2024届河南部分重点高中高三上学期期末考数学试题及答案

2024届普通高等学校招生全国统一考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2,1,0,1,2A =−−，{}0B x x =<，则A B 的真子集个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．7
2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i 1z x −=+，则1z +=（ ）
A
B ．1
C D ．2
3．已知单位向量a ，b 的夹角为π
3
，则56a b += （ ）
A ．9
B C ．10
D ．
4．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y 与其花朵凋零时间t （分钟）（在植物学上t 表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：10
2t
y b =⋅（b 为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为110，则当该种玫瑰花新鲜程度为1
2
时，其凋零时间约为（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A ．3分钟 B ．30分钟 C ．33分钟 D ．35分钟
5．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．已知抛物线()2
:20C y px p =
>，过点,02p
且斜率为1−的直线l 交C 于M ，N 两点，且32MN =，则C 的准线方程为（ ）
A ．1x =−
B ．2x =−
C ．3x =−
D ．4x =−
7．已知数列{}n a 是单调递增数列，()
221n n a m n =−−，*n ∈N ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞
B ．()1,2
C ．3,2
+∞
D ．()2,3
8．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则()D X 的最大值为（ ）
X 0 1
2
P
a
a b + a b −
A ．
13 B ．23 C ．8
9
D ．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（ ） A ．这五名同学成绩的平均数为78 B ．这五名同学成绩的中位数为74 C ．这五名同学成绩的上四分位数为80
D ．这五名同学成绩的方差为32
10．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则
21
b ab
+的可能取值为（ ）
A ．2
B ．1
C 1−
D ．4
11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,0A ，()1,0B −，12AM ≤≤，点M 的轨迹为Ω，则（ ）
A ．Ω为中心对称图形
B ．M 到直线()20x ay a −+=∈R 距离的最大值为5
C ．若线段OM 上的所有点均在Ω中，则OM 最大为
D ．使π
4
MBO ∠=成立的M 点有4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．18
2(2)x −−的展开式中含
2
1
x 的项的系数为______．
13．已知tan α=
，则tan 3α=______． 14．三个相似的圆锥的体积分别为1V ，2V ，3V ，侧面积分别为1S ，2S ，3S ，且1
23V V V =+，1
23aS S S =+，则实数a 的最大值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数()ln(1)sin f x a x x x =
+−． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点π
π,22f
处的切线方程； （2）若1a =，研究函数()f x 在(]1,0x ∈−上的单调性和零点个数． 16．（15分）
2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．
（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；
（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．
附：()()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d χ−=
++++，其中n a b c d =+++．
如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，且
1
12
AB
CD ==，PCD △为等边三角形，平面PAB 平面PCD =直线l ．
（1）证明：l ∥平面ABCD ； （2）若l 与平面PAD 的夹角为
π
6
，求四棱锥P ABCD −的体积．
18．（17分）
已知椭圆22220)1(:x y C a b b a +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且4AB =
，点 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若E ，F 为椭圆C 上异于A ，B 的两个不同动点，且直线AE 与BF 的斜率满足
3BF
AE
k k =−，证明：直线EF 恒过定点．
19．（17分）
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
123
1232313123212131321231
2
3
a a a a
b
c a b c a b c a b c a b c a b c b b b c c c =++−−−． 若111222
a b x z j i y x y z k
×=
，则称a b × 为空间向量a 与b 的叉乘，其中111a x i y j z k =++ （111,,x y z ∈R ）
，222b x i y j z k =++ （222,,x y z ∈R ），{}
,,i j k 为单位正交基底．以O 为坐标原点、分别以,,i j k 的方向
为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A ，B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点．
（1）①若()1,2,1A ，()0,1,1B −，求OA OB ×
； ②证明：0OA OB OB OA ×+×=
．
（2）记AOB △的面积为AOB S △，证明：12
AOB
OA OB S ×= △． （3）证明：()
2OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB ×
为高的三棱锥体积的6倍．
数学参考答案
1．B 【解析】由题意可得{}2,1A B =−− ，故A B 的真子集的个数为2213−=．故选B ．
2．A 【解析】因为i i 1z z −=+，则()1i 1i z −−=+，所以2
(1i)1i i (1i)(1i)
1i z ++=−=−=−−+−
，故
11i z +=−=
=
．故选A ．
3．B 【解析】由题意得222π256036616011cos 91563
a a
b b a b =+⋅+=+×××=+
．故
56a b +=
B ．
4．C 【解析】由题意得1210b =，则1
20b =
，令10112220t ⋅=，即10102t
=，解得1033lg 2
t =≈．故选C ． 5．D 【解析】设上、下底面圆的半径分别为r ，R ，圆台的高为h ，则由题意可得22π1
,π42π()6π,r R r R =
+=
解得
1,2,
r R =
= ，则221
π(1122)21π3V h =+×+=，解得9h =．故选D ． 6．D 【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2p l y x
=−−
， 联立2,22,
p y x y px =−−
=
得22
304p x px −+=， 则0∆>，123x x p +=，又l 经过C 的焦点,02p
， 则12332MN x x p p p =++=+=，解得8p =，故C 的准线方程为4x =−．故选D ． 7．C 【解析】由题意可得2(21)n n
a m n =−−，由于数列{}n a 为单调递增数列，即*n ∀∈N ，22112210(21)(1)(21)n n n n n n m n m n a m a ++ −=⋅−−>=−−+−−− ，整理得21
2n
n m +>
，令212n n n b +=
，则11
12321120222n n n n n n n n b b +++++−−=−=<，*
n ∈N ，易得数列{}n b 单调递减，故132
b =是数列{}n b 的最大项，则m 的取值范围为3,2
+∞
，故选C ．
8．C 【解析】()()()01231P X P X P X a =+
=+===，故1
3
a =， 易得12033
b ≤
+≤，12033b ≤−≤，则1133
b −≤≤， 故()221E X a b a b b =
++−=−，()22221
112(1)(1)3
333D X b b b b b b b
=−+++−+=−−
，又因为
11,33b ∈− ，所以28(),99D X
∈
．故选C ．
9．CD 【解析】A 选项，这五名同学成绩的平均数为
6872768084
765
++++=，A 错误；
B 选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B 错误；
C 选项，575% 3.75×=，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C 正确；
D 选项，五名同学成绩的方差为22222
1(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325
−+−+−+−+−= ，D 正确．故选CD ．
10．BD 【解析】由题意可得2222
2111111(22)2()2b b b b b b b b b b ab ++++
==−= −−−
， 令1b t +=，则12t <<，()()22
2
11
232113b t t b b
t t t t t t +===−−+−
−−−−+
，且)
2t t +∈
，故)
2
13b b b
+
+∞∈+ −
，所以)
211b ab + ∈++∞ ．故选BD ． 11．ABC 【解析】由题可得[]1,2AM ∈，故点M 在以A 为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），Ω为内径为1，外径为2的圆环，A 正确；直线20x ay −+=过定点(2,0)−，故M 到直线
20x ay −+=的距离最大时为M 与点(2,0)−的距离，则max 325d =+=，B 正确；当OM 恰与圆
22(1)1x y −+=相切时，OM 最大，此时直线OM 与y
轴重合，故max
OM
=C 正确；
π
4
MBO ∠=
，则直线BM ：()1y x =−+或1y x =+，直线1y x =+与直线()1y x =−+有无数点在Ω上，故符合的M 点有无数个，故D 错误．故选ABC ． 12．1120【解析】18
2(2)x
−−的展开式的通项为82
18
C 2(1)r r
r
r
r T x −
−+=−，故令4r =可得含
21
x
项的系数为44480C 2(1)112××−=
．
13
．
【解析】由tan α=
，可得22tan tan 21tan ααα==−
故tan tan 2tan 3tan(2)1tan tan 2ααααααα+=+=
−⋅ 14
【解析】设三个圆锥的高分别为123,,h h h ．母线与轴线的夹角为θ， 则3221ππtan (tan )3
3V h h h θθ⋅=
=⋅，由123V V V =+，得333
1
23h h h =+， 同理由21
S aS =可得22
21
23ah h h =+， 则2
233632316332
123()()h h a h a h h h +==+，则3
2323
233211h h a h h
+
=
+
． 令()
()()
3
22
311x f x x +=
+，()0,x ∈+∞，得()()
()
2
23
3611()1x x x f x x +⋅−=
+′，令()0f x ′>，解得()0,1x ∈；令
()0f x ′<，解得()1,x ∈+∞，故()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 12f x f ==，
故32
a ≤，故max a =
15．解：（1）当0a =时，()sin f x x x =−，
则()sin cos f x x x x =
−−′，则ππ22f =− ，π12f =−
′， 所以曲线()y f x =在点π
π,22f
处的切线方程为y x =−． （2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x x =+−，则1
()sin cos 1
f x x x x x ′=−−+， 当(]1,0x ∈−时，
1
01
x >+，sin 0x −≥，cos 0x x −≥，则()0f x ′>， 故()f x 在(]1,0x ∈−上单调递增．
又因为()00f =，所以()f x 在(]1,0x ∈−上的零点个数为1． 16．解：（1）完善2×2列联表如下：
则22
100
100(40201030) 4.762 6.6355050307021
χ××−×==≈<×××，
故根据小概率值0.01α=的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关． （2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为
70
0.7100
=， 设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X ，所以随机变量()~30,0.7X B ， 故()300.721E X =×=，()()300.710.7 6.3D X =××−=．
17．解：（1）证明：由题可知AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，
AB ∴∥平面PCD ．
又AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =，l AB ∴∥． 又l ⊄
平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，
l ∴∥平面ABCD ．
（2）以D 为原点，平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设等腰梯形ABCD 的高为()0a a >，则
()0,0,0D ，1,,02
A a
，3,,02
B a
，()0,2,0C ，
(P ，
设(),,n
x y z = 为平面PAD 的法向量，则0,0,n DA n DP ⋅= ⋅= 即10,20,ax y y +=
+=
令1y =−得1,2n a =−
为平面PAD 的一个法向量．
又l AB ∥，则可得直线l 的一个平行向量()0,1,0m =
， 设θ为l 与平面PAD 的夹角，
由11cos ,sin
12n m
n θ===×
，解得a =．
11(12)32P ABCD V −∴=+=
18．解：（1）由题意可得4
2AB a ==，则2a =，
又点
在C 上，所以213144b +=，解得1b =， 故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）证明：由（1）可得，()2,0A −，()2,0B ，易知直线AE 与直线BF 的斜率一定存在且不为0，
设直线AE 的方程为())2(0y t x t =+≠，直线BF 的方程为()32y t x =−−． 由()22
2,
1,4
y t x x y =+ +=
得()222241161640t x t x t +++−=，
所以2216441A E t x x t −=+
，故E x =，则2441E t
y t =+，故222824,4141t t E t t −+ ++ ． 由()2232,
1,4
y t x x y =−− += 得()2222
36114414440t x t x t +−+−=，所以221444361B F t x x t −=+， 故22722361F t x t −=+，则2
12361F t
y t =+，故22272212,361361t t F t t − ++
． 若直线EF 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF 所过定点必在x 轴上， 设定点为()0,0P x ．
则2222002
24124136128722
361
41PE PF t t
t t k k t t x x t t ++===−−−−++， 即
()()
22
22004127223612841t
t t x t t x t =+−−+−−，
所以()()
222200624341722361t x t t x t −−+=−−+，
化简可得()()
2041210x t −−=，故04x =，即直线EF 过定点()4,0． 19．解：（1）①因为()1,2,1A ，()0,1,1B −，
则()()()12010133,1,112
011
j
k
i OA OB i k j i i j k =++−−−−−=−−=−−×=−
． ②证明：设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，
则121212212121122112211221(,,)OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i y y z z z x z x x x y z y ×=++−−−=−−−
，
将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，
可得211221122112,,()OB OA y z y z z x z x x y x y ×=−−−
， 故()0,0,00OA OB OB OA ×+×=
=
．
（2
）证明：因为sin AOB ∠，
故1sin 2AOB
S OA OB AOB =⋅∠= △，
故要证12
AOB
S OA OB =×
△，
只需证OA OB ×= 即证2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= ．
由（1）111(,,)OA x y z = ，()222,,OB x y z =
，()122112211221,,OA OB y z y z z x z x x y x y ×=
−−− ，
故()2
222
122112211221()()OA OB y z y z z x z x x y x y ×=−+−+− ，
又2
221
1
21
OA x y z =++，2
2222
2
2OB x y z
=++，
(
)
()2
2
121212OA OB
x x y y z z ⋅=++ ，
则2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= 成立，
故12
AOB
S OA OB =×
△． （3）证明：由（2）12
AOB
S OA OB =× △，
得221()222AOB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB S ⋅××=×=×⋅×= △， 故261()3
AOB OA OB OA OB S ×=×⋅× △， 故2()OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB × 为高的三棱锥体积的6倍．。