高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》知识点总复习有答案解析

新数学高考《平面解析几何》复习资料
一、选择题
1．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意
一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．)+∞
D ．)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得
1b
a
>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】
解：不妨设该双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b
a
>． 离心率21()2b
e a
=+>．
所以该双曲线的离心率的取值范围是(2，)+∞． 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得2
2
4x y +≤，可判断②；22
4x y +=和()
3
22
2216x y
x y +=联立解得
222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得2
2
4x y +≤（当且仅当22
2x y ==时取等号），则②正确； 将2
2
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆224x y +=与曲线C 相切于点
，(，(，
，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
4．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重
考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
5．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则
ABC ∆的重心坐标为（ ）
A ．14,19⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．14,09⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．14,127⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】
设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则
121222
121212
4
344
AB y y y y k y y x x y y --=
===-+-，得124
3
y y +=
， 同理234263y y +=
=，31422
y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，2
2
214y x ==，
2
33449
y x ==，
则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
6．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A
B
C ．2
D
【答案】D 【解析】 【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.
【详解】
由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点
AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形
1
2
ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴=
= 又2
224tan 45
FBF b S b a ∆'
===o
，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
7．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2
D 5【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()
122min min
22
3912
5
34d d MF d ++=+=
=
+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
8．已知椭圆22
1259
x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个
焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】
由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．
9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1
C
．20
-
D
．
2
【答案】A 【解析】
双曲线22
3mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．
10．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】
圆M 的标准方程为:22
(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,
又ME ==
所以
1
22
BD ===,即4BD =,
所以四边形的面积11
641222
S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
11．已知椭圆22
198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别
相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ） A ．12 B ．642+
C ．8
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】
画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，
根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.
12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）
A ．2213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
13．设P 为椭圆C ：22
x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ ∴+==， Q ∴
的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆，
∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
15．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）
A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m
n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．过双曲线22
134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-
C ．13+
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】
由图象可得
()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=
()()22211112322322
PF PF OF OT -+-=⋅-+=-. 故选：B.
【点睛】 本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．
17．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32p y x =-
与C 交于A ，B 两点，若43||AH =，则||AF =（ ） A ．3
B ．83
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 注意到直线32p y x =-过点H ，利用||||AM AH =tan 3,AHM ∠=43||3AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,
,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直
线32p y x =-过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3,||2
AM AH =又43||AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与
化归的思想，是一道中档题.
18．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于3，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234
a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．
详解：由双曲线方程2
2241(0)x y a a
-=>可得， 双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a =±
，即20x ay ±=． ∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于3， ∴234
14a =+，解得234a =， ∴双曲线的方程为2
24413
x y -=， ∴双曲线的焦点为(1,0)．
又抛物线2
:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，
∴2p =，
∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，
设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．
结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F
到直线1l 的距离2d =
=．
故选B ． 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF
PA 的最小值是（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
D 【答案】C
【解析】
由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF
PM
PAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．
∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA
最小．
设切点)P a ，由21
4y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .
∴2PM =，PA =
∴sin PM PAM PA ∠=
= 故选C ．
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
20．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是
( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
方程20mx ny +=即2m y x n
=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无
符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2m y x n
=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.。