一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心

一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心吴玉森;李培峦
【摘要】本文研究了一类七次多项式系统高次奇点的中心、拟等时中心条件与极限环分支问题.首先通过同胚变换和复变换将系统的高次奇点化为复域中的初等原点,然后求出了新系统在原点的前45个奇点量,从而导出了高次奇点为中心和最高阶细焦点的条件.在此基础上给出了七次系统在高次奇点分支出8个极限环的实例.最后通过一种新的算法求出高次奇点为中心时的周期常数,得到了高次奇点为拟等时中心的必要条件,并一一证明了这些条件的充分性.%Investigated in this paper are the center conditions, pseudo-isochronous center conditions and bifurcation of limit cycles at higher-order singular points for a class of septic system. Firstly, the higher-order singular point is transformed into the origin by a homeomorphic transformation and a complex transformation. Then the first 45 singular point quantities at the origin are calculated and the conditions for the higher-order singular point to be a center and the highest order fine focus are deduced as well. With these conclusions, a septic system which allows the appearance of 8 limit cycles in the neighborhood of higher-order singular points is constructed. Finally, a new algorithm is applied to find necessary conditions for pseudo-isochronous centers, and then the sufficiency of these conditions is proved.【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2011(028)001
【总页数】9页(P87-95)
【关键词】高次奇点;极限环分支;拟等时中心;七次系统
【作者】吴玉森;李培峦
【作者单位】河南科技大学数学与统计学院,洛阳,471003;河南科技大学数学与统计学院,洛阳,471003
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
1 引言
在平面多项式微分系统定性理论中，中心与等时中心这两个经典问题一直吸引着众多数学工作者的兴趣．关于初等奇点的中心与等时中心问题已有大量的研究结果[1-5]，但关于多项式系统高次奇点这方面的研究结果还很少见，目前仅有一些关于高次奇点稳定性、极限环分支的结果[6]．
研究系统原点中心条件的一种方法是先求出原点的前面若干个焦点量，然后置这些焦点量为零，从而获得原点为中心的必要条件，最后通过各种方法来证明这些条件的充分性．如果一个平面多项式系统的中心的充分小临域内闭轨族的周期为相同的常数，则称之为等时中心．类似地，当原点为中心时，研究系统等时中心的一种方法是先求出原点的前面若干个周期常数，然后置这些周期常数为零，从而获得原点为等时中心的必要条件．最后通过多种途径证明条件的充分性．计算焦点量的经典方法有Poincar后继函数法和Lyapunov形式级数法[7]，而计算周期常数的方法有等时常数法[3,4,8]，周期常数法[9]，复系统的周期常数法[5]．以上计算焦点量和周期常数的方法都具有计算复杂、不便应用的缺点．刘一戎、李继彬[10]给出了一套统一计算焦点量和鞍点量为奇点量来解决复中心问题的新方法．在此基础上，
刘一戎、黄文韬[11]又给出了一种在复域中计算复系统中心周期常数的新算法，即解决了寻找复等时中心必要条件的问题．上述计算奇点量和周期常数的新方法容易通过计算机代数软件Mathematica或Maple实现，只需以系统右端系数作为符号进行有限次加、减、乘、除的四则运算和符号推导，避免了复杂的非线性积分运算和求解多元方程组．
本文研究如下七次多项式系统
系统(1)的原点为高次奇点，且它的Poincar闭球面的赤道Γ∞为系统的轨线，其上没有实奇点．本文通过同胚变换和复变换把系统(1)的高次奇点化为初等奇点在复域中来研究，得到了系统的中心条件和最高阶细焦点(细奇点)条件，构造出了一个在高次奇点分支出8个极限环的七次多项式系统实例．然后，在中心条件的基础上计算了系统的周期常数，得到了此系统高次奇点为拟等时中心的必要条件，最后通过多种有效途径证明了这些条件的充分性．这实际上解决了这类七次系统的伴随系统高次奇点的拟等时中心问题与其自身为实系统时鞍点的可线性化问题．
2 高次奇点的奇点量与中心条件
通过同胚变换
系统(5)变为它的伴随系统
显然，系统(7)的右端系数共轭，即
利用文献[12]定理2.1给出的计算原点奇点量的一般递推公式，通过计算机符号运算与化简可得以下定理．
定理1 系统(7)δ=0原点的前45个奇点量为
定理2 系统(7)δ=0原点的前45个奇点量全部为零的充要条件是下列三组条件之
一成立：
根据文献[10]，系统(7)δ=0有14个基本Lie不变量：
定理2给出了系统(7)δ=0的原点为中心的必要条件．在定理2中，如果条件(I)或(III)成立，则系统(7)δ=0满足广义对称原理[10]的条件；如果条件(II)成立，记
a32=b32=r32，则系统(7)δ=0 有通积分
所以，我们有以下定理．
定理3 系统(7)δ=0的原点(相应地，系统(1)δ=0的高次奇点)为中心的充要条件是定理2中的三组条件之一成立．
3 高次奇点的极限环分支实例
由定理1容易得到：
定理4 系统(7)δ=0的原点为45阶细奇点，即µ1= µ2= ···= µ44=0,µ45≠0的充要条件是
且细奇点的最高阶数为45阶．
由定理1及定理4，我们构造出扰动系统(7)在原点分支出8个极限环的实例如下：定理5 如果系统(7)的系数满足
相应地，系统(1)的系数可由(3),(8),(11)式定出，则当0<ε≪ 1时，系统(5)在原点
的邻域内经微扰将产生8个极限环，其位置在圆ξ2+η2=k2ε2,k=1,2,3,4,5,7,8,9附近．相应地，系统(1)在高次奇点的邻域内经微扰将产生8个极限环，其位置在1,2,3,4,5,7,8,9附近．
由(12)式可得Poincar后继函数为
其中G(h,ε)在原点解析
g(h)仅有8个简单正根，由(13)式及隐函数定理，即得所欲证．
4 高次奇点的周期常数与拟等时中心条件
系统的等时中心首先必须是中心，因此我们按中心条件分三种情形来讨论系统(7)δ=0的复等时中心条件．在定理2的中心条件中我们记a32=b32=r32．
情形1 中心条件(I)成立．
当a23=b23=0时，由文献[11]定理3.1中周期常数的一般递推公式，经过仔细计算得系统(7)δ=0的前20个周期常数为
在式(14)和(15)中τk=0,k≠5i,i≤ 4,i∈ N，且在上述µk的表达式中已置τ1=
τ2= ...=τk−1=0,k=2,3, (20)
由式(14)和(15)易见，系统(7)δ=0的原点为复等时中心当且仅当它为普通的线性系统
情形2 中心条件(II)成立．
将中心条件(II)代入文献[11]定理3.1中的周期常数递推公式，得到系统(7)δ=0的前40个周期常数如下
其中τk=0,k ≠5i,i≤ 8,i∈ N．在上述µk的表达式中已置τ1= τ2= ···=
τk−1=0,k=2,3, (40)
由τ35=0知存在复常数h，使得
代入τ20的表达式得
由(18)式得
将(17)式和(19)式代入τ40的表达式得
所以当中心条件(II)成立时，系统(7)δ=0的原点不是复等时中心．
情形3 中心条件(III)成立．
因为a41b41≠0，由中心条件(III)，可令
其中r,h是复常数．将(21)式代入文献[11]定理3.1中的周期常数递推公式，得到系统(7)δ=0的前30个周期常数
其中在上述µk的表达式中已置2,3, (30)
由τ15=0知类似于情形2的证明过程容易得到：
所以系统(7)δ=0的前30个周期常数为零当且仅当者
当条件(23)成立时，系统(7)δ=0变为
则系统(25)变故系统(25)的原点是复等时中心．
当条件(24)成立时，系统(7)δ=0变为
由极坐标公式z=reiθ,w=re−iθ，沿着系统(26)的轨线，θ对T求导得所以系统(26)的原点是复等时中心．
综上所述，我们得以下结论．
定理6 系统(7)δ=0((1)δ=0)的原点(高次奇点)是复等时中心(拟等时中心)的充分必要条件是条件(23)或(24)成立．
参考文献：
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