反函数知识点总结计划讲义教案

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班级：一对一所授年级 +科目：高一数学讲课教师：
课次：第次学生：上课时间：
理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，
教课目的
会利用反函数的性质解决一些问题．
教课重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．
反函数知识点总结教课设计
【知识整理】
一．函数的定义
假如在某个变化过程中有两个变量x 和y,而且对于 x 在某个围的每一个确立的值，依据某个对应法那么 ,y 都有独一确立的值和它对应, 那么y就是x的函数，x 就叫做自变量，x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的会合 A 叫做函数的值域，记为：
y f ( x)x ∈D.
二．反函数定义
一般地，函数 y f ( x) (x ∈D),设它的值域为A, 我们依据这个函数中x ,y 的关系，用 y 把x 表示出，获得x( y) ,假如对于y 在A中的任何一个值，经过x( y) ,x 在D中都有唯一的值和它对应，那么， x( y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数，这样的函数x( y)〔 y ∈A)叫做函数y f ( x) (x ∈D)的反函数.记作：x f 1( y)
反函数 x f1( y)中，x为因变量，y为自变量，为和习惯一致，将x,y 交换得：y f 1 ( x) ( x ∈ A).
注：并不是全部的函数都有反函数 . 反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映照确立的函
数才有反函数；
三．主要方法：
1．求反函数的方法步骤：
①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；
②由 y f (x) 反解出 x f1( y) (把x用y表示出来)；
③将 x ,y 交换得：y f1( x) ，并写出反函数的定义域
2．分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.
3．原函数与反函数的联系
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反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，假定y f ( x) 与 y f1(x)互为反函数，函数 y f ( x) 的定义域为 D 、值域为 A ，那么 f [ f1(x)]x(x A) ， f 1 [ f ( x)] x(x D ) ；
函数 y f ( x)反函数y f1( x)
定义域D A
值域A D
4.互为反函数的函数图象间的关系
一般地，函数 y f ( x) 的图像和它的反函数 y f1 (x) 的图像对于直线y =x对称，其增减性同样 .
释意：假如点 (a,b) 在函数y f ( x) 的图像上，那么点(b,a) 必定在它的反函数y f 1( x) 的图像上。

换言之，假如函数 y f (x) 的图像上有点(a,b)，那么它的反函数 y f1( x) 的图像上必定有点(b,a).
1．求以下函数的反函数：
〔1〕f ( x)x2x( x1) ；
x21(0x1)〔 2〕f ( x) {
2 ( 1x0)
.
x
解：〔 1〕由y x2x( x1)得 y2( x 1 )21
(x1) ，
24
∴ x1y21
( y0) ，∴所求函数的反函数为y1x2
1
( x0) ．
2424〔2〕当0x1时，得 x y1( 1y0)，当 1x0 时，得 x y(0y 1)，∴所求函数的反函数为y x1(1x0) ．
x(0x 1)
2．函数y1ax ( x 1
, x R) 的图象对于 y x 对称，求a的值．
1ax a
解：由 y1ax ( x 1
, x R) 得x1y( y1) ，∴ f1 (x)1x( x1) ，
1ax a a( y1)a( x1)
.
由题知： f ( x) f 1 ( x) ，1x1ax
，∴ a 1 ．
a(x1)1ax
3．假定(2,1)既在f
( x)mx n 的图象上，又在它反函数图象上，求m, n 的值．解：∵ (2,1) 既在 f ( x)mx n 的图象上，又在它反函数图象上，
f (1)2m n2
，∴m3
．
∴，∴
f (2)12m n1n7
4．设函数f ( x)12x
，又函数 g( x) 与 y f 1 (x1) 的图象对于y x 对称，求g( 2)的
1x 值．
解法一：由 y12x
得 x1
y
，∴ f1( x)1
x
， f1( x 1)
x
x ，
1x y2x23
∴ g( x) 与 y
x x互为反函数，由2
x
x，得 g (2) 2 ．33
解法二：由 y f 1 ( x1) 得 x f ( y) 1 ，∴ g(x) f ( x)1，∴ g(2) f (2) 1 2 ．
5．函数y f (x) 〔定义域为 A 、值域为 B 〕有反函数y f 1( x) ，那么方程 f (x) 0
有
解 x a ，且 f ( x)x( x A) 的充要条件是y f1( x) 知足 f 1( x)x( x B)且 f 1 (0) a ．
6．f ( x)a2x1
(a R) ，是R上的奇函数．〔1〕求a的值；〔2〕求 f (x) 的反函数；2x1
〔3〕对随意的k (0,) 解不等式 f1 ( x)log 21x ．
k 解：〔 1〕由题知f (0)0 ，得a1，此时
f ( x) f (x)2x 1 2x 1 2x 1 1 2x
0 ，即 f ( x) 为奇函数．2x 1 2x 1 2x 1 1 2x
〔2〕∵y2x112，得 2x1y (1y1) ，∴ f 1 ( x)log 21x
( 1x 1) ．
2x12x11y1x
1 ( x) 1 x ，∴1x1x
x1k ，
〔3〕∵f log 21x k，∴
k1x1 1 x1
.
① 当 0 k 2 时，原不等式的解集 { x |1 k x 1} ，
② 当 k
2 时，原不等式的解集 { x |
1 x 1} ．
7. 函数 f (x)
3x 1 的反函数 y f 1 ( x) ， g(x)
log 9(3x 1)
〔１〕假定 f 1
( x) g( x) ，求 x 的取值围 D
；
〔２〕设函数 H ( x)
g (x)
1 f 1
( x) ，当 x D 时，求 H ( x) 的值域 .
2
解：∵
f (x)
3x
1 ，∴ f
1
( x) log 3 ( x
1) ．
〔１〕∵ f 1
(x)
g( x) 即 log (x
1) log (3x 1)
∴ log 9 ( x 1) 2
log 9 (3x 1)
，
3
9
∴ ( x 1)2 3x 1,
解之得 0 x 1
∴ x D
0, 1 ．
x 1
0.
〔２〕∵
H ( x)
g ( x) 1 f
1
( x) log 9( 3x
1) 1 log 3 ( x 1)
2
2
log 9 (3x 1) log 9 ( x 1) log 9 3x 1 x
0,
1
x ．
1
令 t
3x 1
3
2 ，明显在 [0 ， 1] 递加，那么有
1 t
2 ．
x 1
x 1
∴ 0
H ( x) log 9 2 ，即 H ( x) 的值域为 { y 0 y log 9 2} ．
8. 函数 y f ( x) 在其定义域 D 是减函数，且存在反函数，求证：
y
f ( x) 的反函数
y f
1
(x) 在它的定义域 E 也是减函数〔 E 是 y
f ( x) 的值域〕．
证明：∵ y
f ( x) 在其定义域 D 是减函数，
∴设 x 1, x 2 D ，且 x 1
x 2 ，有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ．
令 y 1
f (x 1 ), y 2 f ( x 2 ) ，有 y 1 , y 2 E ，且 y 1 y 2 ．
∵函数 y f ( x) 在上 D 存在反函数 y
f 1 ( x), x
E ，∴ x 1
f 1 ( y 1 ), x 2
f
1
( y 2 ) ．
由题意， y 1 y 2
x 1
x 2
f 1 ( y 1 )
f
1
( y 2 ) ，且 y 1 , y 2 E ，
1 (x) E
.
9. 函数 f (x)
x 1
2 , x 1.
(
1 )
x
〔1〕求 f ( x) 的反函数 f 1
(x) ；〔2〕判断 f 1( x) 在其定义域的单一性；
〔3〕假定不等式 (1
x ) f 1 (x) a(a
x ) 对 x [ 1 , 1 ] 恒建立，数 a 的取值围 .
16 4
解：〔 1〕由 y =〔
x
1
〕 2
，得 x = 1
y
. 又 y =〔 1－
x 2
〕2 ，且 x ＞1，
x 1 1
y
1
∴ 0＜ y ＜ 1
∴ f －1
〔 x 〕=
1
x
〔 0＜ x ＜1〕 .
1 x
〔 2〕设 0＜ x 1＜ x 2＜1，那么
x 1 － x 2 ＜ 0， 1－ x 1 ＞ 0， 1－
x 2 ＞ 0.
∴ f －
1〔x 1〕－ f －
1〔 x 2〕 = 2( x 1
x 2 )
＜ 0，即 f －
1〔 x 1〕＜ f －
1〔 x 2〕.
(1
x 1 )(1
x 2 )
∴ f －
1〔x 〕在〔 0， 1〕上是增函数 .
〔 3〕由题设有〔 1－
x 〕
1
x
＞a 〔 a － x 〕.
1 x
∴ 1+ x ＞ a 2
－ a
x ，即〔 1+a 〕 x +1－ a 2
＞ 0 对 x ∈［
1 ，1
］恒建立 .
16
4
明显 a ≠－ 1. 令 t =
x ，∵ x ∈ ［
1
， 1
］，∴ t ∈ ［ 1 ， 1
］ .
16 4
4 2
那么 g 〔 t 〕 =〔 1+a 〕 t +1－ a 2
＞ 0 对 t ∈ ［ 1 ， 1
］恒建立 .
4 2
因为 g 〔 t 〕 =〔 1+a 〕 t +1－ a 2 是对于 t 的一次函数，
1
a)
1 a
2
0,
1
1
(1
5
〕＞ 0，即 4
∴ g 〔 〕＞ 0 且 g 〔
1
解得－ 1＜ a ＜ ．
4
2
a)
1 a
2 0,
4
(1
2
【反响练习】
1 函数 y
x 2
2ax 3 在区间 [1, 2] 上存在反函数的充要条件是〔
D 〕
A 、 a
,1
B 、 a
2, C 、 a [1,2]
D 、 a ,1U2,
2 函数 y
2x
1( x 1) 的反函数是〔 A 〕
A ． y
log 2 (x 1), x (1,3)
B ． y 1 log 2 x, x
(1,3)
.
C．y log2(x 1), x(1,3]D．y1 log 2x, x (1,3]
3 假定函数f (x)是函数y 2 2x2 0x 1 的反函数，那么 f (x) 的图象为〔 B〕
y y y y
O x O A B C
x
D
O x O x
4 假定函
数
y f (x)的图象经过第三、四象限，且存在反函数，那么函数
y f
1 ( ) 的图象经过
(B)
x
〔A〕第一、二象限〔 B〕第二、三象限〔C〕第三、四象限〔Ｄ〕第一、四象限5 设a0, a 1 ，函数 y log a x 的反函数和 y log 1x 的反函数的图象对于〔 B〕
a
( A)x 轴对称(B) y轴对称(C )y x 轴对称(D)原点对称
6 函数f (x)
ln x1(x
0)
，那么
f ( x)
的反函数为 (B)
〔A〕y e x 1( x R) 〔B〕 y e x 1 ( x R) 〔C〕 y e x 1( x 1) 〔D〕 y e x 1 (x 1)
7 设f 1 x是函数 f x 1 a x a x a 1 的反函数，那么
使f 1 x1建立的 x 的取值围为〔A〕
2
A、( a21,)
B、( , a21)
C、( a21
,a) D 、( a,)
2a2a2a
解 :a 1时， f x 单一增函数，因此f 1
x 1f f
1
x f 1x
a21
f 12a。

12
8 设函数f〔x〕是函数g〔x〕 =2x的反函数，那
么f〔 4－x〕的单一递加区间为〔C〕
A. ［ 0， +∞〕
B.〔－∞， 0］
C.［0，2〕
D.〔－ 2，0］．
解： f 〔4－x2〕=－log2〔4－ x2〕,x∈〔－2，0］时，4－ x2单一递加；
x∈［0，2〕时，4－ x2单一递减.
9 函数 f (x) a x b 的图象过点〔１，７〕，又其反函数的图象经过点〔４，０〕，那么 f (x)的表达式为 _____________. f (x) =4x3
10对于反函数有以下命题：① 二次函数必定有反函数；② 反比率函数必定有反函数；③ 假定函数
y f (x) 与其反函数 y f 1 ( x) 有公共点，那么该点必定在直
线y x 上；④单一函数在其单一区
间上必定有反函数．以上命题，正确的命题的序号是____②④ ______.
.
12 假定函数f x存在反函数 f 1 x ，且方程 f x x a 、方程 f 1 x x a 分别有独一实根
x1、 x2，那么 x1x2=_________。

〔a为常数〕a
x
－ 1，设f〔x〕的反函数是y=g〔x〕，
13 函数y=f〔x〕是奇函数，当x≥ 0 时，f〔x〕 =3
那么 g〔－8〕=______________
解：当 x＞0时，－ x＜0， f 〔－ x〕=3x1.又∵f〔x〕是奇函数，
∴ f 〔－ x〕=－ f 〔 x〕，即－ f 〔 x〕=3x 1 .∴f〔x〕=13 x
∴ f 〔 x〕=3x1x 0,
∴ f －1〔 x〕=log 3 ( x 1)x0,
1 3 x x0.log 3 (1 x)x0.
∴f －1〔－8〕=g〔－8〕=－log3〔1+8〕=－log332=－2.
14 求函数的反函数：y x33x23x1.
解：由 y x33x23x1得 y( x 1)3 2 ，∴x 1 3y 2( y R) ，
∴所求反函数为f1 ( x)13x2( x R)．
15 设函数f ( x) 1 2x，又函数 g( x) 与 y f1( x1) 的图象对于y x 对称，求g( 2)的值.
1x
解法一：由 y12x得 x1y
，∴ f1( x)1
x
， f1( x1)x，
1x y2x2x3
∴ g( x) 与y x
互为反函数，由2
x，得 g(2)2
x3
x3
解法二：由 y f1 ( x1) 得 x f ( y) 1 ，∴ g(x) f ( x)1，∴ g(2) f (2) 1 2
16 求函数y 5x8
) 3x
的值域． ( 掌握利用反函数法求函数值域2
5x8
∴ x 2 y8
∴ y
5
∴函数的值域为 { y | y
5
}
解：∵ y
2 3 y533
3x
17
x 2
2x, x 0 ,求f
1
x 。

f x 1
解：由 f x 1x22x x
2
1f x x2 1 x1 1
Q x 1, y x2 1 0, y x2 1 x y 1 y 0
故所求的反函数是 f 1 x x 1 x0
1设 a 0, a 1 ，函数 y log a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象对于()
a
( A) x轴对称( B) y轴对称(C ) y x 轴对称(D) 原点对称
2函数 f (x)(1) x 1，那么
f1(x) 的图象只可能是〔〕
y
2
y y y
x 1
O
x
1
x 2x
O12O 1 O ( A)(B)(C )(D )
3假定函数 f (x) 的图象上经过
点(0,1)
，那么函
数 f ( x 4)的反函数的图象上必经过点〔 C 〕
Ａ． ( 1,4)Ｂ．( 4,1)Ｃ． (1,4)Ｄ． (1,4)
4函数 y f ( x) 有反函数，那么方
程 f ( x) a 〔a为常数〕〔B〕
Ａ．有且只有一个实根Ｂ．至多有一个实根Ｃ．起码有一个实根Ｄ．实根的个数没法确立5函数 y 2x1〔x N 〕的反函数是〔C〕
x1
N 〕x1
Z 〕
A．y
2〔 x B．y〔 x
2
x1
正奇数〕x1
正奇数〕
C．y
2〔 x D．y〔 x
2
6设函数 f (x)x22x 3 ， x ,1 ，那么f1( x)的定义域是
〔 D 〕
A．0,B．(2,)C．,1D． 2 ,
7 假定y ax 6与y 1 x b 的图象对于直线y x 对称，且点(b, a)在指数函数 f ( x) 的图象上，
3
那么 f (x)．
8假定函数 f
(x)
3x2
R 且a
2 x
有反函数 , 那么实数a的取值围是 _____________．a.
a3
.
x 2
1(0 x
1)
1(
5)
9 设 f ( x) {
1 x
0)，那么 f
．
2x (
4 x 2 ( x 0)
10 求函数 y
3x
( x
的反函数．
0)
解：当 x 0 时， y x 2
那么反函数为 y
x 〔 x 0 〕；
当 x 0 时， y
3x 那么反函数为 y
1
x 〔 x 0 〕，
3
原函数的反函数为 : y
x (x 0)
1 x (x
0)
3
11 求以下函数的值域； 〔 1〕 x 2 3x 1
y
；〔 2〕 y
x ．
2 x 1
3
解：〔 1〕先由 y
x
2
x
y 2 y
1 y y
R 且 y
1
2 x
可得
1
， ，故原函数的值域
2
1
2 y
2
〔 2〕先由 y 3x
1 可得 x 3 y 1 ， y 3 ，故原函数的值域为
y y R 且y 3
x
3 3 y
说明：经过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，常常合用于函数的分析式为一次
分式的状况．
12 函数 f ( x)
x 2 ax( x 1) ，且函数 f ( x) 拥有反函数，求常数 a 的取值围．设 a 0 是知足上
述条件的 a 的最大值，当 a a 0 时，求 f (x) 的反函数． 解：二次函数
f x
x
2
ax 对称轴为
x a
，∵函数
f (x) 拥有反函数，
( )
2
a
∴
1，解得常数 a 的取值围为 a
2 ．∴ a 0
2 ．
2
令
y f ( )
x 2
2 x
(
x 1) 2 1，∴
y 1 ( x 1)
2 ，
x
∵ x 1 ，∴ x 1
y 1 ， x y 1
1，∴ f (x) 的反函数为 f 1 ( x)
x 1 1 ．
13
假定 f
( x) 1 2 ，且 y g( x) 的图象与 y
f
1
( x 1) 的图象对于直线 y
x 对称为 g(x) ，求
x
g( 3) 的值．
解：令 y
1
2 ，得 x 2 ，∴ f 1 ( x) 2 ，∴ f 1 (x 1)
2 ．
x
y 1 x 1
x
反函数知识点总结计划讲义教课设计
.
∵ y g( x) 的图象与 y f1 (x1) 的图象对于直线y x 对称，
14 f ( x)4x，求 f1 f ( x)及 f f1 (x)的分析式，并判断它们能否为同一函数．
23x
解：由 f ( x)4x求出反函数f1( x)42x 〔x1〕，那么
23x3x13
4 2 f (x)424x
2
f1 f (x)23x x 〔 x
3 f (x)14x〕
13
3
3x
2
4f1 ( x)442x
1
f f1(x)
3x1
x 〔 x〕2 3 f1 (x)42x3
2
3
1
3x
固然
f 1
f
( )与
f f
1(
x
)两函数有同样的表达式，但它们的定义域不一样，故它们不x
是同一函数．
说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式同样；二是定义域同样．
15 设f (x)是R上的增函数，而且对随意x R，有 f ( x) f 1( x) 建立，证明 f (x)x ．
解：假定存在x0R ，有 f ( x0 )x0，
不如设 f (x0 ) x0，那么 f 1 f ( x0 )f ( x0 ) ，即 x0 f (x0 ) 矛盾，同理可证也不行能有
f ( x0 ) x0，对全部x R有f (x0)x0．
教课设计
.。