二十一椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1(等比中项)性质二十二椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2(倒数和2倍)性质二十三椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3(外项积定值)性质二十四椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4(平行线族)性质二十五椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5(切点弦过定点)六、等角问题性质二十六椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一性质二十七椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二性质二十八椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线性质二十九椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质性质三十椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题性质三十一圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质性质三十二圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值(中点弦的极限状态) 性质三十三椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质性质三十四椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹性质三十五椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题性质三十六椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值性质三十七椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质性质三十八圆锥曲面光线反射路径的性质性质三十九椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质性质四十椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质性质四十一椭圆、双曲线的90度的中心角性质性质四十二圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值性质四十三椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶第三部分原始创意由一道习题所想到的——圆锥曲线切点弦系列问题探究一、问题的起源与拓展二、圆的切点弦的相关问题三、归纳与类比(一)有心圆锥曲线切点弦的相关问题(二)无心圆锥曲线(抛物线)切点弦的相关问题四、关于切点弦方程的求法(一)有心圆锥曲线的切点弦(二)无心圆锥曲线的切点弦五、推广——切点弦过定点六、进一步全面推广——过定点的相关弦与蝴蝶定理七、切点弦系列问题的证明第四部分解题策略试论解析几何解题策略一、何为解题策略二、为何要研究解题策略三、解题策略的作用(一)仔细审题、识别模式、择优定法，是顺利解题的先决条件(二)自然布列方程、充分显示条件是解题成功的基本保证(三)充分挖掘美学因素，变盲目运算为目标运算是优化运算的基本途径(四)挖掘问题本质、抓住几何特征、灵活选用方程是简化运算的有效手段(五)学会差异分析，提高目标意识是寻找解题捷径的自然策略(六)设而不求、整体代换是优化解题过程的重要思想(七)整理化简抓主元，是缩短运算长度和提高运算正确率的明智之举(八)直观思维是揭开解题谜团的“抓手”四、解题中常用的策略第五部分考题尝试及参考答案。
“玩”心太重的双曲线
“玩”心太重的双曲线作者：黄安成来源：《新高考·高二数学》2012年第11期一、“双曲线”到底是指几条曲线有人说，这不是明摆着的嘛，“双”曲线当然是指“两条曲线”了，错！双曲线的两支合并为一个整体，构成的应认为是“一条曲线”.那么为什么要叫“双”曲线呢？因为它有两支啊，繁琐的叫法则应是“由两支曲线合成的一条曲线”.数学中这种“名不副实”的称谓很多哩！上次我们说到“椭圆非圆”，明明是椭“圆”，但它根本就不是圆.再如，直线方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y轴上的截距”，它可为正，可为负，也可为0，所以它是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，而决不是距离，所以有“截距非距”之说.这下该明白了吧？还不服！再看，什么叫做函数y=f（x）的“零点”？原来“零点”是“使函数f（x）的值为零的x的值”，呵呵，“零点非点”啊！学过复数的都知道，虚数单位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被称为“虚数”，但它是“虚无缥缈”的吗？不是，它是实实在在存在着的.想当初，有数学家首先提出虚数单位和复数的理论，却受到许多人的质疑，都认为虚数太“虚”了.后来虽发现复数理论有着广泛的应用，对数学的发展具有重要的推动作用，但“虚数”这个称谓却延续下来了，也好，留着这个“历史的足迹”，也会让后人感到回味无穷.但还有人想不通，笔者在你们的“逼迫”下，思维不禁变得十分亢奋，请看函数y=|tanx|的图象（如图1），它是由无数条曲线组成的，你叫它“几曲线”好？从整体上讲，它仍是“一条曲线”.“双”曲线非“两条曲线”啊！图1数学中的这些所谓“歪理悖论”表明的恰恰是数学家的智慧，给与我们深深的启迪，那就是视野开阔、思维活跃.二、由双曲线的渐近线想到的提起双曲线，人们立即想到的是双曲线“独具”的渐近线.双曲线有渐近线，说是它的“特色”，可以；但说“独具”，不恰当，图1中的曲线竟有无数条渐近线：x=nπ+π2（n∈Z），所以说渐近线不是双曲线的“专利”.初中研究过的反比例函数y=xk（k≠0），其图象也是双曲线，它有两条渐近线，即x轴和y轴.指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象只有一条渐近线，即x轴.对于指数函数图象的渐近线，当时只有通过直观来理解，不可能作严格的逻辑证明.但对于双曲线的渐近线，我们还是可以有作为的.如双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其渐近线l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在双曲线第一象限内的半支上任取一点P（x0，y0），作PQ⊥l于Q（如图2），则P点到直线l的距离PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.请观察其中的1x0+x20－a2，因为在第一象限，所以x0值的变化趋势是无限增大，那么此式的变化趋势就是无限接近于0. 在教材后面一章《导数》中，我们会学到，由于a2ba2+b2是一个固定的值，而1x0+x20－a2无限接近于0，那么P到直线l的距离PQ也无限接近于0，将直线l称为双曲线的渐近线，当之无愧吧！由于图形的对称性，用哪个象限内的点都可以.这里反映了数学的一种极其重要的思想方法，今后还要多次研究和应用.图2还有个有趣的事实，不管是双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），还是双曲线x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），将等号右边的“1”换成“0”，就得到它们的渐近线方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你说这个方程是几次的？表面上看来是二次的，但它们是两个一次方程的“合成”，即分别为y=±bax，y=±abx.三、双曲线的“个性”椭圆、双曲线和抛物线统称圆锥曲线，当然它们有一些共性，但在这里我们最感兴趣的当然是双曲线的“个性”.前面已述，它有渐近线，另外它的离心率属于区间（1，∞），还有别的吗？有哇！（1）包围椭圆的是一个矩形，此矩形被称为椭圆的辅助矩形.双曲线也有辅助矩形，但夹在两支曲线的内部；椭圆的辅助矩形永远不会是正方形，但双曲线的辅助矩形有可能是正方形，下面还要说到.辅助矩形的两条对角线就是双曲线的渐近线.（2）请看着图3，将思绪放开，用一种浪漫情怀展开遐想，成语“亭亭玉立”不禁闯入心怀，那么伟岸，那么挺拔，那么俊秀，让人心醉，让人动容！但不是所有双曲线都能取得如此优美的视觉效果，这大概与矩形邻边之比的取值有关吧？不错，后面将进一步来研究.图3（3）在x轴右半轴上取点F2，使OF2=OC，则F2是双曲线的右焦点.太简单了，OA2=a，A2C=b，则OF2=OC=c.这是用几何方法找焦点的好方法.现在过F2作垂直于渐近线的直线，垂足为E，Rt△OEF2是一个很奇特、很有趣的三角形.渐近线的方程为y=bax，直线EF2的方程为y=－ab（x－c），两个方程联立，解得x=a2c.此值可不是一般的数值哦，此直线正是我们接触不久的准线.其实不解方程组也可以得解，易知Rt△OEF2≌Rt△OA2C，则OE=a，EF2=b.过E作x轴的垂线，垂足为G，则由平面几何知识，得OG=a2c.有人可能不熟悉这个知识，不要紧，换一个“武器”，设∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，则OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函数与平面几何同源同根，只是表现形式不同，熟练掌握两种武器，届时用哪个方便就用哪个.这就叫做四通八达、左右逢源.这八个字对于数学学习的意义和作用就太大了，请大家在积极钻研的过程中逐步揣摩吧.（4）当a=b时，得双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它们的实轴和虚轴相等，这样的双曲线被称为等轴双曲线.那么有没有等轴椭圆呢？别引诱人上当了，等轴椭圆是不存在的.将圆称为等轴椭圆不行吗？不行，我们说了都不算，数学的理性精神不允许这样说.等轴双曲线又有一些奇妙的特性，“等轴”，虽是废话，但这些特性却都是由“等轴”衍生出来的.图4中有个正方形，是双曲线的辅助矩形.反比例函数y=xk（k≠0）的图象也是等轴双曲线.图4等轴双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的渐近线，即辅助正方形的对角线y=±x；（5）等轴双曲线的半焦距为2a，所以等轴双曲线的离心率为2.数学中有个最优美的数，那就是“黄金数”5－12≈0.618，与黄金分割有关，本文不可能作详细讨论，只是“斗胆”提出2这个数也是非常优美的，可以说仅次于“黄金数”，联系太广泛了，这里不作讨论.图4与图3中的双曲线，哪个更优美？图4中的双曲线“不胖不瘦”，虽不算“丑陋”，但比不上图3中的双曲线那么挺拔.前面问到什么样双曲线最漂亮？现在可以告诉大家的是，笔者认为，当图3中的矩形短边与长边之比为“黄金数”时，这样的双曲线最漂亮.四、双曲线趣题赏析趣在何处？在上期《“玩”心太重的椭圆》中有过阐述，这里只重复八个字：风光无限，还是“好玩”！例1 设双曲线C与双曲线E：x29－y216=1.（1）若双曲线C和E有共同的渐进线，且C过点A（－3，23），则双曲线C的方程为；（2）若双曲线C和E有共同的渐进线，则双曲线C的离心率为 .●解●析（1）的最佳解法为，设C：x29－y216=k，将点A的坐标代入，解得k=14，则双曲线C的方程为4x29－y24=1.（2）由（1），知双曲线C的离心率为53.作为填空题，（1）可得满分，可是（2）却只能得0分.这可奇了怪了！满足（1）的条件的双曲线只有一个，可是满足（2）的条件的双曲线却有无数个，可分为两组，一组的焦点在x轴上，一组的焦点在y轴上，前者的离心率当然是53，后者的离心率为54.●点●睛方程x29－y216=k对于简化题解的作用不可忽视；只因题（2）“过于”简单，就迅速轻率地导致“全军覆没”.这里的两组双曲线过去曾被称为“共轭双曲线”，若它们的离心率分别为e1，e2，则不难得1e21+1e22=1，道理很简单，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.没想到，一道简单的题目涉及的几个字母，做起“游戏”来还这么有趣，发人深省.例2 若方程x22－|m|+y2m－3=1表示双曲线，则m的取值范围是 .●解●析俗话说得好，“吃一堑，长一智”，这里可要小心了.由题意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，则（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，则（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.综上，m的取值范围是（-2，2）∪（3，+∞）.●点●睛题目虽小，却饱含知识和思维的丰富营养哩！例3 设焦点在x轴上，中心在原点O的双曲线C的渐近线与以点A（0，2）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个焦点与点A关于直线y=x对称. （1）求双曲线C的方程；（2）若P是双曲线C上不在x轴上的动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，从F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为点N，试求点N的轨迹方程，并指出点N的轨迹是何曲线.●解●析（1）如图5，因为点A（0，2）与F2关于直线y=x对称，所以双曲线的半焦距c=2，则双曲线的方程可设为x2a2－y22－a2=1.图5由已知，点A（0，2）到渐近线xa－y2－a2=0的距离为1，则2a2－a2+a2=1，解得a=1.故双曲线的方程为x2－y2=1.（2）设F1N与PF2的延长线交于Q点，由角平分线的性质，知PF1=PQ.则由双曲线的定义，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.又O，N分别是F1F2，F1Q的中点，所以ON=1，N点的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，不含x轴上的点，其方程为x2＋y2=1（y≠0）.●点●睛直线、等腰三角形、圆和双曲线构成了一幅绚丽璀璨的图形，对称性在整个解题过程中发挥了不小的作用，在（2）中还巧妙地应用了双曲线的定义.。
6 双曲线的定义及其方程
原中高二数学（文）学案6 原中高二数学（文）学案6§2.2.1 双曲线的定义及其方程
编制人：任所怀宣兴云
学习目标
1. 类比椭圆定义及其标准方程，了解双曲线定义及其标准方程。
2. 双曲线方程的简单应用。
自主学习
问题一：阅读P45~47,解决以下问题：
（1）类比椭圆定义，写出双曲线定义。
（利用几何画板演示）
（2）类比椭圆方程的推导过程，自主导出双曲线标准方程。
指出如何化简带两个
根式的方程？
（3）把握双曲线标准方程的特征：
问题二：阅读例1，思考你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什
么体会？
问题三：阅读例2，相互交流，你有什么发现和体会？写在下面。
问题四：探究P48的问题，把你的思考过程，写在下面。
（几何画板演示）
自主检测
P48页的练习1，2. P54习题2.2 A组1，2，5. B组2
（把你在练习中，想到的精彩解法写到下面。
）
学习报告
自主时想到的问题：
总结知识：。
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ꎬ３
π
ö
÷
２ø
分析 根据同角三角函数的关系ꎬ把正弦余弦转化
为正切ꎬ然后利用正切函数的单调性求解 α 的取值范围.
解
当
α
＝
π ２
时ꎬ不等式成立ꎻ当
α
＝ ３２π时ꎬ不等式不
成立.
当
α∈[０ꎬ
π ２
)
∪ ( ３２πꎬ２ π ]
时ꎬ在
ｓｉｎα
>
３ ｃｏｓα 的两
边同除以 ｃｏｓα 可得 ｔａｎα > ３ .
－ ４ａ２ ｘ２ ＝ ｂ４ .
变式训练:(２０１１ꎬ北京) 曲线 Ｃ 是平面内与两个定点 Ｆ１ ( － １ꎬ０) 和 Ｆ２ (１ꎬ０) 的距离的积等于常数 ａ２ ( ａ > １) 的 点的轨迹. 给出下列三个结论:
①曲线 Ｃ 过坐标原点ꎻ
②曲线 Ｃ 关于坐标原点对称ꎻ
③若点
Ｐ
在曲线
Ｃ
上ꎬ则△Ｆ１ ＰＦ２
卡西尼卵形线ꎬ是平面内到两个定点的距离之积为
常数的点的轨迹ꎬ是环面曲线的一种. 也就是说ꎬ平面内 两定点 Ａ( － ａꎬ０) 、Ｂ( ａꎬ０) ꎬ动点 Ｐ 满足 ＰＡ ������ ＰＢ ＝ ｂ２
( ａ≥０ 且 ａ 为常数) ꎬ那么动点 Ｐ 的轨迹方程是: ( ( ｘ － ａ )２ ＋ ｙ２ ) ( ( ｘ ＋ ａ )２ ＋ ｙ２ ) ＝ ｂ４ 或 ( ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ａ２ )２
(３)当 ａ ＝ １ 时ꎬ曲线成 ８ 字形自相交叉ꎬ称为双纽 线ꎻ
(４)当 １ < ａ < ２ 时ꎬ曲线是一条没有自交点的光滑 曲线ꎬ曲线中部有凹进的细腰ꎻ
(５)当 ａ ＝ ２ 时ꎬ与前种情况一样ꎬ但曲线中部变平ꎻ (６)当 ａ > ２ 时ꎬ曲线中部凸起.
评析 这就是著名的卡西尼卵形线的特殊情况.
面积不大于
１ ２
ａ２ .
其中正确命题的序号为 .
例 ２ 在平面上给定相异两
点 Ａ、Ｂꎬ设动点 Ｐ 在同一平面上且
满足
ＰＡ ＰＢ
＝ λꎬ 当 λ > ０ꎬ且 λ≠１
时ꎬ求点 Ｐ 的轨迹.
解 以 ＡＢ 所 在 的 直 线 为 ｘ
轴ꎬ以线段 ＡＢ 的中垂线为 ｙ 轴ꎬ建立平面直角坐标系ꎬ设
点 Ｐ ( ｘꎬ ｙ )ꎬ 点 Ａ ( － ｃꎬ ０ )ꎬ 点 Ｂ ( ｃꎬ ０ )ꎬ 则
摘 要:本文通过教材对于椭圆与双曲线的定义ꎬ联想到动点到两个定点乘积与商为定值时ꎬ是否也会存 在类似的轨迹ꎬ并对情况做了逐一的分析ꎬ然后结合高考中题目加以利用说明其类比的应用性.
关键词:定义ꎻ乘除ꎻ轨迹 中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)０４ － ００４０ － ０２
＝
ｘ
－
π ３
的范围ꎬ然后根据
ｙ
＝
ｃｏｓｘ
的单调
性求值域.
四、利用三角函数的单调性解不等式
例 ４ 若 ０≤α≤２πꎬｓｉｎα > ３ ｃｏｓαꎬ则 α 的取值范围
是( ).
Ａ.
æ
ç
è
π ３
ꎬ
π ２
ö÷ ø
Ｂ.
æ
ç
èLeabharlann π ３ꎬπ ö÷ ø
Ｃ.
æ
ç
è
π ３
ꎬ４３π
ö÷ ø
Ｄ.
æ
ç
è
π ３
是什么? 解 设 Ｐ ( ｘꎬ ｙ )ꎬ 则 (ｘ ＋ １)２ ＋ ｙ２ (ｘ － １)２ ＋ ｙ２
＝ ａꎬ 整理得( ｘ２ ＋ ｙ２ )２ － ２( ｘ２ － ｙ２ ) ＝ ａ２ － １ꎬ 化得 ｙ２ ＝ ( － ｘ２ － １) ＋ ４ｘ２ ＋ ａ２ (１ － ａ≤ｘ２ ≤１ ＋ ａ) 对于常数 ａ≥０ꎬ可讨论如下六种情况:
根据
ｙ
＝
ｔａｎｘ
在[０ꎬ
π ２
)
和(
３２πꎬ２π]
上分别单调递增ꎬ
可得
π ３
<α
<
π ２
.
当
α∈(
π ２
ꎬ３２π )
时ꎬ在
ｓｉｎα
>
３ ｃｏｓα 的两边同除以
ｃｏｓα 可得 ｔａｎα <
３
.
根据
ｙ
＝
ｔａｎｘ
在(
π ２
ꎬ ３２π )
上单调递
增ꎬ可得
π ２
<
α
<
４３π.
综上ꎬα
的取值范围是
æ
ç
è
π ３
ꎬ４３π
[ ] [ ] ｃｏｓｔ 在 ｔ∈
－
π ６
ꎬ０
上单调递增ꎬ在
０ꎬ
π ３
上单调递减ꎬ
所以当
ｔ
＝ ０ꎬ即
ｘ
＝
π ３
时ꎬｙ
＝ ２ｃｏｓ( ｘ
－
π ３
) 取得最大值为
２ꎻ当
ｔ
＝
π ３
ꎬ即
ｘ
＝ ２３π时ꎬｙ
＝ ２ｃｏｓ( ｘ
－
π ３
)
取得最小值为
１.
点评 根据三角函数的单调性求值域可以先利用整
体的思想求得
ｔ
学习了椭圆与双曲线的第一定义后ꎬ对于平面内一 动点 Ｐ 与两个定点 Ａ、Ｂ 的距离和差为定值ꎬ则动点 Ｐ 的 轨迹与椭圆、双曲线有关ꎬ那我们可以进一步探究ꎬ由加 减到乘除的运算时ꎬ动点 Ｐ 各自的轨迹方程如何?
例 １ 平面内两定点 Ａ( － １ꎬ０) 、Ｂ(１ꎬ０) ꎬ动点 Ｐ 满足 ＰＡ ������ ＰＢ ＝ ａ( ａ≥０ 且 ａ 为常数) ꎬ那么动点 Ｐ 的轨迹
ö÷ꎬ 故 ø
选 Ｃ.
点评 利用三角函数的单调性解不等式ꎬ首先将三
角函数化成单角的三角函数ꎬ然后利用单调性求解.
参考文献:
[１]张军华. 三角函数的求值策略[Ｊ]. 高中数学教与 学ꎬ２０１８(５) :１１.
[ 责任编辑:杨惠民]
由“ 椭圆与双曲线的第一定义” 想到的问题
韩景岗
( 山东省邹平县黄山中学 ２５６２００)
收稿日期:２０１８ － １１ － １５ 作者简介:韩景岗(１９７７. １ － ) ꎬ男ꎬ本科ꎬ一级教师ꎬ从事数学教育研究.
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(１ ) 当 ａ ＝ ０ 时ꎬ 曲 线 变 为 两 个 点 Ｆ１ ( － １ꎬ ０ )ꎬ Ｆ２ (１ꎬ０) ꎻ
(２)当 ０ < ａ < １ 时ꎬ曲线分为两支封闭曲线ꎬ随着 ａ 的减小而分别向点 Ｆ１ ꎬＦ２ 收缩ꎻ
特别的当 λ ＝ １ 时ꎬ动点 Ｐ 的轨迹是线段 ＡＢ 的垂直
平分线.
阿波 罗 尼 斯 圆 有 下 面 几 个
常见的性质:
１. Ｐ、Ｑ 分别为线段 ＡＢ 按定
比 λ 分割的内分点和外分点ꎬ则
ＰＱ 为阿波罗尼斯圆的 直 径ꎬ且
ＰＱ
＝
２λ λ２
ＡＢ －１
.
２. 当 λ > １ 时ꎬ点 Ｂ 在圆 Ｏ 内ꎬ点 Ａ 在圆 Ｏ 外ꎻ当 ０ <
λ < １ 时ꎬ点 Ａ 在圆 Ｏ 内ꎬ点 Ｂ 在圆 Ｏ 外.
ＰＡ ＰＢ
＝
( ｘ ＋ ｃ )２ ＋ ｙ２ ( ｘ － ｃ )２ ＋ ｙ２
＝
λꎬ
化简得
æ
ç
ｘ
è
－
λ２ λ２
＋
１
ｃ
ö２
÷
－１ ø
＋
ｙ２
＝
æ
ç
è
２ λ２
λ －
１
ｃ
ö２
÷
ø
.
所以点
Ｐ
的轨迹是以
æ λ２
ç
è
λ２
＋ －
１ １
ｃꎬ０
ö
÷
ø
为
圆
心ꎬ
２λ λ２ － １
ｃ
为半径的圆.
评析 上面动点 Ｐ 的轨迹被称作阿波罗尼斯圆.