()推荐)待定系数法求递推数列通项公式

用待定系数法求递推数列通项公式初探
摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。

关键词:变形 对应系数 待定 递推数列
数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。

对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。

常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。

但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。

下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。

一、1n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠） 例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。

分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列
12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n n
a =-。

启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？
其实，已知121n n a a +=+，可变形为12()n n a a λλ++=+的形式，然后展开括号、移项后再与121n n a a +=+相比较，利用待定系数法可得21,1λλλ-==。

这样，对于形如1n n a pa q +=+（其中p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠）的递推数列，
先变为1()n n a p a λλ++=+的形式，展开、移项，利用待定系数法有 (1)p q λ-=，1
q p λ=
- 即 1()11
n n q q a p a p p ++
=+-- 则数列1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭
首项为1
,p 1q a p +-公比为的等比数列 1111()()1111
n n n n q q q q
a a p a a p p p p p --+
=+=+-
----即 因此，形如1n n a pa q +=+这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。

那么，若q 变为()f n ,()f n 是关于n 非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？ 二 (0,1)1
a
pa qn r pq p n n
=++≠≠+且型 例题2.在数列{}n a 中，11a =,1231n n a a n +=++,试求其通项公式。

分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n 的倍数，才能使新的数列有一致的形式。

先变为1(1)2()1n n a n a n λλλ+++-=++，展开比较得3,λ=即 13(1)2(3)4n n a n a n +++=++ 进一步
13(1)42(34)n n a n a n ++++=++
则数列{}34n a n ++是11314831482a a +⨯+=+⨯+=首项为公比为的等比数列，所以 1234822n n n a n -+++=⨯=，2234n n a n +=--
同样，形如1
a
pa qn r n n
=+++的递推数列，
设1(1)()n n a x n y p a xn y ++++=++展开、移项、整理，比较对应系数相等，列出方程(1)(1)p x q
p y x r
-=⎧⎨--=⎩
解得 211(1)1q x p x r q r y p p p ⎧
=⎪-⎪
⎨+⎪==+
⎪---⎩
即122
(1)1(1)11(1)1n n q q r q q r a n p a n p p p p p p +⎡⎤
+
+++=+++⎢⎥------⎣
⎦ 则数列2
1(1)1n q q r a n p p p ⎧⎫
+++⎨⎬---⎩⎭是以121(1)1q q r a p p p +++---为首项，以p 为公比的等比数列。

于是就可以进一步求出{}n a 的通项。

同理，若()1a pa f n n n =++其中()f n 是关于n 的多项式时，也可以构造新的等比数
列，利用待定系数法求出其通项。

比如当2()f n qn rn s =++=时，可设 221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++ 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。

()f n 为n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。

而如果当()f n 是n 的指数式，即()n f n q r =+时，递推公式又将如何变形呢？
三 (0,1,1,)1n a pa rq s pqr p q p q n n
=++≠≠≠≠+型且
例题3.在数列{}n a 中，11a =,132n n n a a +=+,试求其通项n a 。

分析1：由于132n n n a a +=+与例题1的区别在于2n 是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上22n ⨯变为112332n n n n a a +++=+⨯即 1123(2)n n n n a a +++=+
则数列{}
2n n a +是首项为3，公比为3的等比数列23n n n a +=，则 32n n n a =-
分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除12n +
1113131222222
n n n n n n a a a +++=+=⋅+
就回到了我们的类型一。

进一步也可求出32n n n a =-。

例题4.在数列{}n a 中，13a =,13524n n n a a +=+⨯+,试求{}n a 的通项n a 。

分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以12n +，虽然产生了11
2n n a ++、2n
n a ，但是又增加了1
42n +，与原式并没有大的变化。

所以只能运用思路1，在两边同时加上102n ⨯整
理
11523(52)4n n n n a a +++⨯=+⨯+ 进一步
115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+ 则数列{}
522n n a +⨯+是首项为15，公比为3的等比数列 152215353n n n n a -+⨯+=⨯=⨯ 即 5(32)2n n n a =--
启示：已知数列{}n a 的首项，1(01,1,)n n n a pa rq s pqr p q q p +=++≠≠≠≠且
1）当0s =,即1n n n a pa rq +=+由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。

思路一：在两边同时除以1n q +，将不含1n n a a +和的项变为常数，即
11
n n n n a a p r
q q q q
++=⋅+ 为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列1n n r a q p q q ⎧
⎫⎪⎪⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪
-⎪⎪⎩⎭
最终求解出{}n a 的通项。

思路二：在两边同时加上n q 的倍数，最终能变形为11()n n n n a xq p a xq +++=+ 对应系数相等得 ()p q x r -=，即r
x p q
=
-
即 11()n n n n r r a q p a q p q p q
+++
⋅=+⋅-- 求出数列n n r
a q p q ⎧⎫+
⋅⎨⎬-⎩⎭
的通项，进一步求出{}n a 的通项。

2）当0s ≠时，即1n n n a pa rq s +=++
由例4可知只能在选择思路二，两边既要加n q 的倍数，也要加常数，最终能变形为
11()n n n n a xq y p a xq y ++++=++ 比较得x ，y 的方程组
()(1)1r x p q x r
p q p y s
s y p ⎧=⎪-=-⎧⎪
⎨
⎨
-=⎩⎪=⎪-⎩
即 于是 11()11
n n n n r s r s
a q p a q p q p p q p +++
⋅+=+⋅+---- 求出数列1n n r s a q p q p ⎧⎫
+⋅+⎨⎬--⎩⎭
的通项，进一步求出{}n a 的通项。

四：2112()(,n n n a pa qa f n a a ++=++型已知其中()f n 可以为常数、n 的多项式或指数式）以()f n =0为例。

例题5.在数列{}n a 中，122121
1,2,33
n n n a a a a a ++===
+,试求{}n a 的通项。

分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把1n a +看做常数进行处理，可
变为2111
()3
n n n n a a a a +++-=--，先求出数列{}1n n a a +-的通项
111
()3
n n n a a -+-=-
然后利用累加法即可进一步求出{}n a 的通项n a 。

对于形如21n n n a pa qa ++=+的递推数列，可以设211()n n n n a xa y a xa ++++=+展开，利用
对应系数相等，列方程x y p xy q
-=⎧⎨
=⎩
于是数列{}1n n a xa ++就是以21a xa +为首项，y 为公比的等比数列，不难求出
{}1n n a xa ++的通项进一步利用相关即可求出n a 。

同理，21()n n n a pa qa f n ++=++当()f n 为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。

问题的关键在于先变形 211()()n n n n a xa y a xa f n ++++=++ 然后把1n n a xa ++看做一个整体就变为了前面的类型。

五：1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=⋅≠∈≠≠且，型，{}n a 为正项数列 例题6.在数列{}n a 中，2111,2n n a a a +==，试求其通项n a 。

分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于0n a >，所以可联想到对数的相关性质，对
212n n a a +=两边取对数，即
221lg lg(2)lg2lg 2lg lg2n n n n a a a a +==+=+ 就是前面的类型一了，即
1lg lg22(lg lg2)n n a a ++=+ 1
1
2lg lg 2(lg 2)2lg 2
n n n a --+=⨯=
变形得 121
2
n n a --=
对于类似1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=⋅≠∈≠≠且，的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 1lg lg lg lg r n n n a p a r a p +=⋅=+
然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列1lg lg 1n p a r +⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为已
知首项和公比的等比数列了。

求出1lg lg 1n p a r +⎧
⎫+⎨⎬-⎩
⎭最终就可以得出{}n a 的通项。

同样，如果将1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=⋅≠∈≠≠且，中的p 换为指数式n q 时，同
样可以利用相同的方法。

即：1(10,1)n r n n a q a q q R r r ++=⋅≠∈≠≠且， 两边取对数 1lg lg()lg lg n r n n n a q a r a n q +=⋅=+ 变为类型二 1lg (1)(lg )n n a x n y r a xn y ++++=++ 即可进一步得出{}n a 的通项。

以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。

六：1(0)n n n ra s
a pr pa q
++=
≠+型
例题7.在数列{}n a 中，111,32
n
n n a a a a +==
+，试求其通项n a 。

分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为11320n n n n a a a a +++-=后就无法进行处理了。

两边同时取倒数
1321123n n n n
a a a a ++==⨯+ 就是前面的类型一了。

11
1323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
所以数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1
1
34a +=，公比为2的等比数列，不难求出
11
23
n n a +=-
例题8.在数列{}n a 中，112
1,32
n n n a a a a ++==
+，试求其通项n a 。

分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒
111432
n n a a +=-⨯++ 左右两边
11n a +与1
2
n a +并不一致。

但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有
一致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：
122(31)2313232n n n n n x x a a x a x x a a ++⎛
⎫++ ⎪++⎝⎭+=+=
++ 此时如果
2231x x x +=+，那么递推式左边和右边分母就一致了。

解方程得122
,13
x x =-= 因此 12123332
n n n a a a +⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
-=+
1141132
n n n a a a ++++=
+（）
此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择1141132
n n n a a a ++++=+（）
，
两边取倒
11321113
141414
n n n n a a a a +++=
=-++++（）
回到了类型一
11
3113()15415
n n a a +-=--++ 根据类型一的方法易求出：
11
4(4)1
6(4)1
n n n a --⨯-+=⨯-- 现在我们将两式相比：
1122
133
141
n n n n a a a a ++-
-
=-⨯++
则数列231n n a a ⎧
⎫-⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出n a 。

通过以上两个例题可知，形如1(0)n n n ra s
a pr pa q
++=≠+这一类型的递推数列，对学生
的综合能力要求较高。

1、如果右边分子缺常数项，即0s =，那么直接对两边取倒数即可得：
111n n q p a r a r
+=⋅+ 此时，若
1q r =，那就是我们熟悉的等差数列，若1q
r
≠，那就是前面的类型一——用待定系数法求解。

2、若0s ≠，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。

两边同时加上某一个常数(x )
1()()n n n s xq
r xp a r px
a x pa q
++++
++=
+
然后令
s qx
x r px
+=+，解出x 的值。

而另一种思路是直接设1n n n ra s
a pa q
++=
+变形之后为
1()
n n n y a x a x pa q
+++=
+
然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组
()y xp r
x y q s -=⎧⎨-=⎩
求出,x y 。

两种思路都是解x 的一元二次方程，设其解为12,x x 。

11221112()()
()()
n n n n n n y a x y a x a x a x p a q p a q +++++=
+=++和
若12x x =时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为类型一。

111111111111
()()()()11()()n n n n n n p a q p a x p q x p q x p a x y a x y a x y a x y ++++--===⋅+++++
最终求出n a 。

当12x x ≠时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：
111
11222
n n n n a x a x y a x y a x ++++=⋅++
所以数列12n n a x a x ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭是首项为1112a x a x ++，公比为12
y
y 的等比数列。

进一步求出n a 。

七：221(0,2,40)n n n ra s
a pr p r q rs pa q
++=≠=+>+型
例题9.在数列{}n a 中，2113
2,22
n n n a a a a ++==+，试求其通项n a 。

分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：
两边同时加上某个常数，设最终变为：
2
1()22
n n n a x a x a +++=+
与原式比较，对应系数相等，得 223x x -= 解方程得 121,3x x =-= 即有：
2
121(3)322
(1)122
n n n n n n a a a a a a ++++=
+--=
+
对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得
2
113311n n n n a a a a ++⎛⎫
++= ⎪--⎝⎭
然后，两边取对数得：
2
11333
lg lg 2lg 111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+++== ⎪---⎝⎭
则数列3lg 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为1
13lg lg 51a a +=-，公比为2的等比数列。

123lg lg 51
n n n a a -+=- 进一步解得 11122253
4
15151n n n n a ---+==+--
显然，按照例题9的思路，形如21(0)n n n ra s a pr pa q
++=≠+这一类型的参数p q r s 、、、必须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。

现在来探讨应该满足哪些条件？ 设22
1()n n n n n ra s r a x a x x pa q pa q
++++=+=++，即： 22
()n n n n ra s r a x x pa q pa q
+++=++ 所以 2222n n n n ra xpa xq s ra rxa rx +++=++
对应系数相等得 22,0p r rx qx s =--=
方程20rx qx s --=要满足240q rs ∆=+>
设方程的两根为12,x x 则有 2
111()n n n r a x a x pa q
+++=+ 2
212()n n n r a x a x pa q
+++=+ 两式相比得 2
111122n n n n a x a x a x a x ++⎛⎫++= ⎪++⎝⎭
两边取对数得 111122lg 2lg n n n n a x a x a x a x ++++=++ 数列12lg n n a x a x ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭是首项为111lg 2a x a x ++，公比为2的等比数列。

求出12lg n n a x a x ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭
的通项再整理一下就得出了{}n a 的通项，问题就得以解决了。

本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。

例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。

参考文献
[1]李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2006.05期
[2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2007.07期
[3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2009.07期。