最新-2018届高考数学限时训练(函数的奇偶性与周期性)

A 级 课时对点练
(时间：40分钟 满分：70分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋m 2－7m ＋12为偶函数，则m 的值是________．
解析：解法一：∵f (x )为偶函数，则m －2＝0，
∴m ＝2，应填2.
解法二：∵f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故有2(m －2)x ＝0对x ∈R 恒成立，故m －2＝0，∴m ＝2，应填2.
答案：2
2．已知函数f (x )＝1＋m e x －1
是奇函数，则m 的值为________． 解析：∵f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m e x －1＝0，∴2－m e x
e x －1
＋m e x －1＝0，∴2＋m e x －1
·(1－e x )＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2
3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________.
解析：解法一：设x <0，则－x >0，f (－x )＝2－x －3＝－f (x )，故f (x )＝3－2－
x ，所以f (－
2)＝3－22＝－1. 解法二：f (2)＝22－3＝1，∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.
答案：－1
4．(2018·安徽改编)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)
－f (4)＝________.
解析：∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，
∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，
f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，
故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1.
答案：－1
5．(2018·山东改编)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常
数)，则f (－1)＝________.
解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
f (0)＝0，则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，
f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3.
答案：－3
6．(2018·泰州模拟)f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝________.
解析：令G (x )＝F (x )－2＝3f (x )＋5g (x )，
故G (x )是奇函数，
又⎩⎪⎨⎪⎧
G (a )＝F (a )－2，G (－a )＝F (－a )－2， 解得F (－a )＝－b ＋4.
答案：－b ＋4
7．(2018·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f (x )，它在[0,2]上的图象是一条如图所示的线段，则不等式f (x )＋f (－x )>x 的解集为________．
解析：f (x )＋f (－x )>x 即f (x )>x 2
，如图，由数形结合法可知不等式的解集为[－2,1)． 答案：[－2,1)
8．(2018·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －
x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：由f (－1)＝f (1)得－(e －1＋a e)＝e ＋a e －
1，∴a ＝－1. 答案：－1
二、解答题(共30分)
9．(本小题满分14分)已知分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x >1)，x (－1≤x ≤1)，
－x 2(x <－1)，
判断它的奇偶性．
解：当x >1时，－x <－1，
f (－x )＝－(－x )2＝－x 2＝－f (x )；
当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1，
f (－x )＝－x ＝－f (x )；
当x <－1时，－x >1，
f (－x )＝(－x )2＝－(－x 2)＝－f (x )．
所以在R 上都有f (－x )＝－f (x )成立 .
故f (x )为奇函数．
10．(本小题满分16分)f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)
时，f (x )＝2x －1，求f (log 12
6)的值． 解：∵x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1.∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝－f (－x )＝－2－
x ＋1，∵4<6<8，
∴－3<log 126<－2.又f (x ＋2)＝f (x )，知f (x )是周期为2的函数．∵－1<log 12
6＋2<0，∴f (log 126)＝f (log 126＋2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 1232＝－2－log 1232＋1＝－32＋1＝－12. B 级 素能提升练
(时间：30分钟 满分：50分)
一、填空题(每小题5分，共20分)
1．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________．
解析：f (x )－1＝x 3＋sin x 为奇函数，
又f (a )＝2，∴f (a )－1＝1，
故f (－a )－1＝－1，即f (－a )＝0.
答案：0
2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x
＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫52的值是________． 解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )可得
32f ⎝⎛⎭⎫52＝52f ⎝⎛⎭⎫32，12f ⎝⎛⎭⎫32＝32f ⎝⎛⎭
⎫12， －12f ⎝⎛⎭⎫12＝12f ⎝⎛⎭
⎫－12.又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f ⎝⎛⎭⎫32＝0，f ⎝⎛⎭
⎫52＝0. 又∵－1·f (－1＋1)＝(1－1)f (－1)，
∴－f (0)＝0f (－1)＝0.
∴f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝f (0)＝0. 答案：0
3．函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，则f (－1)，f (0)，f (2)的大小关系是________．
解析：∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，
又∵y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )向右平移2个单位得到的，而y ＝f (x －2)在[0,2]上单
调递增，
∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，
∴f (－1)＝f (1)且f (0)>f (1)>f (2)，
∴其大小关系为f (0)>f (－1)>f (2)．
答案：f (0)>f (－1)>f (2)
4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a ＝f ⎝⎛⎭
⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭
⎫tan 5π7，则a 、b 、c 之间的大小关系是________． 解析：sin
2π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－5π7＝sin 5π7.又π2<5π7<3π4，可知tan 5π7<cos 5π7<sin 5π7且cos 5π7<0，sin 5π7
>0， ∴⎪
⎪⎪⎪cos 5π7<⎪⎪⎪⎪sin 5π7<⎪⎪⎪⎪tan 5π7. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函数，
∴f ⎝⎛⎭⎫⎪
⎪⎪⎪cos 5π7<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪sin 5π7<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪tan 5π7， 即b <a <c .
答案：c >a >b
二、解答题(共30分)
5．(本小题满分14分)(2018·江苏泰州)对于函数y ＝f (x )，定义：若存在非零常数M 、T ，使函数f (x )对定义域内的任意实数x ，都满足f (x ＋T )－f (x )＝M ，则称函数y ＝f (x )是准周期函数，常数T 称为函数y ＝f (x )的一个准周期．如：函数f (x )＝2x ＋sin x 是以T ＝2π为一个准周期且M ＝4π的准周期函数．
(1)试判断2π是否是函数f (x )＝sin x 的准周期，说明理由．
(2)证明函数f (x )＝x ＋(－1)x (x ∈Z )是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；
解：(1)∵f (x )＝sin x ，
∴f (x ＋2π)－f (x )＝sin(x ＋2π)－sin x ＝sin x －sin x ＝0，
∴2π不是函数f (x )＝sin x 的准周期．
(2)∵f (x )＝x ＋(－1)x (x ∈Z )，
∴f (x ＋2)－f (x )＝[(x ＋2)＋(－1)x ＋
2]－[x ＋(－1)x ] ＝x ＋2＋(－1)x －x －(－1)x ＝2(非零常数)，
∴函数f (x )＝x ＋(－1)x (x ∈Z )是准周期函数，T ＝2是它的一个准周期，相应的M ＝2.
6．(本小题满分16分)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝
－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)．
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x2)＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8，
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解：∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 004)＋f(2 018)＋f(2 018)＋f(2 018)＝0，
又∵f(2 018)＝f(0)＝0，f(2 018)＝f(1)＝1，f(2 010)＝f(2)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1.。