新教材适用2023_2024学年高中数学第1章第2课时等比数列习题课课件北师大版选择性必修第二册

2．若等差数列{an}的首项为1，公差为1，等比数列{bn}的首项为－
1，公比为－2，则数列{an＋bn}的前8项和为( C )
A．－49
B．－219
C．121
D．291
[解析] 因为等差数列{an}的首项为 1，公差为 1，等比数列{bn}的首
项为－1，公比为－2，记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}
则数列{an}的前20项和为( D )
A．1 110
B．1 111
C．1 112
D．1 113
[分析] 由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数项构成等
比数列，由此可分组求和．
[解析] 因为n≥3且n为奇数时an＝2＋an－2， 所以所有奇数项构成a1＝0为首项，2为公差的等差数列， 又因为n≥4且n为偶数时，an＝2an－2，即所有偶数项构成a2＝1为首 项，2为公比的等比数列， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a20 ＝(a1＋a3＋...＋a19)＋(a2＋a4＋...＋a20) ＝0＋128×10＋11－－2210＝90＋1 023＝1 113.
－1)·2n＋1.
[规律方法] 错位相减法的适用条件与注意事项 (1)适用条件：求数列{an·bn}的前n项和，其中数列{an}是等差数列， {bn}是等比数列； (2)步骤：在和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差计算； (3)注意：①两式相减时，要特别注意最后一项的符号，②利用等比 数列前n项和公式对相减后的和式求和时，要注意项数．
[规律方法] 关于等比数列Sn与an的关系 (1)Sn 与 an 的关系可以由 Sn＝a11－－aqnq得到，一般已知 a1，q 即可得到
二者之间的关系，也可以通过特殊项验证判断．
(2)Sn － Sn － 1 ＝ an(n≥2) 是 Sn 与 an 之 间 的 内 在 联 系 ， 既 可 以 推 出 项 an－1，an，an＋1之间的关系，也可得到Sn－1，Sn，Sn＋1之间的关系，体现 了Sn与an关系的本质．
整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 所以nS＋n＋11＝2·Snn，又S11＝1， 所以Snn是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(2)由(1)得Snn＝2n－1，
所以Sn＝n·2n－1(n∈N*)． 所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，① 2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，② 由②－①得 Tn＝－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋n·2n＝－11－－22n＋n·2n＝(n
(2)bn＝(an－3)·3n＝n·3n， 所以Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n…① 3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1…② 由①－②得：－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1 ＝3－1－3n3＋1－n× 3n＋1，
所以 Tn＝2n－1×4 3n＋1＋3.
A．0
B．3
C．4
D．6
[分析] 利用an＝Sn－Sn－1算出通项，再结合该数列为等比数列可求
m.
[解析] 因为Sn＝3n＋1＋3－m， 12－m，n＝1
故 an＝2·3n，n≥2 ，
因为{an}为等比数列，故aa32＝aa21 即22··3332＝122－·32m，故 m＝6，
6，n＝1 此时 an＝2·3n，n≥2
A．一定是等差数列 B．可能是等差数列，但不会是等比数列 C．一定是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列
[解析] (1)设等比数列的公比为q(q>0)， 由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列， 得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2. 所以 Sn＝1－1－an×2 2，则 Sn＝2an－1. (2)an＋1＝3Sn，an＝3Sn－1，故an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，而 n＝1时，a2＝3S1＝3a1，可知该数列不是等比数列．当an＝0时，数列 {an}为等差数列．故本题正确答案为B.
2．借助利用等比数列的前n项和公式解决实际问题，培养数学建模 素养.
必备知识•探新知
知识点 1 等比数列Sn与an的关系 Sn 与 an 的关系可以由 Sn＝a11－－aqnq得到，一般已知 a1，q 即可得到二
者之间的关系，也可以通过特殊项验证判断．
练一练：
数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n＋1＋3－m，且{an}是等比数列， 则m＝( D )
对点训练❷ 各项均为正数的等比数列{an}，a1＝1，a2a4＝16，
数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝3n22＋n(n∈N＋)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. [解析] (1)设公比为q，∵a1＝1，a2a4＝16， ∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2. ∴an＝2n－1. ∵Sn＝3n22＋n，
等比数列an与Sn的关系
典例 1 (1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－
a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是( A )
A．Sn＝2an－1
B．Sn＝2an＋1
C．Sn＝4an－3
D．Sn＝4an－1
(2)数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，an＋1＝3Sn，则下列关 于{an}的论断中正确的是( B )
4．已知 f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则 f12＝__2_－__n_＋2_n_2__. [解析] 因为 f12＝12＋2×212＋3×213＋…＋n×21n，① 所以12f12＝212＋2×213＋3×214＋…＋n×2n1＋1，② 由①－②得，
题型二
分组转化求和
典例 2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，______. 请在①a4＋a7＝13；②a1，a3，a7成等比数列；③S10＝65，这三个条件中 任选一个补充在题干中，并解答下列问题．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn－an}是公比为2的等比数列，b1＝3，求数列{bn}的前n 项和Tn.
易|错|警|示 对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母进行分类讨论而致误
典例 4 求数列1，a，a2，…的前n项和Sn. [错解] Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1＝11－－aan＝aan－－11. [误区警示] 错误的原因在于忽略了对a的取值进行分类讨论．
[正解] Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1， 当 a＝1 时，Sn＝1＋1＋…＋1＝n；当 a≠1 且 a≠0 时，Sn＝11－－aan＝ an－1 a－1 .
(2)由题意得b1－a1＝1，bn－an＝2n－1，
任选①②③：an＝n＋1，
所以bn＝2n－1＋n＋1，
Tn＝(1＋2)＋(2＋3)＋(22＋4)＋…＋(2n－1＋n＋1)
＝
(1
＋2
＋
…＋
2n－
1)＋
[2＋
3＋
…＋
(n＋
1)]＝11－－22n＋
n2＋n＋1 2
＝
2n
＋n2＋32n－2.
[规律方法] 分组求和法的适用条件 如果一个数列{cn}可写成cn＝an±bn的形式，其中数列{an}，{bn}分 别是等差数列，等比数列或可转化为能够求和的数列，可以采用分组求 和法．
对点训练❶ 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，求
Sn. [解析] ∵Sn＝2an＋1① ∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)② ①－②得an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴aan－n 1＝2(n≥2)
又a1＝S1＝2a1＋1， ∴a1＝－1， ∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列， ∴Sn＝－11－－22n＝1－2n.
题型三
错位相减法求和
典例 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n
∈N*)．
(1)证明：数列Snn是等比数列；
(2)求数列 S 的前
n
n
项和
Tn.
[解析] (1)证明：由 an＋1＝n＋n 2Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，得 Sn＋1－Sn＝n＋n 2 Sn，
对点训练❸ 已知等差数列{an}满足a3＝6，前7项和为S7＝49. (1)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝(an－3)·3n，求{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)由 S7＝7×a21＋a7＝7a4＝49，得 a4＝7，因为 a3＝6，所
以 d＝1，所以 a1＝4，an＝n＋3.
[解析] (1)因为Sn＋1－Sn＝an＋1， 所以，由题意得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，所以数列{an}是等差 数列，公差为1. 选①，a4＋a7＝13，则a1＋3＋a1＋6＝13，解得a1＝2，所以an＝2＋ (n－1)＝n＋1；
选②，a1，a3，a7成等比数列， 则 a23＝a1a7，所以(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得 a1＝2，所以 an＝2＋(n －1)＝n＋1； 选③，S10＝10a1＋102×9×1＝65，解得 a1＝2， 所以an＝2＋(n－1)＝n＋1；
12S＝1×212＋2×213＋3×214＋…＋9×2110②，
①－②得：12S＝12＋212＋213＋…＋219－9×2110
＝1211－－21219－9×2110 ＝1－219－9×2110＝1－21110＝11 001234， 所以 S＝1501123.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
故选D.
知识点 3 错位相减法求和 一 般 地 ， 如 果 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， {bn} 是 等 比 数 列 ， 求 数 列
{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
练一练：
计算 1×12＋2×212＋3×213＋…＋9×219.
[分析] [解析]
利用乘公比错位相减法，求数列n×21n的前 9 项和即可． S＝1×12＋2×212＋3×213＋…＋9×219①，
的前 n 项和为 Tn，则数列{an＋bn}的前 8 项和为 S8＋T8＝8×1＋8×82－1
×1＋－1×[11＋－2－28]＝121.
3．已知数列{an}为等差数列，且 2a1，2，2a6 成等比数列，则{an}前
6 项的和为( C )
A．15
B．221
C．6
D．3
[解析] 设数列{an}为公差为 d 的等差数列， 且 2a1，2,2a6 成等比数列， 可得 4＝2a1·2a6＝2a1＋a6，可得 a1＋a6＝2， 即有{an}前 6 项的和为12×6(a1＋a6)＝6.
∴当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝3n22＋n－3n－122＋n－1＝3n－1. 当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1. (2)cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(20＋21＋…＋2n－1)＋[2＋5＋…＋(3n－1)] ＝11－－22n＋[2＋32n－1]n＝2n－1＋n3n2＋1.
第一章 数 列
§3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列习题课
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．掌握等比数列前n项和的性质的应用． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 3．会用错位相减法求数列的和．
1．通过学习等比数列的通项公式、前n项和公式、性质及其应用， 提升数学运算素养。
n a＝1，
当 a＝0 时满足上式．∴Sn＝aan－－11a≠1.
课堂检测•固双基
1．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是 递增数列，则( B )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 [解析] 由题，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0，但是 {Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正 一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选B.

即 an＝2·3n,aan－n 1＝3 即{an}为等比数列.故选 D.
知识点 2 分组转化法求和 若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数
列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
练一练：
数列{an}满足 a1＝0，a2＝1，an＝22＋ ×aann－ －22， ，nn≥ ≥33， ，nn为 为奇 偶数 数， ，