广东省茂名市高州一中实验中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

广东省茂名市高州一中实验中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥
的体积为（）
A. B . C . D .
参考答案：
C
2. 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边C的值是( )
A．8 B．C．D．
参考答案：
D
略
3. 已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．
【解答】解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答
2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是；故选C．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．
4. 直线与直线的夹角是
A． B． C． D．
参考答案：
A
5. 已知函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）
A．[﹣4，0] B．[﹣3，0]
C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]
参考答案：
B
7. 随机变量ξ～B(100，0.3)，则D(3ξ-5)等于 ( ) A．62 B．84 C．184 D．189
参考答案：
D
8.
参考答案：
C
略
9. 双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作斜率是的直线交双曲线右支于M点，若M F2垂直于x轴，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
B
10. 已知实数x，y满足，则的值为（）
A. 2
B. 1
C. 0
D. －1
参考答案：
A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2
故选：A
【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x与y之间的一组数据：
已求得关于y与x的线性回归方程=1.2x+0.55，则a 的值为．
参考答案：
2.15
【考点】BK ：线性回归方程．
【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a 的值．
【解答】解： =3， =a+2，
将（3，a+2）带入方程得：
a+2=3.6+0.55，解得：a=2.15，
故答案为：2.15．
12. 命题：“若，则”的逆否命题是
参考答案：
13. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；②；③三棱锥
的体积是。

其中正确命题的序号是 .
参考答案：
①②
14. 已知点和圆：,过点的直线被圆所截得的弦长为，则直线的方程为▲．
参考答案：
或
15. 已知角终边经过点P(,y),则=▲______.
参考答案：
16. 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈____________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

参考答案：
64%
17. 曲线 y=x2－1与 y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0=＿＿＿
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知a , b都是正数，△ABC在平面直角坐标系xOy内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.
（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ￡x ￡ 1, 0￡ y ￡ 1}内，试求变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内画出这个约束条件表示的平面区域；
（2）当(a, b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S
的最大值，并求此时（a , b）的值.（14分）
参考答案：19. 已知一元二次方程：x2+2ax﹣b2+4=0，
（1）若a是从{﹣1，0，1}中任取的一个数字，b是从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的一个数字，求该方程有根的概率．
（2）若a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，求该方程有实根的概率．
参考答案：
【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】根据题意，由一元二次方程的性质，可得x2+ax+b2=0有实根的充要条件为a2+b2≥4；
（1）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字，易得一共可以得到15个不同方程，得满足a2+b2≥4的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案；
（2）由题意分析可得，这是几何概型，将a，b表示为平面区域，进而可得其中满足a2+b2≥4的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案
【解答】解：根据题意，方程x2+2ax﹣b2+4=0，有实根则△≥0即a2+b2≥4；
（1）由题意，a，b是分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字；
则a有3种取法，b有5种取法，共有5不同的情况，可以得到15个不同方程，
满足a2+b2≥4的有（﹣1，﹣3）（0，﹣3）（1，﹣3）（﹣1，﹣2）（0，﹣2）（1，﹣2）共有6种情况满足方程有实根，
∴p=；
（2）a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，
由题意得：a，b满足的区域为边长是4 的正方形，面积为16，
使得方程有实根的，a，b满足a2+b2≥4，区域面积为4π，由几何概型的公式得到方程有实根的概率为．
20. （本题满分12分）
已知抛物线与圆相交于、、、四个点。

（1）求的取值范围；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标。

参考答案：
（1）这一问学生易下手。

将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：
方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（2）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。

因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。

则由（I）根据韦达定理有，
则
令，则下面求的最大值。

方法一：利用三次均值求解。

三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

略
21. 甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82
乙：90 70 75 85 80
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．参考答案：
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】（Ⅰ）由已知条件能作出茎叶图．
（Ⅱ）分别求出平均数和方差，由=，，知应该派甲去．
【解答】解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：
（Ⅱ）=，
==80，
= [（74﹣80）2+（76﹣80）2+（78﹣80）2+（82﹣80）2+（90﹣80）2]=32，
= [（70﹣80）2+（75﹣80）2+（80﹣80）2+（85﹣80）2+（90﹣80）2]=50，
∵=，，
∴在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，应该派甲去．
22. （本小题满分13分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46
（1）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；
（2）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值，将10场比赛得分依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的大小为多少？并说明的统计学意义；
参考答案：
解：（1）茎叶图如下图
………………………………（2分）
统计结论：①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值；
②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；
③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；
④甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（给分说明：写出的结论中，1个正确得2分）………………（6分）
（2）．……………………………ks5u………（11分）
表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，值越小，表示比赛得分比较集中，值
越大，表示比赛得分越参差不齐．…………………………………（13分）。